相变热传导的计算
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相变贮能是通过相变材料 (PCM ) 来实现的。对 于一个相变贮能装置, 必须研究相变材料的物性及 外壁的边界条件对贮 (释) 热过程的影响, 掌握其两 相界面运动的规律, 藉此确定贮热介质的数量和相 变过程所需的总时间等设计参数。也就是说, 必须进 入深入的相变传热分析, 这对于相变材料的有效利 用、系统的优化设计及性能的准确预示有着重要作 用。 不仅如此, 相变传热分析对于冰的融化、水的冻 结、金属的浇注、焊接、晶体的融熔生长、食品的冷冻 干燥、反应堆的安全、返地飞行器再入大气层的气动 加热 (烧蚀)、飞船的热控制等问题都具有重要的指 导意义。
第1期 2000 年 3 月
能源研究
能源技术 EN ER GY T ECHNOLO GY
相变热传导的计算
N o. 1 J an. 2000
邹 进 黄素逸 (华中理工大学工程热物理教研室, 武汉 430074)
摘 要 对相变材料进行相变传热分析, 在其实际应用中具有重要的意义。但由于相变过程存 在一个移动的边界面, 因而相变传热的计算比之单纯热传导更为复杂。本文介绍了一种基于焓法的 数值计算方法, 它不用考虑相界面的移动, 在相变传热的计算 (尤其是多维计算) 中, 具有特殊的优 越性。
图 1 凝固过程与相分界面
(2) 相界面上有相变潜热的释放或吸收, 相界 面位置 S 随时间而移动, s= s (Σ)。 凝固过程从区域 的表面开始而推向其内部, 相界面则随 x 轴的正方 向移动, 直到凝固过程的终结为止。相分界面可视为 既是固相区, 又是液相区的移动界, 求解这个一维相 变问题, 即确定固相区与液相区的温度分布 ts= (x, Σ) 和 t1 (x, Σ) , 必须边界 s (Σ) 的移动规律作为解的一 部分予以确定。
Θscs
5T s 5Σ
=
(ks T s) + qs
(5)
Θ1c1
5T 1 5Σ
+
v
T1 =
(k1 T 1) + q1 (6)
式 (4)～ (6) 构成了温度法求解相变问题的基本
方程, 式 (6) 中 v 是液相速度矢量。但在求解过程中,
由于相界面移动可变, 相变问题的求解必须在尚待
确定的区域进行; 同时, 移动边界上是非线性边界条
焓法的基本方程是积分形式:
∫ ∫ d
dΣ
ΘhdV
v
+
Θhv dA =
s
∫ ∫ k∃T dA + qdV
(7)
s
v
当固、液两相的比热分别为常数时, 温度与焓的
关系可表示为
h-
h
3 s
cs
h<
h
3 s
T - Tm =
0
h
3 s
≤ h ≤ h13
(8)
h - h13 c1
h13 < h
式中 h
3 s
,
Η=
TTm -
Tm Ta
L=
cs
∃ hm (Tm -
T
a
)
=
1 Sts
X=
x EL
Fo =
k sΣ ΘcsEL 2
B i=
Α·EL ks
T a ——周围环境温度
EL ——板的厚度
c s —— 固相比热
S t s —— 斯坦芬数
Fo ——傅立叶数
B i——毕奥数
采 用 时 间 向 前 差 分—— 区 域 中 心 差 分 格 式
(1) 两相之间存在一个分界面, 把两个不同物 性的区域分开。如图 1 所示。对于纯物质, 相变温度 是单一值, 相分界面是一个明确的几何面; 对于混合 物、合金及非纯物质, 相变是发生在一个温度范围内 而不是一个单一值, 致使相分界面不是一个明确的 几何面, 而是一个具有相当宽度的两相区, 在该区域 中相变过程逐步发生。为便于分析, 在这里只讨论相 变温度是单一值、因而相界面是明确的几何面的简 化情形。
1 郭宪良, 孔祥谦, 陈善年编. 计算传热学. 中国科学技术出
简讯
美国重视风力发电
