数学与哲学之我见【文献综述】

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数学与哲学之我见

数学作为一门最古老的科学, 从远古人类的屈指计数到现代电子计算机的发明和运用, 经历了5000多年的历史. 从古到今数学都有着多种对象, 这些对象有着不同的来源. 最早形成的便是计数以及一些直观的几何图形, 即数与形, 但这时数学还没有形成一门学术. 一直到16世纪, 才形成数学最原始的对象——计算技术（算术）以及测量与绘图技术. 随着工业水平的不断提高, 对数学提出了新的更高的要求. 原来技术性（操作性、技巧性）的数学逐渐无法适应对运动的研究, 以及各种变化过程和各种变化着的量之间的依赖关系的研究, 因此, 很有必要对这些概念的发展及其演变历程加以考察. 一则可使我们对这一概念在数学中的本质有所理解;二则还可使我们对数学概念的发展规律有所认识, 从而悟出一些数学哲学方面的基本问题[1].

数学与自然科学不同, 并不以客观实在为对象. 按照恩格斯的说法, 自然科学是以研究物质的某一运动形态为特征的, 而数学则不然, 它是忽略了物质的具体形态和属性, 纯粹从数量关系和空间形式的角度来研究现实世界的[2]. 数学和物理、化学、天文、地学、生物等自然科学不属于同一层次, 不是自然科学的一种, 而是和研究思维规律的哲学类似, 具有超于具体科学之上、普遍适用的特征[3]. 关于数学哲学中的基本问题一本体论、认识论、方法论历来是数学家和哲学家争论的问题, 甚至于牵涉到对数学基础的看法. 形而上学、唯心主义从不承认数学来源于外部世界, 逻辑学派认为, “数学是从逻辑那里先验推导出来的, 与现实根本无关”[4]; 这些问题中某些问题的解释也可以从变量数学向现代数学的辩证发展中得到一些启示:如数学究竟是经验科学还是演绎科学, 数学发展的根本动力或源泉是什么, 从变量数学到现代数学演变的事实看,“数学的发展有着各异其趣的原因[5]. 生产实践与经验科学的总结, 理论思辩的突破, 数学理论自身发展的需要和已有基础的扩展, 大自然直接的提示, 社会生活中偶然的发问等等都可能导致新学科的创立和兴起.“逻辑推理在数学中的作用是双重和互补的, 它既是数学追求的目标, 又是数学为达到目标而采用的手段. 但数学在本质上不是逻辑的[6]. 数学是对客观世界的一种认识. 它与其它科学认识一样, 遵循着实践、认识、再实践、再认识的认识规律. 更高的抽象引出了更深刻的应用. 郝宁湘先生曾说过:“现代数学的发展尽管越来越抽象, 但却没有任何贫乏枯竭的迹象, 反而越来越显得内容丰富、充满活力, 这要归功于强抽象的力量, 这种类型的抽象不断把弱抽象的成果联结起来, 统一起来, 才使得数学的有机整体得以发展壮大.”[7] 这就是说, 数学发展的根本动力或源泉是实践. 数学

发展的根本原动力, 它的最初的根源, 不是来自它的内部, 而是来自它的外部, 来自客观实际的需要. 这正是辩证唯物论的基本观点.

恩格斯曾言:“和所有其他的思维领域一样, 从现实中抽象出来的规律, 在一定的发展阶段上就和现实世界相脱离, 并且作为某种好似独立的东西, 好似从外面来的规律—世界应该与此规律相适应一而与之对应. 仅仅因为如此, 数学才能被一般地应用.” 叫任何一个数学概念都是对现实世界的抽象, 这种抽象使得其具有广泛的适应性, 数学是以抽象的形式反映着客观世界, 这种反映是抽象性与现实性、主观性和客观性的辩证统一[8] 并成为进一步数学推理的基础. 从变量数学到现代数学的发展充分说明了尽管从恩格斯到现在, 数学的内涵已经大大拓展了, 人们对现实世界中数量关系和空间形式的认识和理解也今非昔比, 大大深化和发展了, 但恩格斯的说法应该说仍然有效. 在初等数学中所研究的数和形就已表现出这种极度的抽象性. 恩格斯曾引用黑格尔的话, 把数学看作“一种研究思想事物（虽然它们是现实的摹写）的抽象的科学”. 因在现代数学中, 集合、结构等概念, 作为数学的研究对象, 它们本身确是一种思想的创造物. 一些数学家说他们几乎整天就在抽象概念和它们的相互关系中周旋, 像是生活在一个抽象的“数学王国” 中. 然而, 他们在数学王国中做出的种种发现, 即数学结构内部以及各种结构之间的规律性的东西, 最终还是现实的摹写[9].

