24-平面曲线的曲率

中心 D(, ) 的坐标为
x0
y(1 y2 ) y
,
y0
1 y2 y
,
式中 y 与 y 是 y f (x) 在点 M 处的导数 .
求抛物线 y x2 在点 (1, 1) 处的 例5 曲率半径、曲率中心和曲率圆方程 .
解
x0 1, y0 1,
y x1 2x x1 2 , y x1 2 , 在点 (1, 1) 处的曲率半径为
平面曲线的曲率
一、曲率的概念 二、曲率的计算公式 三、参数方程下曲率的计算公式 四、曲率圆、曲率中心
你认为应该如何描述曲线的弯曲程度 ?
一、曲率的概念
y
设 y f (x) C1.点 M 沿曲线运动到点 M 时, 相应地切线转
过角度 (称为转角),
弧的改变量为 s . 称
y f (x)
M M
y x0
y x2 4
( 1 x2 ) 4
在点 (0,
x0
0)
0,
y
x0
(
1 2
x
处的曲率为
k1
)
x0
y (1 y2
1 2
3
)2
,
1 2
故 y2 4x 在点 (0, 0) 处的曲率为 k 1 .
三、参数方程下曲率的计算公式
若
x
源自文库
y
x( ) y( )
,
x( ) , y( ) 二阶可导 ,
d
3ab(a2 b2
(a2 sin 2
)sin cos
b
2
cos
2
)
3 2
0,
0 , , , 3 ,
2
2
因为 a b , 故在各象限中 d k 的符号依次为
d
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
+
+
由此可得 :当
当 ,
2
0, 3 时
2
时 , k 取最大值
, k 取最小值 kmin
kmax b a2
a b2
在有些实际问题中 , 若 | y | 1, 则可取 k | y |.
k 1, R 5. 5
O
M
O
M
曲率圆
曲率半径
曲率中心
曲率半径
1 曲率
在点 M 处可用一个相应的圆来描述曲线的弯曲程度
曲率中心的坐标
设曲线方程为 y f (x) , f (x) 存在且
f (x0 ) 0 , 则曲线在点 M (x0, y0 ) 处的曲率
k 单位弧长上的转角
s
O
x
︵
为MM 的平均曲率 . 其中, 与s 具有方向性.
k lim k lim d
s0 s0 s d s
称为曲线 y f (x) 在点M 处的曲率.
例1 求半径为 R 的圆上任意一点处的曲率 .
解 如图所示 , 在圆上任取一点 M , 则
︵
s || MM || R
O
R
故 lim lim 1 s0 s s0 R R
M
M k
1
R
即圆上点的曲率处处相同： 半径越小的圆 , 弯曲得越厉害 .
二、曲率的计算公式
y
k
y
(1
y2
)
3 2
y f (x)
M
证 如图所示 , 曲线在
点 M 处切线的斜率为
y tan 故 arctan y
M
d
dx
1
1 y2
例4 求抛物线 y2 4x 在点 (0, 0) 处的曲率 .
解 如果用 y 2 x ,会出现导数的分母 为零的情形 ,
但 y2 4x 与 x
y2 4
的图形 相同 ,
而 x y2 与 y x2 的 图形关于 y x
对称
,
4
4
故原问题可以转为求曲线
y
x2
在
点 (0, 0) 处的曲率 .
4
则
d y y( ) , d x x( )
d2 y d x2
y(
)x( ) ( x(
y( )x(
))3
)
将它们代入曲率计算公式中即可得：
k
|
y( )x( ) y( )x(
[(x(
))2
(
y(
)2
3
)]2
)
|
例3
椭圆 x a cos , y bsin (a b 0) 上 ,
哪一点曲率最大 , 哪一点曲率最小 .
解
利用参数方程求导法求出
dy dx
和
d2 y d x2
:
dx
d
dy dx
asin ,
b cos asin
dy
d
b a
cboctosdd,2ddx2y2 x2((aabaccocosost,))dd2y2ab2bssiinn13,
k
y
(1
y2
)
3 2
ab
(a2
sin 2
b2
cos2
3
)2
令
dk
d y dx
1
y y2
O
d
y 1 y2
d
x
x 又 d s 1 y2 d x
从而
k d
ds
y
(1
y2
)
3 2
例2 求直线 y a x b 上任意一点处的曲率 .
解 y a , y 0 ,
k
y
(1
y2
)
3 2
0
( x R ) .
直线上任意一点处的曲率均为零 . 俗话说 , 直线不弯曲 .
R
(1
y2
)
3 2
(1
22
)
3 2
125
y
2
2
曲率中心为
x0
y(1 y2 ) y
1
2(1 22 ) 2
4
y0
1 y2 y
11 22 2
7 2
曲率中心： D(4 , 7) . 2
曲率圆的方程为
(x 4)2 ( y 7)2 125 24