求磁场及安培环路定理的表述和证明

又如在螺距不可忽略时，螺线管的电流既有环向分量又 有轴向分量，若除去密绕条件，就更为复杂。
2013/3/25
写
安培环路定理
磁荷模型 磁库仑定律 载流线圈与磁偶极层的等价性 安培环路定理的表述和证明 磁感应强度是轴矢量 安培环路定理应用举例
2013/3/25
写
“磁荷”模型 磁库仑定律 p83/p98
对于磁偶极层 （与电偶极层类似）
H Um
Um
1
4 0
Pm
rˆ
r2
H
m
4 0
qml
ml
2013/3/25
写
说明
从磁荷模型看，磁场由磁荷产生，是有源无旋场， 基本物理量是H
安培研究电流与磁场的关系，发现磁性的本源是 分子电流，以此建立分子电流模型
分子电流模型中，基本物理量是磁感应强度B， 从分子电流观点看磁场是无源有旋场
• dl 、r、v、F、E 、P
轴矢量：与镜面垂直分量不变，平行分量反向
两个极矢量叉乘＝轴矢量
由毕奥－萨筏尔定律决定
B是轴矢量
dl r
推论：镜面对称的载流系统在镜面处产生的 磁感应强度垂直于镜面
2013/3/25
写
第十讲
载流回路的磁场 安培环路定理的表述和证明 磁感应强度是轴矢量 对应录像17、18
2013/3/25
写
载流回路的磁场 p 143/p159 2-2、5、6、14
Biot-Savart-Laplace定律的应用
dB
0 4
I(dl r) r3
与Idl、sin成 正 比，与r2成 反 比
d B dl, r构 成 的 平 面
写
求二阶导数
d 2B dx2
0 4
4
x
a
2
R2
6R
2
I
2
7
R
2
(x
a 2
)2
2
4
x
a
2
R2
2
7
R2
(
x
a 2
)2
2
令x
0处的
d 2B dx2
0
在O 点附近磁场最均匀的条件
d 2B dx2
x0
0 4
6R 2 I
2a2 2R2
7
2
R
2
a 4
2
2
0 a2
R2
aR
两种模型自成体系，但互相等价（第四章证明）
2013/3/25
写
载流线圈与磁偶极层的等价性 p103/p120
证明闭合载流线圈产生的磁
场正比于线圈回路对场点所
B(r张2 ) 的 立40I体(L角1) d的l1r梯122rˆ度12
L1在P点产生 的磁感应强度
相当于P不动线 圈作-dL2位移
B(r2 ) dl2
r, R sin
r
l
Rctg , dl
R sin 2
d
B 2 0nIR2 ( R )d 2 0nI sin d
1 2r 3
sin 2
1
2
0nI
2
(cos2
cos1)
L , 1 , 2 0
B 0nI
说明轴线上的B处 处相同，可以证明， 管内B也均匀
半无限长
1 , 2
2
的磁场
,sin 1
2
x
dB
0 4
Idl sin
r2
r2 R2 x2
由对称性,只有x分量不为零,即
Bx
dB x
dB c os
Bx
0 Idl 4r 2
c
os
0IR 2R
4
(R2
x2
3
)2
0IR2
2(R2
x
2
)
3 2
cos R
r
x
0,
Bx
0I
2R
2013/3/25
写
载流螺线管中的磁场
P2 P1 ——0
B dl B dl B dl
载流回路为 边界的曲面S
(L)
p1
p2
(L1)
P2
B dl
0I
P2
( L2 )
B
0I 4
dl
p1
4 p1
( L1 )
( L1 )
0I 4
(2
1)
0I 4
4
0I
L1：P1 从上到下 P2 L2：P2 从下到上 P1
曲面两侧两点无限趋近曲
2013/3/25
写
小结：
原则上，B-S定理加上叠加原理可以求任何载流导 线在空间某点的B
实际上，只在电流分布具有一定对称性，能够判断 其磁场方向，并可简化为标量积分时，才易于求解；
为完成积分，需要利用几何关系，统一积分变量；
一些重要的结果应牢记备用；
如果对称性有所削弱，求解将困难得多
如圆线圈非轴线上一点的磁场，就需要借助特殊函数才 能求解
B dl 0 I
L
L内
穿过闭合环 路的电流
简单证明
2013/3/25
写
安培环路定理的微分形式
利用斯托克斯定理
Bdl 0 I
L
L内
( B) d S 0 j d S
S
S
B 0 j
微分形式
说明B的旋度不为零——有旋场
2013/3/25
写
磁感应强度是轴矢量
镜像反射的变化规律
