三角模糊数及其应用

者偏好一致性也在一定程度内。 （10）三角模糊数互补判断矩阵 A~ (a~ij )nn 的一致性判断指标[11][12]：
其中，wi
是根据和积法处理模糊互反判断矩阵
(
E (a~ij E (a~ ji
) )
)
nn
得到。
（1-3-11）
一致性判断系数：CR CI / RI
（1-3-12）
其中， RI 是平均随机一致性指标，来修正 CI ，可查表所得。若 CR<0.1，可认为三角
根据互反判断矩阵理论，要使决策者前后判断信息满足一致性要求，在建立互反判
断矩阵 A (aij )nn 时首先满足式（1-3-18）和式（1-3-19）。
k
，
aik a(im)k
1
或 1
（1-3-18）
k
akj ， ak( jm)
1
或 1
（1-3-19）
根据互补判断矩阵理论，要使决策者前后判断信息满足一致性要求，在建立互补判
（1-3-17）
根据其值大小排序辅助决策。
实例分析
某高校要从四位候选中层管理干部中选出一位干部进入高层管理层工作，需要对其 进行综合评价排序，然后辅助决策。现由专家和负责部门有关人员组成评价小组进行考 核评定。其中三位专家负责建立评价指标矩阵，五位负责按评价指标“德、能、勤、绩” （考评对象的廉政情况通常单独考虑，尤其在高校这种非营利性组织中通常作为一个重 要的干部评价和考核因素）等四个方面确定关于评价对象表现的评分矩阵。具体评价过 程如下：
2，…，K；a~ikj [aikjL , aikjM , aikjU ] 是第 k 个专家给出的关于第 i 指标相对于第 j 指标重要
度的三角模糊数表示。
可见最终的综合三角模糊数互补判断矩阵 A~ (a~ij )nn 是 K 位专家的判断信息按权
威性的集结。
三角模糊数互补判断矩阵建立过程为：由专家（评价主体）根据一定标度（常用 0.1~0.9 标度，如表 1-3-1 所示），在充分掌握有关评价指标和评价对象信息的条件下分

[a
L ji
,
a
M ji
,
aUji
]
（1-3-7）
若
aiLj
aUji
aiMj

a
M ji
aiUj

a
L ji
1
，
aiLi aiMi aiUi 0.5
，
0 aiLj aiMj aiUj ， i, j N ，则称矩阵 A~ 是三角模糊数互补判断矩阵。
若由多位专家根据评价目的和评价指标的相关资料，建立关于评价指标间相对重要
度的三角模糊数互补判断矩阵，然后用由专家权威性而设定的权重对其进行集结，得到
关于评价指标的综合三角模糊数互补判断矩阵元素：
a~ij

(
K

wk
aikjL
,
K

wk
aikjM
,
K

wk
aikjU
)
，i、j
=
1，2，…，n
k 1
k 1
k 1
（1-3-8）
K 是负责确定互补判断矩阵的专家个数；wk 指第 k 专家所打数据的权威性，k =1，
（1-3-6）
s(a~,b~) 越大，则 a~ 与 b~ 相似程度越大。当 s(a~,b~) 1 时，则规范三角模糊数 a~ 与 b~
相等。
（7）三角模糊数互补判断矩阵[2][3][4]：设三角模糊数判断矩阵： A~ (a~ij )nn
其中 a~ij
[aiLj , aiMj , aiUj ] ， a~ji
求，但是那是建立在几乎改变主对角线以外的所有元素，从而就不能真实反映专家的大
部分科学判定，当然可由专家重新对矩阵进行检查修改。
（11）计算三角模糊数权重
记待求三角模糊数权重向量为：
w~ (w~1, w~2 ,, w~n )
（1-3-13）
其中 w~i (wiL , wiM , wiU ) ，i = 1，2，…，n。
为了综合考虑三位，建立三角模糊数互补判断矩阵专家的评判信息，每人都建立一
个三角模糊数互补判断矩阵，不妨记作： A~1 、 A~2 、 A~3 （如表 1-3-2 所示），同时利用
式（1-3-11）和式（1-3-12）进行一致性检验。为简化，不妨认为专家权威性一样，取 wr ＝1/3（r =1，2，3），借助它对三位专家判断信息通过式（1-3-8）进行集结，便得到评
设 a~ (aL , aM , aU ) 和 b~ (bL ,bM ,bU ) 为两个三角模糊数，则其运算法则如下：
（1）加法： a~ b~ (aL bL , aM bM , aU bU )
（1-3-1）
（2）
1 倒数：a~

