平行线几个压轴题有答案
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练习
11.问题情境：如图1，AB ∥ CD，∠PAB = 130∘，∠PCD = 120∘，求∠APC 的度数．小明
的思路是过点P 作PE ∥ AB，通过平行线的性质来求∠APC．
(1)按照小明的思路，求∠APC 的度数；
(2)问题迁移：如图2，AB ∥ CD，点P 在射线ON 上运动，记∠PAB = α，∠PCD = β，
当点P 在B，D 两点之间运动时，问∠APC 与α，β之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在(2)的条件下，如果点P 不在B，D 两点之间运动时(点P 与点O，B，D 三点不重合)，
请直接写出∠APC 与α，β之间的数量关系．
(1) 过点P 作P E ∥ AB，
∵ AB ∥CD，
∴ P E ∥ AB ∥CD，
∴ ∠A + ∠AP E = 180∘，∠C + ∠CP E = 180∘，
∵ ∠P AB = 130∘，∠P CD = 120∘，
∴ ∠AP E = 50∘，∠CP E = 60∘，
∴ ∠AP C = ∠AP E + ∠CP E = 110∘．
(2) ∠AP C = ∠α + ∠β．
理由：如图2，过P 作P E ∥ AB 交AC 于E，
∵ AB ∥CD，
∴ P E ∥CD，
∴ ∠α = ∠AP E，∠β = ∠CP E，
∴ ∠AP C = ∠AP E + ∠CP E = ∠α + ∠β．
(3) 如图3 所示，
当P 在BD 延长线上时，∠CP A = ∠α−∠β；
如图4 所示，
当P 在DB 延长线上时，∠CP A = ∠β −∠α．
24.问题情境：如图1，AB∥CD，判断∠ABP，∠CDP，∠BPD之间的数量关系．
小明的思路：如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠ABP+∠CDP+∠BPD=°．问题迁移：AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，点P在直线EF上(点P与点E，F不重合)运动．
(1)当点P在线段EF上运动时，如图3，判断∠ABP，∠CDP，∠BPD之间的数量关系，并说明理由；
(2)当点P不在线段EF上运动时，(1)中的结论是否成立，若成立，请你说明理由；若不成立，请你在备
用图上画出图形，并直接写出∠ABP，∠CDP，∠BPD之间的数量关系．
解：过点P作PE∥AB，则
PE∥CD，
∴∠ABP+∠BPE=180°，∠DPE+∠CDP=180°，
∴∠ABP+∠BPE+∠DPE+∠CDP=360°，
∵∠BPD=∠BPE+∠DPE，
∴∠ABP+∠CDP+∠BPD=360°，
故答案为：360；
(1)∠ABP+∠CDP=∠BPD；
证明：如图1，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PQ∥CD，
∴∠B=∠1，∠D=∠2，
∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D；
(2)不成立，关系式是：∠B-∠D=∠BPD，或∠D-
∠B=∠BPD，理由：如图2，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PQ∥CD，
∴∠BPQ=∠B，∠D=∠DPQ，
∴∠B-∠D=∠BPQ-∠DPQ=∠
BPD，即∠BPQ=∠B-∠D．
如图3，同理∠D-∠B=∠BPD
25.如图，已知平面内有两条直线AB、CD，且AB∥CD，P为一动点．
(1)当点P移动到AB、CD之间时，如图(1)，这时∠P与∠A、∠C有怎样的关系？证明你的结论；
(2)当点P移动到图(2)、图(3)的位置时，∠P、∠A、∠C又有怎样的关系？请分别写出你的结
论．
解：(1)∠APC=∠A+∠C．
证明：如图1，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PE，
∴∠A=∠APE，∠C=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠A+∠C．
(2)如图2，∠APC+∠A+∠
C=360°，理由：过点P作PE∥
AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥PE，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∴∠APC+∠A+∠C=360°；
如图3，∠APC=∠C-∠
A．理由：过点P作PE∥
AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PE，
∴∠C=∠CPE，∠A=∠APE，
∴∠APC=∠CPE-∠APE=∠C-∠A．
26.如图(1)所示，是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，
那么你可深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．
① 如图(2)所示，已知AB∥CD，请问∠B，∠D，∠E有何关系并说明理由；
② 如图(3)所示，已知AB∥CD，请问∠B，∠E，∠D又有何关系并说明理由；
③ 如图(4)所示，已知AB∥CD．请问∠E+∠G与∠B+∠F+∠D有何关系并说明理由．
解：如图所示：
①过E作EM∥AB，
∵AB∥CD，则EM∥CD，故EM∥AB∥CD，
∴∠MEB=∠B，∠MED=∠D，
∴∠B+∠D=∠E；
②过E作EM∥AB，根据平行线的传递性，则EM∥CD
故EM∥AB∥CD，
∴∠MEB+∠B=180°，∠MED+∠D=180°，
∴∠B+∠E+∠D=360°；
③分别过E，F，G作AB
的平行线，
则∠1=∠B，∠2=∠3，
∠4=∠5，∠6=∠D，
∴∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+
∠D，即，∠E+∠G=∠B+∠F+∠D．
27.已知直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别交于C、D两点，点P是直线l3上的一动点