模拟滤波器群时延的优化设计

率点ω1，ω2，…，ωm上的权重。X = {x1,x2,⋯,xk}是被优化
的电路元件参数，即所求的最终结果。
3.2 滤波器群时延特性目标函数的建立
滤波器群时延特性数学模型的建立方法是：先在通
带内取 p 个频率点，然后求各个频率点群时延的实际值
与理想值之差的平方和，目标函数可以写成
∑ F
(X
)2
=
1 2
和
∂Vo ∂xi
。即
∂|Vo
∂xi
|
=
∂
a2 +b2 ∂xi
=
a
∂a ∂xi
+
b
∂b ∂xi
a2 +b2
（6）
∂φo ∂xi
=
∂
arctan ∂xi
b a
=
a
∂b ∂xi a2
+
b
∂a ∂xi
b2
（7）
可以看出，只要求出
∂b ∂xi
和
∂a ∂xi
，即可求出目标函数的
梯度，其值由特勒根伴随网络求出。即
基金项目：河北省教育厅自然科学研究项目（Z2006439）
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2011 年第 35 卷第 11 期（总第 361 期）
Parts & applications
器件与应用
1 极点放置技术
用网络综合设计方法设计出来的滤波器，其幅频特 性都是在对数坐标下对称，即几何对称。为使设计滤波 器的幅频特性算术对称，本文采取的第一个措施是应用 极点放置技术。以网络综合理论为基础得到的基本电路 串臂上全是电容元件，电容具有通高频阻低频的特点，使 得高频信号容易通过该滤波器，所以此种形式滤波器幅 频特性在高频阻带部分要比低频阻带部分衰减得慢，使 得幅频特性曲线的对称性变差。为此将电路两端的并臂 电感转换成串臂电感，并在此电感上并联电容，利用电容 和电感的并联来增加 2 个衰减极点，以加大高频阻带端 的衰减，从而使滤波器的幅频特性满足算术对称的要 求[1]。放置方法如图 1 所示。
p
W2 (ω k )[τ
k=1
(X, ω k )
-
C
]2
（3）
式中：W2(ωk)为各频率点ω ′1，ω ′2，…，ω ′p上相频特性的权重
ຫໍສະໝຸດ Baidu
函数。τ (X,ωk)为各个频率点上实际的群时延值，其值可
由相位求导得到。理想的群时延特性曲线应该是一条水
平直线，所以 C 为常数。
3.3 滤波器总目标函数的建立
函数的梯度。对于群时延特性的梯度，为编程方便可以
转换为对相位的梯度。即
∑ ∂F
∂xi
=
i
m
W1(ωi
=1
)[|Vo
(X,
ωi
)|
-
|V͂o
(ωi
)|]
∂Vo ∂xi
+
∑k
p =
W2
1
(ω
k
)[φo
(X,
ω
k
)
-
V͂o
(ω
k
)]
∂φo ∂xi
（5）
从式（5）可以看出，要想求出总的梯度，必须要求出
∂φo ∂xi
本文虽然利用优化方法对滤波器参数进行优化，但 最初的电路仍是以网络综合设计理论为基础得到基本的 电路结构和元件参数，而后利用提出的极点放置技术增 加衰减极点[1]，并对电路进行一定的改进和等效变换，然 后利用最小二乘法使群时延特性逼近一条直线，同时利用 无约束优化算法对整个电路进行优化，使得滤波器的群 时延特性接近线性的同时幅频特性也能达到算术对称。
0 引言
作为现代通信系统中最常用的器件之一，无源滤波 器具有低噪声，不易产生干扰，适应范围广，大功率容量 及高稳定性等特点，其设计方法一般为网络综合法。在 应用网络综合法设计滤波器时，其幅频特性是几何中心 对称的，在线性坐标下不对称。而在实际应用中，滤波器 的幅频特性一般都是以线性坐标来计量。另外，用网络 综合法设计的滤波器，其群时延特性和幅频特性之间相 互矛盾，如何在两者之间取得折中，常常是设计中的难 题。再有，用网络综合法设计的滤波器，电路结构和元件 参数一经确定后就不能进行任何改变[1]。
3 滤波器数学模型的建立
3.1 滤波器幅频特性目标函数的建立
滤波器幅频特性数学模型的建立方法是：先在通带
和阻带内分别取点，共取 m 个频率点，然后求各个频率
点电压的实际值与理想值之差的平方和，目标函数可以
写成
∑ F
(X
)1
=
1 2
m
W1(ωi
i=1
)[|Vo
(X, ωi
)|
-
|V͂o (ωi
)|]2
2 电路改进技术
