第19讲 函数的极值、最值及图形的描绘

)
(
x
x0
)2
o
((x
x0
)2
)
对于驻点, 如果函数的二阶导数存在 , 则 可利用函数在点x0 处的二阶导数符号来判别点 x0 是否为极值点.
定理
设 f (x) C(U(x0 )) , 在 x0 有二阶导数,
且 x0 为 f (x) 的驻点(即 f (x0 ) 0 ) , 则
(1) f (x0 ) 0时, x0 为 f (x) 的极大点;
x (, 1) 1 (1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, )
y
0
y
极
极
极
小
大
小
f (x) 的极小点为： x 1, x 1;
极小值为： f (1) 0 , f (1) 0 .
f (x) 的极大点为： x 0 ; 极大值为： f (0) 1.
自己总结求 极值的步骤
例2 求 f (x) (x2 1)3 1 的极值.
温故而知新
求一个连续函数在 [a, b] 上的最大值和 最小值 , 只要先求出函数 f (x) 在 (a, b)内的 一切极值可疑点 ( 驻点和一阶导数不存在的 点), 然后比较极值可疑点的函数值及区间端 点函数值 , 其中最大者就是函数 f (x) 在区间 [a, b] 上的最大值, 最小者就是函数 f (x) 在 区间[a, b] 上的最小值.
2
(x2
1
1) 3
2x
4x
3
3 3 (x 1)(x 1)
令 f (x) 0 , 得驻点 x 0 ,
又 x 1, x 1时, f (x) 不存在, 故 极值可疑点为 x 1, x 0 , x 1.
列表讨论单调性, 判别极值:
f (2) 0 f (0.5) 0 f (0.5) 0 f (2) 0
( 2) f (x0 ) 0时 , x0 为 f (x) 的极小点;
(3) f (x0 ) 0时, 不能判定 x0 是否为 f (x) 的极值点.
此时应另找其他方法.
什么方法？
高阶的泰勒展开式？
2
例1
求 f (x) (x2 1)3 的极值 .
解 f (x) 的定义域：x (, ) ,
f
(x)
于是, x x0 时 , 1 (x0, x) , 使 f (x) f (x0 ) f (1)(x x0 )
x x0 时 , 2 (x, x0 ) , 使
f (x) f (x0 ) f (2 )(x x0 )
由定理中 (1) 的条件, 得
y
x x0 时 , f (x) f (x0 ) ,
x x0 时 , f (x) 0 , (单调增加) 则x0 为 f (x) 的极小点, f (x0 ) 为极小值.
证
x Uˆ (x0 ) , 由已知条件可知 :
x x0 时 , 在[x0, x] 上; x x0 时 , 在[x, x0 ] 上 ,
函数 f (x) 满足拉格朗日中值定理条件.
x x0 时 , f (x) f (x0 ) , O
故 x0 为 f (x) 的极大点, f (x0 ) 为极大值.
y 由定理中(2) 的条件, 得
x x0 时 , f (x) f (x0 ) ,
x x0 时 , f (x) f (x0 ) ,
O
故 x0 为 f (x) 的极小点, f (x0 ) 为极小值.
r3 V
(2
4V r3
)
r 3
V
6
0.
例5
某出版社出版一种书, 印刷 x 册所需
成本为 y 25000 5x (元)
每册售价 p 与 x间有经验公式
x 6 (1 p )
1000
30
假设书可全部售出, 问应将价格 p 定为多
少才能使出版社获利最大？
解 以Q 表示获利, 则
Q pxy
由经验公式, 得 p 30 x 200
)3
R3 (x)
x0 为驻点, 且 f (x0 ) 0 , f (x0 ) 0 存在时,
f (x) f (x0 )
f
( x0 3!
)
(
x
x0
)3
R3
(
x)
显然, f (x) f (x0 ) 在 x0 左右两边反号, 此时
函数在 x0 处不取极值.