极矢量：与镜面平行分量不变，垂直分量反向
可看成是场点坐标r2的函数
写
坐标r2的函数
' 0, '
' dl2
B(r2 ) dl2
0I 4
0I 4
(')
泰勒展开
B(r2 )
dl2
0I 4
dl2
B 0I 4
B(
r2
)
0 I 4
dl2
0
相似
反映了载流线圈与磁偶极层的等价性 在下面证明安培环路定理时直接引用
d 0I
r1d22 l1
)
rˆ12
rˆ12 r122
Βιβλιοθήκη Baidu
整个线圈在位移 -dL2扫过的环带 对场点p所张
rˆ21 r221
4 (L1)
4
的立体角
灰色面 元所对 立体角
:曲面S 对P点所张
立体角
2013/3/25
’:曲面S’对 P点所张立
体角
也可理解为场点
P作平移dL2引
起立体角变化
' 0, '
长为L，匝数为N密绕螺线管， 可忽略螺距，半径为R。 （一匝线圈轴线上的场，可
用圆电流结果）在螺线管上 距 p点处取一小段dl（含ndl 匝线圈,n=N/L）
距单匝线圈
中心x处的B
dB
0 IR2 ndl
2( R 2
x2
3
)2
l Rctg
2013/3/25
写
B
dB
0nIR2dl
2(R2 l 2 )32
或1
2
, 2
0
2013/3/25
写
B 0nI
2
亥姆霍兹线圈
结构：一对间距等于半径的 同轴载流圆线圈
用处：在实验室中，当所需 磁场不太强时，常用来产生 均匀磁场
命题：证明上述线圈在轴线 中心附近的磁场最为均匀
将两单匝线圈轴线上磁场叠加
求极值 p99
2013/3/25
写
B1
0 4
R
2
2R 2 I
H
m
4 0
2013/3/25
写
安培环路定理表述和证明
表述：
磁感应强度沿任何闭合环路L的线积分，等于
穿过这环路所有电流强度的代数和的0倍
B dl 0 I
L
L内
I I1 2I2
L内
2013/3/25
写
证明
L与载流回路套连
从毕奥—萨筏尔定律出发
先考虑单回路 再推广
L2穿过S时B是连 续且有限的，
载流直导线的磁场 载流圆线圈轴线上的磁场 载流螺线管中的磁场 亥姆霍兹线圈
2013/3/25
写
载流直导线的磁场
分割，取微元Idl，微元在
P 点的磁感应强度
d B 0 I(dl r) 4 r3
大小：0 Idl sin 4 r 2
方向：
l actg ;
叠加
dl a d sin 2
B
面时，立体角趋近于4
2013/3/25
写
P2 P1
B dl B dl B dl 0I
(L)
p1
p2
( L1 )
( L2 )
如果，安培环路与载流回路 不套连，则环绕它一周立体 角回到原值，积分为 0
运用叠加原理，推广到多个 载流回路
空间所有电流 产生的磁感应 强度矢量和
A2 dB
A1
A2 0 A1 4
Idl sin
r2
r a
sin
2013/3/25
写
计算
B
2
0
I sind
0
I
(
c
os
)
2
1 4 a
4a
1
0I 4a
( c os1
cos2 )
无限长 1 0,2 ,
半无限长
1
0,2
2
B 0I 2a
B 0I 4a
2013/3/25
写
载流圆线圈轴线上
3
(x
a 2
)
2
2
B2
0 4
R
2
2R 2 I
3
(
x
a 2
)2
2
B
B1
B2
0 4
2R
2
I
R
2
1 (x
3
a 2
)
2
2
R
2
1 (x
3
a 2
)2
2
求一阶导数
dB dx
0 4
6R
2
I
R
2
x a 2
5
(x
a 2
)2
2
R2
x a 2
5
(x
a 2
)2
2
2013/3/25
磁荷有正、负，同号相斥，异号相吸
与静电场类似
磁荷遵循磁的库仑定律
磁库仑定律
F
1
4 0
gm1gm2 r2
r
定义：磁场强度H为单位H点磁F荷 所受的磁场力 qm0
2013/3/25
写
磁荷观点 相应的公式
磁场强度H满足环路定律
H dl 0
可以引进磁势
Um
磁场强度是磁势梯度的负值
磁偶极子的磁势
0I 4
( L1 )
dl2
(dr1l221 rˆ12 )
0I 4
( L1 )
(dl2
r1d22 l1) rˆ12
运用A (BC) (A B) C
设想P有一 小位移dL2
2013/3/25
写
B(r2 )
0I
4
0I
(dL1l)2(d4l20Ir2(d2L11l)1() rdˆ2l12