考虑制作时杂散电容和寄生电容的影响，在滤波器 的输入输出端分别并接 1 个电容，其作用是可以吸收掉 电路两端引线焊点所产生的杂散电容和输出端与地之间 的节点产生的寄生电容。另外，这 2 个电容可以滤除高 频阻带的高频信号，加速高频阻带端幅频的衰减。电容 的初始值为 0，其数值由优化过程求取。
【Abstract】 As for the contradiction between the filter’s amplitude-frequency characteristic arithmetic symmetry and the phase-frequency straightness, the paper is focus on an optimization design method based on pole placement technique and circuit improvement technique. Improving the circuit designed by network synthesis method, then optimizing the group-delay to a straight line using least square method, and simultaneously the circuit is optimized by unconstrained optimization method to obtain arithmetic symmetrical amplitude-frequency characteristic. The simulation results indicate that the proposed method can get arithmetic symmetrical amplitude-frequency and preferable group delay characteristics in pass-band. The designed circuit has merits of simple structure, less order, and lower insertion loss. 【Key words】 filter; amplitude-frequency; group-delay; optimization design
群时延是滤波器最重要的性能指标之一，其数值大 小是相位对频率的导数，物理意义是反映相位随频率变 化的快慢，理想状态为一条水平的直线，其值应该是一个 常数，即群时延波动应该为 0。但在用网络综合法设计 的滤波器群时延特性非但不平坦，而且波动非常大。一 般的解决办法是用时延均衡器来均衡，这样虽然能够使 群时延波动相对变小，但是时延均衡器的参数是固定的，
由于实例对滤波器选择性、矩形系数、带内波动、群 时延等技术指标要求较高，且带宽较大，所以选择通带 起伏为 0.1 dB 的 4 阶切比雪夫型滤波器作为设计原型[1]， 具体电路结构及元件参数可由网络综合法得到。元件 参数为 C1= 6.649 pF，C2= 5.092 pF，C3= 5.092 pF，C4= 6.649 pF，C5=1.967 pF，C6= 1.557 pF，C7=1.967 pF，L1= L2=L3=L4=16.667 nH，电路如图 2 所示[5]。图 3 为线性坐 标下网络综合法设计的滤波器幅频特性，图 4 为群时延 特性。
从仿真图看出，线性坐标下（420±200）MHz 处衰减 分别为 73.964 dB 和 22.016 dB，（420±60）MHz 处衰减分 别为 14.802 dB 和 2.223 dB，带内最大波动为 4.570 dB， 通带为 377～482 MHz，在（420±60）MHz 群时延波动为
图 4 4 阶切比雪夫型滤波器的群时延特性（截图）
滤波器总的目标函数就是幅频特性目标函数与群时
延特性目标函数之和，即
∑ F
(X
)
=
1 2
m
W1(ωi
i=1
)[|Vo (X,ωi
)|
-
|V͂o
(ωi
)|]2
+
∑ 1
2
k
p =
W2
1