(
1 aL
,
1 aM
,
1 aU
)
（3）三角模糊数 a~ 的期望值[5]：E(a~) [(1 )aL aM aU ]/ 2
（1-3-2）
0 1（1-3-3）
λ值的选择取决于决策者的风险 态度。当 1>λ>0.5 时，称决策者持偏向乐观的态
度（也称决策者是追求风险的）；当λ=0.5 时，表示决策者持中立的态度（也表示决策
者是风险中立的）；当 0<λ<0.5 时，表示决策者持偏向悲观的态度（也表示决策者是厌
恶风险的）。
（8）三 角 模 糊 数 互 补 判 断 矩 阵 的 期 望 矩 阵 ： 设 三 角 模 糊 数 互 补 判 断 矩 阵
A~ (a~ij )nn ，则称
A~ E (E(a~ij ))nn
（1-3-9）
为三角模糊数互补判断矩阵 A~ (a~ij )nn 的期望矩阵。显然，矩阵 A~ E (E(a~ij ))nn
断矩阵 B (bij )nn 时首先满足式（1-3-20）和式（1-3-21）。
k ， bik b(im)k 0 或 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（1-3-20）
k ， bkj bk ( jm) 0 或 0
（1-3-21）
注： k 表示对任意一个 k
第 1 章 抽样调查数据处理方法及其应用
1.3 三角模糊数及其应用
1.3.1 三角模糊数的概念
若模糊数 a~ 可由 (aL , aM , aU ) 决定， 0 aL aM aU 1) ，且隶属函数（或特
征函数）为：
0

x aL
a~
(
x)


aM aU
aL x
是（被测试者）最保守（悲观）的估计值（三角模糊数的下界）， aM 是最可能的估计
值， aU 是最乐观的评价值（三角模糊数的上界）。
aM aL aU aM
α，β为模糊度。若α，β<1/2 则模糊度过小；若
α，β>1 则模糊度过大；一般取 1/2≤α，β≤1 较合适。
1.3.2 三角模糊数的运算性质
表 1-3-5 综合三角模糊数评分矩阵
表 1-3-6 评价对象的三角模糊数总评分值
表 1-3-7 绩效的期望值
这时决策者可以根据表 1-3-7 中考评对象总体评价水平的期望值大小，同时结合考 评对象的廉政情况进行综合决策。如果只考虑绩效水平，同时只选拔一个干部，那第一 个候选人绩效水平最高，应当选。
表 1-3-5 是通过式（1-3-8）对五位专家打分信息的集结。其中，专家的权威性同样
不妨认为没有区别，因此也取等权重：ws＝1/5（s =1，2，3，4，5），然后根据式（1-3-16） 对专家打分信息集结，得到关于每位评价对象的最终的三角模糊数总评分值如表 1-3-6 所示；最后根据式（1-3-17）计算反映考评对象总体评价水平期望值（如表 1-3-7 所示）。
根据三角模糊数互补判断矩阵 A~ (a~ij )nn 来确定 w~ 时，通常按如下原则进行：让评
判专家及时修改矩阵，直到满足一致性要求为止。根据矩阵元素的普通集结法（简单加
权）计算三角模糊数权重，其计算式为：
w~i
n