就是说：
设 f (x) C(U(x0 )) , 在 x0 有三阶导数, 且 x0 为 f (x) 的驻点, f (x0 ) 0 , f (x0 ) 0 则 x0 不是函数的极值点.
(1) 当n 为奇数时, x0 不是 f (x) 的极值点; (2) 当n 为偶数时, x0 是 f (x) 的极值点：
f (n) (x0 ) 0 时 , x0 为极小点 ; f (n) (x0 ) 0 时 , x0 为极大点 .
二、函 数 的 最大、最小值
在工程技术和生产实践中, 常常需要考虑 在一定条件下, 怎样才能使用料最少、费用最 省, 而效率和效益最高等问题. 这些问题反映 到数学上就是最优化问题.
我们已经知道的与函数极值有关的定理和公式: 费马定理 — 可微函数取极值的必要条件 函数的单调性判别定理和方法 泰勒公式 — 可利用高阶导数
定理
可微函数 f (x) 在点 x0 处取极值的必要条件是f (x0 ) 0 .
实质上就是费马定理 .
使 f (x0 ) 0的点称为函数 f (x) 的驻点.
由费马定理可知 , 驻点只是函数的极值可 能点.
函数在驻点处不一定取极值. 例如, y x3 在点 x 0 处, y 0 , 但 此时 y x0 不是极值 .
y
x0 O
y x3 x
使得函数导数不存在的点也是极值可疑点.
例如, y | x | x (, )
y y | x|
在点 x 0 处不可导,
y
y
y
O x0 x0 x0 x O x0 x0 x0 x
极大点
极小点
O x0 x0 x0 x
不是极值点
y
•
y
•
y
•
O x0 x0 x0 x O x0 x0 x0 x
极大点
极小点
O x0 x0 x0 x
不是极值点
通过观察以上的图形你得到什么结论？
判别函数的极值点, 主要是判别极值可疑点左、右 两侧函数的单调性. 对于可微函数将归结于判别函数的导数的符号.
但 x 0 恰好是它的极小点 .
O x0 x
极值可疑点
驻点: f (x) 0 的点. 使 f (x) 0 不存在点.
如何判断极值可疑点是否确为极值点?
首先考察下列函数的图形:
y
y
y
O x0 x0 x0 x O x0 x0 x0 x
极大点
极小点
O x0 x0 x0 x
不是极值点
而 f (1) 0 , f (1) 0 ,
怎么办？
首先看看函数的图形. 由图形可知:
x 1 不是函数的极值点. 问题在于如何进行解析描述.
我们再看一下泰勒公式：
y 1 O 1 x
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)
2
f
( x0 3!
)
(
x
x0
定理
设 f (x) C(U(x0 )) , 在 Uˆ (x0 )内可微 , 点 x0 为 f (x) 的极值可疑点,
(1) 若 x x0 时 , f (x) 0 ; (单调增加) x x0 时 , f (x) 0 , (单调减少)
则x0 为 f (x) 的极大点, f (x0 ) 为极大值. (2) 若 x x0 时 , f (x) 0 ; (单调减少)
f (x) 24 x (5x2 3) f (1) 48, f (1) 48, 故 x 1, x 1 不是函数的极值点. 综上所述, x 0 是 f (x) 的极小点, 极小值 f (0) 0 .
该题也可通过讨论函数f (x) 在 x 1处 左右两边的单调性来做.
定理
设 f (x) C(U(x0 )) , 在 x0处有n 阶导数 , 若 f (x0 ) f (x0 ) f (n1) (x0 ) 0 , f (n) (x0 ) 0 , 则
解 f (x) 的定义域：x (, ) ,
f (x) 6 x (x2 1)2 令 f (x) 0 , 得驻点 x 1 , x 0 , x 1,
又 f (x) 6 (x2 1) (5x2 1) f (0) 6 0 ,
x 0 是 f (x) 的极小点, 极小值 f (0) 0 .
没有什么新的东西
用薄铁片冲制圆柱形无盖容器, 要求
例4
它的容积一定, 问应如何选择它的半径和
高度才能使用料最省 ?
