第03章离散傅里叶变换及其快速算法

wk.baidu.com. 5. 3 蝶形、同址和变址计算 1. 蝶形计算
任何一个N为2的整数幂(即N=2M)的DFT，都可以通过M次分解，最后成为2点的 DFT来计 算。M次分解构成了从x(n)到X(k)的M级迭代计算，每级由N/2个蝶形组成。图3.20表示了蝶 形的一般形式表示。
其输入和输出之间满足下列关系：
从上式可以看出完成一个蝶形计算需一次复 数乘法和两次复数加法。因此，完成N点的时 间抽选FFT计算的总运算量为
在导出FFT算法之前，首先来估计一下直接计算DFT所需的计算量。 DFT的定义
其中
将DFT定义式展开成方程组 将方程组写成矩阵形式 用向量表示
用复数表示：
从矩阵形式表示可以看出，由于计算一个X(k)值需要N次复乘法和(N-1)次复数加法，因 而计算N个X(k)值，共需N2次复乘法和N(N-1)次复加法。每次复乘法包括4次实数乘法和2次 实数加法，每次复加法包括2次实数加法，因此计算N点的DFT共需要4N2次实数乘法和 (2N2+2N·(N-1))次实数加法。当N很大时，这是一个非常大的计算量。
FFT算法主要利用了WNk的两个性质： (1)对称性，即 (2)周期性，即
r为任意整数。
FFT算法是基于可以将一个长度为N的序列的离散傅里叶变换逐次分解为较短的离 散傅里叶变换来计算这一基本原理的。这一原理产生了许多不同的算法，但它们在 计算速度上均取得了大致相当的改善。
在本章中我们集中讨论两类基本的FFT算法。 第一类 称为按时间抽取(Decimation-in-Time)的基2FFT算法，它的命名来自如下事实： 在把原计算安排成较短变换的过程中，序列x(n)(通常看作是一个时间序列)可逐次分 解为较短的子序列。 第二类称为按频率抽取(Decimation-in-Frequency)的基2FFT算法，在这类算法中是将离 散傅里叶变换系数序列X(k)分解为较短的子序列。
大多数情况下复数乘法所花的时间最多，因此下面仅以复数乘法的计算次数为例来 与直接计算进行比较。
直接计算DFT需要的乘法次数为αD=N2，于是有
例如，当N=1024时，则：
205，即直接计算DFT所需复数乘法次数约为FFT的205倍。
显然，N越大，FFT的速度优势越大。
表3. 2列出了不同N值所对应的两种计算方法的复数乘法次数和它们的比值。
(3.64)
按照规则(2)，将X(k)分成前后两组，即 由(3.64)表示的是N/2点DFT，前4个k值的DFT可表示为 后4个k值的X(k)表示为：
因为
所以
(3.65) (3.66)
按照式(3.65)和式(3.66)可画出图3．15所示的信号流程图。
式(3.65)和式(3.66)把原来N点DFT的计算分解成两个N/2点DFT的计算。照此可进一 步把每 个N/2点DFT的计算再各分解成两个N/4点DFT的计算。具体说来，是把{x(0)，x(2)，x(4)， x(6)}和{x(1)，x(3)，x(5)，x(7)}分为{x(0)，x(4) | x(2)，x(6)}和{x(1)，x(5) | x(3)，x(7)}。这样，原 信号序列被分成{x(0)，x(4) | x(2)，x(6) I x(1)，x(5) I x(3)，x(7)}4个2项信号。G(k)和H(k)分别计 算如下:
2．同址(原位)计算
图3. 19包含log2N级迭代运算，每级由N/2个蝶形计算构成。蝶形计算的优点是可以进行 所谓同址或原位计算。
现在来考察第一级的计算规律。设将输入x(0)，x(4)，x(2)，x(6)， x(1)，x(5)，x(3)，x(7)分 别存入计算机的存储单元M(1), M(2), M(3),…，M(7)和M(8)中。首先，存储单元M(1)和M(2)中 的数据x(0)和x(4)进入运算器并进行蝶形运算，流图中各蝶形的输入量或输出量是互不相 重的，任何一个蝶形的二个输入量经蝶形运算后，便失去了利用价值，不再需要保存。 这样，蝶形运算后的结果便可以送到M(1)和M(2)存储起来。类似地，M(3)和M(4)中的x(2)和 x(6)进入运算器进行蝶形运算后的结果也被送回 到M(3)和M(4)保存，等等。第二级运算与 第一级类似，不过，M(1)和M(3)存储单元中的数 据进行蝶形运算后的结果被送回M(1)和 M(3)保存，M(2)和M(4)中的数据进行蝶形运算 后送回M(2)和M(4)保存，等等。这样一直到 最后一级的最后一个蝶形运算完成。
(3.67)
(3.68)
(3.69)
(3.70) 这样，用式(3.67)～(3.70)4个公式就可计算图3.15中的两组N/2点DFT。图3.16所示的是 其中一组G(k)的计算。
将图3.16与图3.15所示的信号流程图合并，便得到图3.17所示的信号流程图。 因为N=8，所以上图中N/4点的DFT就是2点的DFT，不能再分解了。
前面两种算法特别适用于N等于2的幂的情况。 对于N为合数的情况，本章也将介绍两种处理方法。
3. 5. 2 时间抽选基2FFT算法(库里—图基算法) 这种算法简称为时间抽选FFT算法，其基本出发点是，利用旋转因子WNk的对称性 和周期性，将一个大的DFT分解成一些逐次变小的DFT来计算。 分解过程遵循两条规则：
①对时间进行偶奇分解； ②对频率进行前后分解。
设N＝2M，M为正整数。为了推导方便，取N＝23＝8，即离散时间信号为
按照规则(1)，将序列x(n)分为奇偶两组，一组序号为偶数，另一组序号为奇数，即
分别表示为：
根据DFT的定义 因为 WN2=WN/21，所以上式变为 上式中的G(k)和H(k)都是N/2点的DFT。
将2点DFT的信号流程图移入图3.17，得到图3.19所示的8点时间抽选的完整的 FFT流程图。
从图3.19中可看出几个特点： (1)流程图的每一级的基本计算单元都是一个蝶形； (2)输入x(n)不按自然顺序排列，称为“混序”排列，而输出 X(k)按自然顺序排列，称为 “正序”排列，因而要对输入进行“变址”； (3)由于流程图的基本运算单元为蝶形，所以可以进行“同址”或“原位”计算。