“我思, 故我在” 是笛卡尔哲学思想中最具代表性的命题, 可以说是整个笛卡尔哲学体系的基石. “我思, 故我在” 在整个笛卡尔哲学体系中有着非同寻常的意义, 是整个笛卡尔哲学, 是笛卡尔进行理性思考的第一原则, 最确切的真理, 第一真理. “我思, 故我在” 几乎成为了一条哲学公式[10], 而今, 笔者同样从自己的立场出发, 把自己的思想代换进“我思, 故我在” 这一公式加以演绎. 得出数学与哲学是互为关联, 相互印证的. 然而本文只是笔者简单的将数学与哲学进行诠释, 不乏存在着许多缺陷, 但我坚信,数学和哲学, 在过去有着密切的联系, 现在, 将来也一定有着密切的联系. 这是必然的. 可以这样讲, 哲学是一门宏大的科学, 其虽无法与数学在具体学科内直接争锋, 但其可为数学新分支的诞生及深入发展给予指导或准备条件. 社会的进步, 人类的发展, 离不开哲学和数学发展[11]. 在未来, 哲学和数学一定会具有无限的发展空间. 作为一个数学学习者, 我们一定要在认真学习本专业知识的同时, 自觉运用哲学改造我们的学习研究方法, 不断取得进步.

最后, 笔者引用《从数学到哲学》中的一段话来引申哲学与数学的关系,“我认为每一门科学都有一个哲学总结, 自然科学的哲学总结是自然辩证法, 社会科学的哲学总结是历史唯物主义, 数学科学的哲学总结就是数学哲学, 思维科学的哲学总结就是认识论等等, 所有这些哲学概括再汇总, 我认为就是人类知识的结晶, 即马克思主义哲学. 这样一个体系, 就是马克思主义哲学为指导的科学体系. 科学技术的发展并通过哲学概括, 必然会发展深化马克思主义哲学.”[12]

参考文献

[1] 恩格斯. 自然辩证法[M]. 北京: 人民出版社, 1972. 45(2): 37-39.

[2] 郝宁湘, 郭贵春. 数学: 我们能够对你说些什么[J]. 太原: 科学技术与辩证法, 2004. 21. 26(4): 307-310.

[3] 恩格斯. 反杜林论[M]. 北京: 人民出版社, 1970.

[4] 王爱如, 刘福会. 漫谈数学中的哲学思想[J]. 高等农业教育, 2005. 06.

[5] 林夏水. 论数学的本质[J], 哲学研究, 2000, (9): 66-70. (9):66-70.

[6] Russell. Principles of Mathematics[M].Taylor and Francis, 1972.

[7] 哥德尔.哥德尔证明[M].上海:上海人民出版社, 2002.

[8] 张光远. 近现代数学发展概论[M]. 重庆:重庆出版社, 1991.

[9] 邓宗琦. 数学家辞典[M]. 武汉: 湖北教育出版社, 1990.

[10] 张祖贵.数学与人类文化发展[M]. 广州: 广东教育出版社, 1995. 11.

[11] Maclane S. Mathematical Models: A Sketch for the Philosophy of Mathematics [J]. Amer. Math. Monthly, 1981, 88(7): 462-472.

[12] 王浩. 从数学到哲学[M]. 浙江: 浙江大学出版社, 2009. 02. 01.