美国拥有非常丰富的风力资源。 由于环境保护 和对未来能源的需要, 美国十分重视开发和利用风 能。 美国目前的风力发电装机容量约 2500MW , 到 2006 年将达到 4200MW , 是世界上风力发电装机容 量最大的国家之一。 美国的风力发电机主要安装在 加利福尼亚州和夏威夷, 以后还要扩大到德克萨斯、 华盛顿和阿拉斯加等州。
固2液界面由已凝固的格点数加正在凝固的格 点中已凝固部分确定:
Γn =
N-
j+
1 2
-
Εn ∃X
(13)
对于圆柱体
Εn =
j-
1 2
2
+
2
jH
n j
(
j)
L-
j-
1 2
对于平板
Εn =
H
n j
L
式中 j——为 n 时刻界面所在格点标号
Γ—— 界面所在位置
N ——均分网格数
对于表面无量纲热流, 则可由表面温度 Tw 按
(FTCS) , 将式 (10)、(11) 离散化, 并令 Χ=
∃ FoL ∃X2
,
得
H
n+ j
1
+
2ΧΗnj + 1 =
H
n j
+
Χ
1+
Β 2j
Η + n+ 1 j+ 1
1-
Β 2j
Ηn+ 1 j- 1
Η = H n+ 1 j
n+ 1 j
H
n+ j
1
<
0
or
j = 1, 2…n - 1
Ηn+ j
1
x = s (Σ)
ts = (x, Σ) = t1 (x, Σ) = tm
(1)
其次, 由能量平衡条件, 在相界面上取单位截面
积的控制体, 将能量守恒定律应用于这个与相界面
一起沿 x 轴正方向移动的关系, 可得
q1 - qs = Θ1v1h 1 - Θsvsh s
(2)
式中 q1, q2 —— 移动边界处液相与固相内的热流
h13
—— 分别为固、液相饱和焓
在不考虑对流及热源的情况下, 将式 (8) 代入式
(5)、(6) , 并假定固、液相比热为常数, 则得到
Θ55hΣ = k 2T
(9)
Θ=
Θs,
k=
k s,
(h <
h
3 s
)
Θ= Θ1, k = k1, (h < h13 ) 这就是简化的基于焓法模型的相变热传导方
热阻法、逐次逼近法等等; 数值计算的方法则有固定 步长法、自变量变换法和焓法[1, 2]。 这里我们采用数
值计算中的焓法来求解一维相变传热问题。
焓法的主要思路是将热焓和温度一起作为待求
函数, 在整个区域 (包括液相、固相和两相界面) 建立 一个统一的能量方程, 利用数值方法求出热焓分布, 然后确定两相界面。 因此, 它不需要跟踪界面, 将固 液相分开处理, 所以也就更适合于多维的情况。数学 上已经证明: 焓法模型的基本方程和描述相变问题 的常用方程是等价的[1 ]。
(3) 非线性的移动相界面边界条件。 由于相分 — 11 —
邹 进等: 相变热传导的计算
界面是固、液相区域的移动边界, 因此, 相界面上相 变的发生和相变潜热的释放 (或吸收) 就决定了固、 液两区域移动边界上的边界条件。
首先, 由温度连续性条件, 即移动相界面的温度 总是维持相变温度 tm , 则两相在相界面处的温度应 相等, 即
=
0
H
n+ j
1
≥
0
ΗNn = - 1 (第一类边界条件)
(12a) ( 12b )
H
n+ N
1
+
2Biblioteka Baidu 1 +
Β 2N
B N
iΗNn+
1
=
H
n N
=
2Χ
Ηn+ N-
1 1
-
1+
Β 2N
Bi N
(第三类边界条件)
(12c)
Η0 = 0, H 0 = L (初始条件) 用超松弛法解式 (12) 式, 便可求得 Ηnj 及 H nj。
学出版社, 1991. 8. 4 Sham sunder N , and Sp a rrow EM. A na lysis of
m u ltidim en siona l conduction p ha se change via the en tha lp y m odel. A SM E J. H ea t T ran sfer V o l, 1975, 97: 333- 340
