数学分析定积分

y
长度为 xi xi xi1;
在每个小区间[xi1, xi]
上任取一点i，
o a x1
b xi1i xi xn1
x
以[xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f(ξi ) Δxi
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曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi
i 1
当分割无限加细 ,即小区间的最大长度
n
f ( i ) x i
i 1
的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为 一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积 分下一个定义
定义 设 f (x) 是定义在区间[a , b] 上的一个函数，在闭区间
[a, b] 上任取 n-1 个分 a x1 xi1 xi xn b 把 [a,b] 分成 n 个小闭区间，我们称这些分点和小区间构成的一 个分割，用 T 表示, 分割的细度用|| T || max{ xi } 表示，在分割 T
max{ x1, x2 , xn}
趋近于零 ( 0) 时，
曲边梯形面积为
n
A
lim
0 i1
f (i )xi
再演示一下这个过程
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3）取极限 对上面和式取极限，极限值,就是力在 [a , b] 上作的功。
从上面两个例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力 作的功，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取 极限”，或者说都归结为形如
2. 变力所作的功: 4. 原函数的构造型定义:
1 曲边梯形的面积 中学里我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算， 这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。但我们生活与工 程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计算呢？我 们通常用一些小矩形面积的和来近似它。
y
y
oa
bx o a
n
n
W Wi F(i )xi
i1
i1
分割越细，近似程度越高，分割无限细时，即分割细度
|| T || max{xi } 0 近似程度就无限高.
将这种方法用于一般的曲边梯形： 在区间[a,b]内插入若干个分 a x0 x1 x2 xn1 xn b,
把区间[a,b] 分成 n
个小区间[xi1, xi ]，
1
S(10)= 0.7150; S(50)= 0.6766; S(100)=0.6717
分割越细，越接近面积准确值 0.6666
再看一个变力做功的问题。 设 质点 m 受力 F( x) 的作用，沿直线由 A 点运动到 B 点， 求变力 F( x) 作的功
F(x)
A
B
F 虽然是变力，但在很短一段间隔内 x ，F 的变化不大，可近似看 作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想，
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
n=100 情况 S(100)=0.6717
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.6666
。
。
0.3
0.2
0.1
0
0பைடு நூலகம்
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
所属的各个小区间内各取一点i [ xi1 , xi ] 称为介点，作和式
n
f (i )xi
i1
以后简记为 f (T )
此和式称为 f (x) 在[a, b] 上属于分割 T 的积分和（或黎曼和，设 J 是
一个确定的数，若对任意 0 总存在某个 0 ，使得 [a , b] 上的
y=1-x.^2;
y1='1-x.^2';
sn=sum((1/n)*(1-x.^2)), bar(x,y,'m') sn = 0.7150
n=10 情况
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
n=50 情况, S(50) = 0.6717
1） 对[a , b] 作分割
a x1 xi1 xi xn b
当每个小区间的长度都很小时，小区间 [ xi1 , xi ] 上的力
F F(i ) , i [ xi1 , xi ]
在 [ xi1 , xi ] 上，力 F 作的功
2）求 和
Wi F (i )xi
力 F 在 [a , b] 上作的功
bx
上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情况 精度高，但这样得到的仍然是曲边图形面积的近似值。如何求取曲 边图形的准确面积呢？
比如举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体力学 原理设计的，如图 1 所示，上端一段是是抛物线，中间部分是直
比如举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体力学
1
i
2
的矩形代替，
n
n
1
i
2
n
1 n
它的面积
ΔS i
(1
i2 n2
)
1 n
所求的总面积
Sn
n i1
(1
i2 n2
)
1 n
1
1 n3
n
i
2
i 1
1 2n2 3n 1 2
6n2
3
我们分别取 n=10, 50, 100 用计算机把它的图象画出来，并计
算出面积的近似值：
clf, n=10; x=0:1/n:1;
原理设计的，如图 1 所示，上端一段是是抛物线，中间部分是直线，
下面部分是圆弧。建造这样的大坝自
然要根据它的体积备料，计算它的体积就
需要尽可能准确的计算出它的断面面积。 该断面最上面抛物线所围的那一块面积该 怎样计算呢？在介绍微分定义
A B
时我们已经知道，直与曲虽然是一对矛盾 ，但它们可以相互转化，早在三国时代， 我国古代代数学家刘徽就提出了“割圆术”
C D
图1 长江三峡溢流坝断面
，以“直”代“曲”把圆的面积近似看成多边形面积来计算。现在 我们我们来计算一下溢流坝上部断面面积。
假设抛物线方程为 y 1 x2 , x [0 , 1] , 将[0, 1] 等分成 n
等份，抛物线下面部分分割成 n 个小曲边梯形第 i 个小曲边梯形用
宽为 1
，高为
第九章 定积分
教学目标：
掌握定积分概念及基本性质； 理解可积的充要条件、充分条件、必要条件； 掌握积分中值定理、微积分基本定理、牛顿莱 布尼兹公式； 掌握定积分的计算方法（换元法、分部积公法 等）。
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§1 定积分的概念
定积分概念的引入 一． 背景： 1. 曲边梯形的面积: 3. 函数的平均值: