微积分第四章答案

(4) ，）（存在二阶导数，且），函数，（若对一切0lim )(0=''∞+∈

+∞

→x f x f x x 则='-+'+∞

→)]()([lim x f a x f x （B ）（其中a 为正的常数） 解①)]}()([lim 1

{lim ])()(lim [lim lim 000x f a x f a a

x f a x f x f x a a x x '-+'='-+'=''=+∞→→→+∞

→+∞→++

）（ 此极限存在，只能是)0(⋅∞型，于是0)]()([lim ='-+'+∞

→x f a x f x 故选（B ）。 ②()()()()()()f x a f x f x a x f a •••x x a ξξξ''''''+-=+-=<<+

,,lim ()0lim ()0x x f x f ξξξ→+∞

→+∞

''''→+∞→+∞==当时由有

lim [()()]00x f x a f x a →+∞

''∴+-=⋅=

2.已知)(x f 在区间),(b a 内存在二阶导数,

b x

x x a <<<<3

2

1

且

),()()(321x x x f f f ==试证明在),(b a 内至少存在一点0)(,=''ξξf 使

证明:由已知条件知)(x f 在],[],,[3221x x x x 上满足罗尔定理条件,

所以有1()0f ξ'=, 112()x x ξ<<, 2()0f ξ'=, 223()x x ξ<< 又因为)(x f 在),(b a 内二阶可导，所以)(x f '在],[21ξξ上满足罗尔定理条件, 故有 0)(=''ξf 12a b ξξξ<<<<

7. 若)(x f 在闭区间],[b a 上连续,在开区间),(b a 内存在二阶导数,且

,0)()(==b f a f 0)(>c f 其中b c a <<,证明在),(b a 内至少存在一点

0)(,<''ξξf 使.

证: 由已知有)(x f 在],[c a , ],[b c 上满足拉氏定理.

所以存在12(,),(,)a c c b ξξ∈∈使

12()()()()

().,()f c f a f b f c f f c a b c

ξξ--''=

=-- 又因为0)(,0)()(>==c f b f a f 所以12()0,()0f f ξξ''>< 由)(x f 在),(b a 内二阶可导,得()f x '在12[,]ξξ上满足拉氏定理

所以存在211221

()()

(,)()f f f ξξξξξξξξ''-''∈=

-使

而2121()0,()0,0f f ξξξξ''<>-> 得0)(<''ξf 12a b ξξξ<<<<

故结论成立。

8. 已知函数)(x f 在1)0(),()(),(=='+∞-∞f x f x f 且内满足关系式,证明

)(x f =x e

证: 令),(,)

()(+∞-∞∈=

x e x f x F x

x

x

x e

e x

f e x f x F 2)()()(-'=' 由0)()()(='='x F x f x f 有

所以C x F =)( (C 为常数)

于是)(x f =C x e 又因为1)0(=f ，得C=1 所以x e x f =)(

（3）1sin

0lim ()2arctan 0x x x π→+∞-=1

0lim ()2arctan 0x x x π→+∞-=2

2

1lim

21x x x →+∞--

+=lim x →+∞2212x x +=12

（6）lim (2tan )ln (0,)x arc x x π→+∞

-∞ =2tan 0

lim

()10

ln x arc x x

π→+∞

-=222ln lim ()1x x x x →+∞∞+∞=22ln 2ln lim ()2x x x x →+∞+∞

∞ =ln 12lim

()x x x →+∞

+∞∞

=1

2lim x x →+∞=0 (7)10ln 0lim (cot )()x

x x +

→∞=1

ln 01

lim

ln cot ln cot ln 0lim x

x x

x

x x e

e

+→+

⋅→=(0)∞

=0lncot lim

()ln x x x e

+

→∞

∞

=201

(csc )cot lim

1x x x x

e

+

→-=01lim

sin cos x x

x

x

e

+→-⋅

=1e -=1e

(9))

0(4

tan ln 2tan lim 4

tan ln 2tan 1

2

tan 11lim )1()4

(tan lim ⋅∞→∞→→==x x x x x x

x x e

e

x π

ππ

ππ

π

而2

2csc 4

4tan

4

sec lim )0

0(2cot 4tan

ln lim 4

tan ln 2

tan lim

22

11

1πππ

πππ

π

π⋅

-⋅==→→→x x

x x x x x x x x =12

sin

lim 2

sin 1

2sin

1lim

2

sin 1214cos 1

4

sin

4

cos

lim

1

2

1

2

2

1

-=-=-=-

⋅⋅→→→x x

x

x

x

x x x x x π

π

π

π

π

所以e

e x x x 1

)

4

(tan lim 12

tan 1

==-→π

π

11.设)(x f 存在二阶连续可导，求2

)

()(2)(lim

h h a f a f h a f h -+-+→

解：)00

(2)()(lim )00()()(2)(lim 020h h a f h a f h

h a f a f h a f h h -'-+'=-+-+→→ =)(2

)

()(lim

0a f h a f h a f h ''=-''++''→ 12.0,()(0)1,x f x f →→=解：因为ln ()~()1f x f x -

000(sin )(0)

(sin )1(sin )1lim lim lim ()(0)ln ()()1

x x x f x f f x f x x f x f f x f x x

→→→---==-- 0(sin )(0)

(0)sin lim 1()(0)(0)

x f x f f x f x f f x

→-'===-' 14.设()f x 在],[b a 上连续，且在),(b a 内有()f x ''0>，证明

()()

f x f a x a

--在

),(b a 内单调增加。

证：令()()

()f x f a F x x a -=

- (,)x a b ∈ 则2

()()()()()()

f x x a f x f a F x x a '--+'=- 由()f x 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，有()f u 在],[x a （(,)x a b ∈）