程。其优点是把原来在两个活动区域及固2液界面成 立的方程组 (4)～ (6) 转变为一个固定区域内成立的 方程组 (8)、(9) , 它无需追踪界面, 很便于数值计算。
对于一维相变, 将式 (9) 无量纲化, 得到
5H 5Fo
=
L
1 XΒ
5 5X
X
Β
5Η 5X
(10)
式中 Η= H , (H < 0) Η= 0 (H ≥0)
尽管物质相变的形式有多种 (汽2液、汽2固、固2 液和固2固) , 但就其实现的可能性及成本来说, 相变 材料 (PCM ) 的贮能应用最普遍的是固2液相变, 因 此下面着重讨论这种类型的相变。
2 相变问题的特点与难点
由于相变问题包括相变与热传导两种物理过 程, 使其比单一热传导过程显得更复杂, 它具有以下 特点:
下式计算
qw =
h (Tw h (Tm -
T a) T a)
=
Ηw +
1
(14)
4 数值计算的结果分析
由 于水是最常见的相变材料, 按照公式 (12)、 (13) , 我们计算了伴随第一类边界条件、起始温度为 相变温度的一维有限平板中水的凝固传热。 给定条 件如下:
初始条件 (Σ= 0) : T = 0℃ T a = - 27℃ H = 3. 704 EL = 0. 1m 边界条件: T x= 0 = T a T = x= EL T a 图 2 给出了过程开始后约 616h 的温度分布曲 线; 此外, 通过已计算出的焓值还可以很方便地求出 某时刻相界面的位置, 例如, 当 Σ= 316h 的时候, s (Σ) = 01034m (其对称面为 01066m ) , 如图 3 所示。
对平板, Β= 0; 圆柱, Β= 1; 球形, Β= 2
邹 进等: 相变热传导的计算
Η x= 1 = - 1 (第一类边界条件)
5 5X
=-
x= 1
B i(Η+
1)
x= 1 (第三类边界条件)
Η Fo= 1 = 0, H = Fo= 1 L (初始条件)
(11)
式中 H =
h-
h
3 s
cs (Tm - T a)
件, 迭加原理不再适用, 每一种情形必需分别予以处
理。 因此, 对于相变问题的求解是相当困难的, 至今
只有少数精确解, 对于大多数相变问题必须采用近
— 12 —
似解或数值解。
3 焓法
通过以上分析, 我们看到, 由于相变问题的复杂 性, 一般均采用近似分析或数值分析的方法来求解。 其中近似分析的方法有积分法、准稳态法、摄动法、
对于一维问题, 若固、液两相内均为纯导热过 程, 则式 (3) 变成
ks
5t s 5x
-
k1
5t1 5x
=
Θ∃ hm
ds dΣ
(4)
此即温度法中的相界面能量平衡方程。 可以证
明, 式 (4) 是一个非线性的方程[1]。 在相变问题中, 除了式 (4) 外, 对于固、液相还分
别存在以下能量平衡方程式
由此可见, 焓法确定是一种计算相变传热行之 有效的方法, 特别对于多维相变传热更具有特殊的 优越性。
参考文献
版社, 1988. 2 张寅平, 胡汗平, 孔祥冬, 苏跃红编著. 相变贮能—— 理论
和应用. 中国科学技术出版社, 1996. 3 程俊国, 张洪济, 张慕瑾, 顾念祖编. 高等传热学. 重庆大
图 2 616h 时的温度分布曲线图
图 3 316h 时的温度分布及两相界面图
— 13 —
邹 进等: 相变热传导的计算
通过焓法数值解与其 N eum ann 精确解的比较说 明[2], 用定时间步长计算的误差随凝固速度而变化; 开始凝固速度快, 故误差偏大; 在空间步长为 0105 时, 采用变时间步长, 温度计算精度达 015% , 界面 位置精度可达 012%。
主题词 相变材料 焓 热传导
1 前言
我们知道, 物质存在有三态: 固态、液态和汽态。 物质从一种状态变到另一种状态叫相变。 利用物质 的相变来进行能量的吸收或释放的过程就是相变贮 能。相变过程一般是一个等温或近似等温过程, 且常 常伴随着大量能量的吸收和释放, 这一特点使其首 先在采暖、被动式太阳房等太阳能的开发和利用中 得到重视, 随着相变贮能研究的深入, 其应用背景也 扩展到低温、制冷、建筑、化工、工业节能等方面。 目 前, 一些功能新颖的相变日用品也已问世, 诸如冰箱 蓄冷器、速冷保温奶瓶、相变蓄热取暖器和高温蓄热 电饭锅等等。
密度, 指问 x 轴正方向
v1, vs—— 液相与固相相对于界面的移动速
度
h1, h s——液相与固相的焓 根据质量守恒定律, Θ1v1= Θsvs, 上式变成
q1 - qs = Θ1v1∃hm = Θsvs∃hm
(3)
式中 ∃ hm ——物质的相变潜热
∃ hm = h1- h s 相对速度 v1、vs 的大小与两相的密度有关, 当 固相和液相的密度相同 (Θ1= Θs= Θ) 时, v1= vs, 且与 相界面移动速度 vx= d s dΣ 的大小相等, 即 v1= vs= vx= d s dΣ, 不会出现液相区对相界面的相对移动速 度。
第1期 2000 年 3 月
能源研究
能源技术 EN ER GY T ECHNOLO GY
相变热传导的计算
N o. 1 J an. 2000
邹 进 黄素逸 (华中理工大学工程热物理教研室, 武汉 430074)
摘 要 对相变材料进行相变传热分析, 在其实际应用中具有重要的意义。但由于相变过程存 在一个移动的边界面, 因而相变传热的计算比之单纯热传导更为复杂。本文介绍了一种基于焓法的 数值计算方法, 它不用考虑相界面的移动, 在相变传热的计算 (尤其是多维计算) 中, 具有特殊的优 越性。
图 1 凝固过程与相分界面
(2) 相界面上有相变潜热的释放或吸收, 相界 面位置 S 随时间而移动, s= s (Σ)。 凝固过程从区域 的表面开始而推向其内部, 相界面则随 x 轴的正方 向移动, 直到凝固过程的终结为止。相分界面可视为 既是固相区, 又是液相区的移动界, 求解这个一维相 变问题, 即确定固相区与液相区的温度分布 ts= (x, Σ) 和 t1 (x, Σ) , 必须边界 s (Σ) 的移动规律作为解的一 部分予以确定。
Θscs
5T s 5Σ
=
(ks T s) + qs
(5)
Θ1c1
5T 1 5Σ
+
v
T1 =
(k1 T 1) + q1 (6)
式 (4)～ (6) 构成了温度法求解相变问题的基本
方程, 式 (6) 中 v 是液相速度矢量。但在求解过程中,
由于相界面移动可变, 相变问题的求解必须在尚待
确定的区域进行; 同时, 移动边界上是非线性边界条
焓法的基本方程是积分形式:
∫ ∫ d
dΣ
ΘhdV
v
+
Θhv dA =
s
∫ ∫ k∃T dA + qdV
(7)
s
v
当固、液两相的比热分别为常数时, 温度与焓的
关系可表示为
h-
h
3 s
cs
h<
h
3 s
T - Tm =
0
h
3 s
≤ h ≤ h13
(8)
h - h13 c1
h13 < h
式中 h
3 s
,
Η=
TTm -
Tm Ta
L=
cs
∃ hm (Tm -
T
a
)
=
1 Sts
X=
x EL
Fo =
k sΣ ΘcsEL 2
B i=
Α·EL ks
T a ——周围环境温度
EL ——板的厚度
c s —— 固相比热
S t s —— 斯坦芬数
Fo ——傅立叶数
B i——毕奥数
采 用 时 间 向 前 差 分—— 区 域 中 心 差 分 格 式
(1) 两相之间存在一个分界面, 把两个不同物 性的区域分开。如图 1 所示。对于纯物质, 相变温度 是单一值, 相分界面是一个明确的几何面; 对于混合 物、合金及非纯物质, 相变是发生在一个温度范围内 而不是一个单一值, 致使相分界面不是一个明确的 几何面, 而是一个具有相当宽度的两相区, 在该区域 中相变过程逐步发生。为便于分析, 在这里只讨论相 变温度是单一值、因而相界面是明确的几何面的简 化情形。
1 郭宪良, 孔祥谦, 陈善年编. 计算传热学. 中国科学技术出
简讯
美国重视风力发电
美国拥有非常丰富的风力资源。 由于环境保护 和对未来能源的需要, 美国十分重视开发和利用风 能。 美国目前的风力发电装机容量约 2500MW , 到 2006 年将达到 4200MW , 是世界上风力发电装机容 量最大的国家之一。 美国的风力发电机主要安装在 加利福尼亚州和夏威夷, 以后还要扩大到德克萨斯、 华盛顿和阿拉斯加等州。
固2液界面由已凝固的格点数加正在凝固的格 点中已凝固部分确定:
Γn =
N-
j+
1 2
-
Εn ∃X
(13)
对于圆柱体
Εn =
j-
1 2
2
+
2
jH
n j
(
j)
L-
j-
1 2
对于平板
Εn =
H
n j
L
式中 j——为 n 时刻界面所在格点标号
Γ—— 界面所在位置
N ——均分网格数
对于表面无量纲热流, 则可由表面温度 Tw 按
(FTCS) , 将式 (10)、(11) 离散化, 并令 Χ=
∃ FoL ∃X2
,
得
H
n+ j
1
+
2ΧΗnj + 1 =
H
n j
+
Χ
1+
Β 2j
Η + n+ 1 j+ 1
1-
Β 2j
Ηn+ 1 j- 1
Η = H n+ 1 j
n+ 1 j
H
n+ j
1
<
0
or
j = 1, 2…n - 1
Ηn+ j
1
x = s (Σ)
ts = (x, Σ) = t1 (x, Σ) = tm
(1)
其次, 由能量平衡条件, 在相界面上取单位截面
积的控制体, 将能量守恒定律应用于这个与相界面
一起沿 x 轴正方向移动的关系, 可得
q1 - qs = Θ1v1h 1 - Θsvsh s
(2)
式中 q1, q2 —— 移动边界处液相与固相内的热流
h13
—— 分别为固、液相饱和焓
在不考虑对流及热源的情况下, 将式 (8) 代入式
(5)、(6) , 并假定固、液相比热为常数, 则得到
Θ55hΣ = k 2T
(9)
Θ=
Θs,
k=
k s,
(h <
h
3 s
)
Θ= Θ1, k = k1, (h < h13 ) 这就是简化的基于焓法模型的相变热传导方
热阻法、逐次逼近法等等; 数值计算的方法则有固定 步长法、自变量变换法和焓法[1, 2]。 这里我们采用数
值计算中的焓法来求解一维相变传热问题。
焓法的主要思路是将热焓和温度一起作为待求
函数, 在整个区域 (包括液相、固相和两相界面) 建立 一个统一的能量方程, 利用数值方法求出热焓分布, 然后确定两相界面。 因此, 它不需要跟踪界面, 将固 液相分开处理, 所以也就更适合于多维的情况。数学 上已经证明: 焓法模型的基本方程和描述相变问题 的常用方程是等价的[1 ]。
(3) 非线性的移动相界面边界条件。 由于相分 — 11 —
邹 进等: 相变热传导的计算
界面是固、液相区域的移动边界, 因此, 相界面上相 变的发生和相变潜热的释放 (或吸收) 就决定了固、 液两区域移动边界上的边界条件。
首先, 由温度连续性条件, 即移动相界面的温度 总是维持相变温度 tm , 则两相在相界面处的温度应 相等, 即
=
0
H
n+ j
1
≥
0
ΗNn = - 1 (第一类边界条件)
(12a) ( 12b )
H
n+ N
1
+
2Biblioteka Baidu 1 +
Β 2N
B N
iΗNn+
1
=
H
n N
=
2Χ
Ηn+ N-
1 1
-
1+
Β 2N
Bi N
(第三类边界条件)
(12c)
Η0 = 0, H 0 = L (初始条件) 用超松弛法解式 (12) 式, 便可求得 Ηnj 及 H nj。
