数学分析 微分中值定理及其应用 教案
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
P
)
()
()()()()(ξξg f a g b g a f b f '=--
柯西中值定理的几何意义 若连续 曲线
由参数方程
],[)
()
(b a x x g Y x f X ∈⎪⎩⎪⎨⎧==
给出，除端点外处处有不垂直于 轴 的切线，则 上存在一点 P 处的切线平 行于割线
.。
注意曲线 AB 在点 ),(Y X 处的切线的斜率为
，
)(1ξF )(2ξF )
(a F A
)
(b F B
)(
x F N
M
x
o
y
⎩⎨
⎧==)
()(x f Y x F X 而弦 的斜率为
.
受此启发，可以得出柯西中值定理 的证明如下：
由于
，
类似于拉格朗日中值定理的证明，作一辅助函数
容易验证
满足罗尔定理的条件且
根据罗尔定理，至少有一点使得
即
由此得
注2：在柯西中值定理中，取，则公式（3）可写成
这正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令，则. 这恰恰是罗尔定理.
注3:设在区间I上连续，则在区间I上为常数，.
三、利用拉格朗日中值定理研究函数的某些特性。