空间向量的夹角和距离公式
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2 2Leabharlann Baidu2
例：已知A（3，3，1）、B（1，0，5）， 求：1）线段AB的中点坐标和长度；2）到 A，B两点距离相等的点P（x,y,z）的坐标 x,y,z,满足的条件。
解：1）设M（x,y,z）为AB的中点，则 1 1 OM= （OA+OB）= 2 [（3，3，1）+（1， 2 0，5）]=（2，3，3） 2 3 所以M= （2， ，3） 2 d = (1 3) 2 (0 3) 2 (5 1) 2 29
A1 N C A
M
C 1 B1
B
习题：
正方体A1 B1C1 D1－ABCD，E、F分别是C1C D1 A1的中点， 求COS AB, EF (用向量方法）
A 1 F D 1 B 1 E D C C 1
A
B
习题：
已知A（0,2,3)、B（ 2,1,6), C (1,1,5), 用向量 方法求ABC的面积S。
AB
例：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1E1=D1F1= A1 B1 4 求BE1与DF1所成的角的余弦值
Z
解析：不妨设 正方体的棱长 A1 为1；以D为原 点O建立空间 直角坐标系OXYZ D（0，0，0）
B（1，1，0）
D1
F1 E1 B1
C1
O D B
3 （1，，1） E1 4
C
1 F1（O， 4
空间向量的夹角和距离公式
2004.3.10
向量的直角坐标运算
设a (a1 , a2 , a3 ), b (b1 , b2 , b3 )则
a b (a1b1 , a2 b2 , a3 b3 );
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 );
a (a1 , a2 , a3 ), ( R);
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
a // b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ; ( R);
a b a1b1 a2b2 a3b3 0;
夹角、
cos a, b a b | a ||b |
a1b1 a2b2 a3b3 a1 a2 a3 b1 b2 b3
2 2 2 2 2 2
;
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
| a | a a a1 a2 a3
2 2 2 2
| b | b b b1 b2 b3
2 2 2
2
空间两点间的距离公式、
在空间直角坐标系中，已知A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z 2 ), 则 | AB | AB AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z 2 z1 ) ;
A
Y
，1）
X
例题：书本p40：例3、4、5
如图：直三棱柱ABC A1 B1C1 , 底面ABC中， CA＝CB ＝1，BCA ＝90 o，棱AA1＝2，M、 N分别为A1B1、AA1的中点， 1)求BN的长； 2)求 cos BA1 , CB1 的值； 3)求证：A1B C1M。
例：已知A（3，3，1）、B（1，0，5）， 求：1）线段AB的中点坐标和长度；2）到 A，B两点距离相等的点P（x,y,z）的坐标 x,y,z,满足的条件。
解：1）设M（x,y,z）为AB的中点，则 1 1 OM= （OA+OB）= 2 [（3，3，1）+（1， 2 0，5）]=（2，3，3） 2 3 所以M= （2， ，3） 2 d = (1 3) 2 (0 3) 2 (5 1) 2 29
A1 N C A
M
C 1 B1
B
习题：
正方体A1 B1C1 D1－ABCD，E、F分别是C1C D1 A1的中点， 求COS AB, EF (用向量方法）
A 1 F D 1 B 1 E D C C 1
A
B
习题：
已知A（0,2,3)、B（ 2,1,6), C (1,1,5), 用向量 方法求ABC的面积S。
AB
例：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1E1=D1F1= A1 B1 4 求BE1与DF1所成的角的余弦值
Z
解析：不妨设 正方体的棱长 A1 为1；以D为原 点O建立空间 直角坐标系OXYZ D（0，0，0）
B（1，1，0）
D1
F1 E1 B1
C1
O D B
3 （1，，1） E1 4
C
1 F1（O， 4
空间向量的夹角和距离公式
2004.3.10
向量的直角坐标运算
设a (a1 , a2 , a3 ), b (b1 , b2 , b3 )则
a b (a1b1 , a2 b2 , a3 b3 );
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 );
a (a1 , a2 , a3 ), ( R);
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
a // b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ; ( R);
a b a1b1 a2b2 a3b3 0;
夹角、
cos a, b a b | a ||b |
a1b1 a2b2 a3b3 a1 a2 a3 b1 b2 b3
2 2 2 2 2 2
;
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
| a | a a a1 a2 a3
2 2 2 2
| b | b b b1 b2 b3
2 2 2
2
空间两点间的距离公式、
在空间直角坐标系中，已知A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z 2 ), 则 | AB | AB AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z 2 z1 ) ;
A
Y
，1）
X
例题：书本p40：例3、4、5
如图：直三棱柱ABC A1 B1C1 , 底面ABC中， CA＝CB ＝1，BCA ＝90 o，棱AA1＝2，M、 N分别为A1B1、AA1的中点， 1)求BN的长； 2)求 cos BA1 , CB1 的值； 3)求证：A1B C1M。