aiLj

(
j 1
nn

aiUj
,
n

aiMj
j 1
n

n

aiMj
,
别两两对比评价指标建立。由于考虑到评价主体思维的模糊性，以及评价指标属性有时 很难用清晰数进行定量表示或比较，常用三角模糊数表示。上述标度对应的三角模糊数 如表 1-3-1 所示。当然矩阵建立时，专家也可以直接利用三角模糊数建立矩阵，同时根 据自己的偏好选择支撑的上界和下界大小。
表 1-3-1 0.1～0.9 标度的含义
排序辅助决策 由于不易直接比较 T~i 之间大小，不妨利用三角模糊数期望值计算式，计算各个评价
对象评分值的三角模糊数的期望值，再排序比较大小。 为了进一步消除个别评价主体偏好程度过大的不良影响，取λ=0.5，则三角模糊数 T~i
期望值的计算式：
E(T~i ) (TiL 2TiM TiU ) / 4
aU aM
0
x aL aL x aM
aM x aU x aU
aL aM aU
图 1-3-1 三角模糊数的分布图
则称 a~ 为规范的三角模糊数，记 a~ (aL , aM , aU ) ，当 aL aM aU 时， a~ 是一个
精确数。三角模糊数的分布（特征函数或隶属函数）如图 1-3-1 所示。在方案评价中，aL
值不科学性，反映考评主体决策的模糊性而提出的，通常都是用来确定评价指标相互间
的权重大小或方案间的重要性大小，在进行决策判断时建立哪一种矩阵主要是根据评价
者的偏好。值得注意的是为了提高权重计算的可信度和准确性，在建立三角模糊数判断
矩阵的过程中，要保证同一建立者前后信息的一致性程度在一定范围内，以及不同建立
是普通的模糊互补判断矩阵。
（9）三角模糊数互反判断矩阵[10]：设模糊互补判断矩阵 A~ (a~ij )nn ，若记
h~ij

a~ij a~ji
，i, j N
，
（1-3-10）
则矩阵 H~ (h~ij )nn 是模糊互反判断矩阵。
三角模糊数互补判断矩阵的作用和三角模糊数互反判断矩阵一样都是为避免确定
为：
T~ [T~1 ,T~2 ,,T~i ,,T~m ]
（1-3-15）
其中， T~i [TiL ,TiM ,TiU ] ，i = 1，2，…，m，则根据三角模糊数运算法则得：
T~i

[
n

w
L j
aiLj
,
n

w
M j
aiMj
,
n

wUj
aiUj
]
j 1
j 1
j 1
（1-3-16）
模糊数判断矩阵通过一致性检验，若通不过一致性检验要重新建立矩阵，或者进行一致
性修改。
需要指出的是一般不提倡对一致性进行数学形式的修改，因为是专家打分，因此
可信度和准确性是较高的，尤其是指标较少时（一般不超过五个），即使是出现差错也
是局部个别出现前后信息不一致，如果采用一致性修正它，虽然满足了一致性的硬性要
（4）倍数： a~ ( aL, aM , aU )
0
（1-3-4）
（5）距离：d (a~,b~)

{1 3
[(a
L
bL )2
(aM
bM )2
(aU
1
bU )2 ]}2
即为三角模糊数 a~ 到 b~ 的距离。
（1-3-5）
（6）相似度：s(a~,b~) 1 13[ aL bL aM bM aU bU ]
n

aiUj
j 1
nn

aiLj
)
i1 j1
i1 j1
i1 j1
（1-3-14）
（12）计算三角模糊数总评分值
设 w~ j

(w
L j
,
w
M j
,
wUj
)
，j= 1，2，…，n。利用其对
A~
(a~ij )mn 进行数据集结，得
每个被评价对象的三角模糊数总评分值。不妨记评价对象总评值的三角模糊数评分向量
小结
总之，建立的综合评价体系在指标属性为三角模糊数的情况下，不但很好地检验了 专家的偏序关系前后判断的一致性，而且最后得到了较满意的评价值的期望值，为决策 者提供了有效的决策依据。
目前存在一个关键问题，如果建立的矩阵一致性较差，无论在有效的处理方法，得 到的评判结果的准确性和可信度也是较低的。因此，再好的方法也无法弥补最初决策者 建立判断矩阵时思维的一致性偏离。基于此，在提高准确性同时为了方便决策过程，无 论方法一还是方法二，专家有必要按照下列有序传递理论进行判断矩阵的建立和修改。
价指标的综合三角模糊数互补判断矩阵 A~ （如表 1-3-3 所示），并利用式（1-3-11）和
式（1-3-12）进行一致性检验。同时根据式（1-3-14）计算出的评价指标的三角模糊数 权重值如表 1-3-4 所示。
表 1-3-2 三位专家建立的三角模糊数互补判断矩阵
表 1-3-3 评价指标的综合三角模糊数互补判断矩阵 表 1-3-4 评价指标的权重