(ω
k
)[τ
(X,
ωk
)
-
C
]2
（4）
4 滤波器的优化
4.1 目标函数的梯度
本文在对目标函数进行优化过程中采用的是无约束
优化方法，首先要求出目标函数对每个元件的灵敏度，即
器件与应用
值与理想值之差的平方和就会越小。同理，滤波器的群 时延特性越理想，各个频率点群时延的实际值与理想值 之差的平方和也越小。如果使目标函数F (X )达到最小， 那么群时延特性会接近一条水平直线，实际的幅频响应 曲线会接近理想曲线，即可得到最优的结果。对群时延 特性的优化，利用最小二乘法即可求出直线的系数。对 总目标函数的优化，采用共轭梯度法。在优化过程中不 断调整权函数直至求得元件的最佳参数值[1]。
只能被动地相对减小群时延波动，而不能从根本上解决 带内群时延波动过大的问题。另外，使用均衡器会增加 整个滤波器的元件数量，以致增大损耗，加大成本[2]。为 解决上述一系列问题，本文利用优化方法来优化滤波器 元件参数，使其群时延相位曲线逼近一条理想的水平直 线。该方法首先用最小二乘法在频率群时延坐标上确定 一条水平直线作为理想曲线的初值，然后优化元件参数， 使群时延特性曲线向这条直线逼近，从而得出新的元件 值，再得到新的理想相位曲线[3]。重复上面的过程，使群 时延特性曲线逐渐逼近理想的水平直线，直到获得最佳 的元件参数为止。
5 实例分析
设计 1 个无源带通滤波器，中心频率是 420 MHz， 0.2 dB 带宽为 120 MHz，线性坐标下（420±200）MHz 处衰 减大于 40 dB，带内波动要小于 0.2 dB，在（420±60）MHz 群时延波动要小于 5 ns，两端接电阻都是 50 Ω。 5.1 选取滤波器原型网络
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器件与应用
文章编号：1002-8692（2011）11-0050-03
模拟滤波器群时延的优化设计
马红梅，李 鹏，张旭珍
（华北科技学院，北京 101601）
【摘 要】 为解决滤波器幅频特性算术对称性和相位平直度之间的矛盾，提出了一种基于极点放置技术和电路改进技术的滤
∂φo ∂xi
= -îbk
⋅ ibk
（8）
式中：ibk为滤波网络的第 k 个频率点的输出电流，îbk为伴
随网络的第 k 个频率点的输出电流[4]。
4.2 目标函数的优化
滤波器的幅频特性越理想，各个频率点电压的实际
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16.457 ns。由此可知，用网络综合法设计的滤波器在线 性坐标下不对称，并且带内波动过大，通带过窄。 5.2 电路的改进
经极点放置及改进后电路如图 5 所示。电路中 C1， C6，C10，C11 初始值为 0。
5.3 电路优化 对滤波器整体进行优化，既要考虑幅频特性，又要
（1）
式中：Vo (X,ωi )是输出电压的实际值，V͂o (ωi )是已知的输出
电压理想值。Vo (X,ωi )可表示为
Vo = Vo (X,ωi ) = a(X,ωi ) + jb(X,ωi ) = a + jb
（2）
式中：a 为输出电压Vo的实部，b 为虚部，利用结点电压法
可以求解Vo。ωi 代表第 i 个采样频率，W1(ωi )是各采样频
【关键词】 滤波器；幅频；群时延特性；优化设计
【中图分类号】 TP713
【文献标识码】 A
Optimization Design of Analog Filter’s Group-delay
MA Hongmei, LI Peng, ZHANG Xuzhen （North China Institute of Science and Technology, Beijing 101601, China）
波器优化设计方法，即在网络综合法设计的滤波器电路基础上，利用极点放置技术和电路改进技术对电路结构进行改进，然后
用最小二乘法使群时延特性逼近一条直线，同时利用无约束优化算法对整个电路进行优化使幅频特性线性对称。仿真结果表
明，该方法能够使滤波器幅频特性算术对称，通带内能得到较好的群时延特性，而且电路结构简单，阶数少，插入损耗低。