解 设容积(体积)为 V , 半径为 r , 高为 h .
用料最省即指容器的表面积 A 最小.
V r2h
h
V
r
2
应
故 A r 2 2 r h r 2 2V
r
用 题
令
d d
求最值的几个特殊情况
(1) 若 f (x) [a, b] , 则 f (b) 为最大值, f (a) 为最小值. (2) 若 f (x) [a, b] , 则 f (a) 为最大值, f (b) 为最小值. (3) 若 f (x) C( [a, b] ) , 在 (a, b)内只有唯一点一个
极大(小)值点 , 则该点就是函数的最大(小)值点 .
实际判断原则
在处理实际问题时：若f (x) C( I )，且 在区间 I 上只有唯一的一个极值可疑点x0 , 而由实际问题可以断定函数 f (x)在区间 I 上 存在最大(小)值，则点x0 必为函数 f (x) 的最 大(小)值点.
例3 求 f (x) x4 2x2 5 在 [2, 2] 上的最大和最小值.
解 f (x) 4x3 4x 4 x (x 1)(x 1)
令 f (x) 0, 得极值可疑点 : x 1, x 0 , x 1, (驻点)
计算函数值: f (1) 4 , f (0) 5 , f (1) 4 ; f (2) 13 , f (2) 13 , ( 端点值 )
故 f (x) 在[2, 2]上的最大值和最小值为: ymax max{4, 5, 4,13,13} 13 ymin min{4, 5, 4,13,13} 4 最大值点为: x 2 , x 2 . 最小值点为: x 1, x 1.
于是 Q (30 x ) x (25000 5x) 200
令 Q (30 x ) x 5 0 200 200
得唯一极值可疑点 x 2500 (册) ,
又 Q 1 , 100
故 x 2500为极大点, 即为 Q 的最大点 .
从而应将价格 p 定为
p
(30 x ) 200
x2500
(k ) ( x0 k!
)
(
x
x0
)k
Rn (x) .
即
f
(x)
f
(x0 )
f
(x0 )(x
x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
Rn (x)
看这一部分
如果 x0 是驻点, 会.
f (x)
f (x0 )
f
( x0 2!
)
(x
x0
)2
o
((
x
x0
)2
)
f (x)
f (x0 )
f
( x0 2!
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第十九讲 一元微积分的应用(二) —— 函数的极值、最值以及图形描绘
第五章 导数与微分的应用举例
本次学习要求：
▪ 熟练掌握求函数的极值、最值。
一、函 数 的 极 值
函数的极值是个局部性的概念. 在 U(x0 )内比较 f (x) 与 f (x0 ) 的大小.
优化技术应用价值很大
怎样求函数在一个区间上 的最大、最小值呢？
回忆以前学过的知识：
若 f (x) C( [a, b] ) , 则 f (x) 必在[a, b] 上 取到它的最大值和最小值 .
f (x) 的最大值和最小值可能在区间的端点 x a , x b 处取得, 也可能在区间内部取得.
如果 f (x) 在 (a, b)内 取得其最大值和最小 值 , 则这些最值一定是函数的极值 .
A r
2
r
2V r2
0,
得
r3 V ,
因为 r 3 V 是 A的唯一极值可疑点,
又 A 的最小值一定存在 , 所以, r 3 V 为 A的最小点,
如果不放心,可用 二阶导数进行判断.
故当要求的容器的容积为 A 时 , 选择半径
r 3 V , 高 h 3 V 可使用料最省.
事实上
d2 A dr2
x0
xLeabharlann Baidu
x0
x
判别点x0 是否为函数的极值点, 就是在 U(x0 )内 比较函数值 f (x) 与 f (x0 ) 的大小.
想想还有哪一个公式中也体现了
f (x) 与 f (x0 )的关系？
回忆泰勒公式 :
设 f (x) 在 U(x0 )内有直到 (n 1) 阶导数, 则
f (x)
n k 0
f