学出版社, 1991. 8. 4 Sham sunder N , and Sp a rrow EM. A na lysis of
m u ltidim en siona l conduction p ha se change via the en tha lp y m odel. A SM E J. H ea t T ran sfer V o l, 1975, 97: 333- 340
程。其优点是把原来在两个活动区域及固2液界面成 立的方程组 (4)～ (6) 转变为一个固定区域内成立的 方程组 (8)、(9) , 它无需追踪界面, 很便于数值计算。
对于一维相变, 将式 (9) 无量纲化, 得到
5H 5Fo
=
L
1 XΒ
5 5X
X
Β
5Η 5X
(10)
式中 Η= H , (H < 0) Η= 0 (H ≥0)
尽管物质相变的形式有多种 (汽2液、汽2固、固2 液和固2固) , 但就其实现的可能性及成本来说, 相变 材料 (PCM ) 的贮能应用最普遍的是固2液相变, 因 此下面着重讨论这种类型的相变。
2 相变问题的特点与难点
由于相变问题包括相变与热传导两种物理过 程, 使其比单一热传导过程显得更复杂, 它具有以下 特点:
下式计算
qw =
h (Tw h (Tm -
T a) T a)
=
Ηw +
1
(14)
4 数值计算的结果分析
由 于水是最常见的相变材料, 按照公式 (12)、 (13) , 我们计算了伴随第一类边界条件、起始温度为 相变温度的一维有限平板中水的凝固传热。 给定条 件如下:
初始条件 (Σ= 0) : T = 0℃ T a = - 27℃ H = 3. 704 EL = 0. 1m 边界条件: T x= 0 = T a T = x= EL T a 图 2 给出了过程开始后约 616h 的温度分布曲 线; 此外, 通过已计算出的焓值还可以很方便地求出 某时刻相界面的位置, 例如, 当 Σ= 316h 的时候, s (Σ) = 01034m (其对称面为 01066m ) , 如图 3 所示。
对平板, Β= 0; 圆柱, Β= 1; 球形, Β= 2
邹 进等: 相变热传导的计算
Η x= 1 = - 1 (第一类边界条件)
5 5X
=-
x= 1
B i(Η+
1)
x= 1 (第三类边界条件)
Η Fo= 1 = 0, H = Fo= 1 L (初始条件)
(11)
式中 H =
h-
h
3 s
cs (Tm - T a)
件, 迭加原理不再适用, 每一种情形必需分别予以处
理。 因此, 对于相变问题的求解是相当困难的, 至今
只有少数精确解, 对于大多数相变问题必须采用近
— 12 —
似解或数值解。
3 焓法
通过以上分析, 我们看到, 由于相变问题的复杂 性, 一般均采用近似分析或数值分析的方法来求解。 其中近似分析的方法有积分法、准稳态法、摄动法、
对于一维问题, 若固、液两相内均为纯导热过 程, 则式 (3) 变成
ks
5t s 5x
-
k1
5t1 5x
=
Θ∃ hm
ds dΣ
(4)
此即温度法中的相界面能量平衡方程。 可以证
明, 式 (4) 是一个非线性的方程[1]。 在相变问题中, 除了式 (4) 外, 对于固、液相还分
别存在以下能量平衡方程式
由此可见, 焓法确定是一种计算相变传热行之 有效的方法, 特别对于多维相变传热更具有特殊的 优越性。
参考文献
版社, 1988. 2 张寅平, 胡汗平, 孔祥冬, 苏跃红编著. 相变贮能—— 理论
和应用. 中国科学技术出版社, 1996. 3 程俊国, 张洪济, 张慕瑾, 顾念祖编. 高等传热学. 重庆大
图 2 616h 时的温度分布曲线图
图 3 316h 时的温度分布及两相界面图
— 13 —
邹 进等: 相变热传导的计算
通过焓法数值解与其 N eum ann 精确解的比较说 明[2], 用定时间步长计算的误差随凝固速度而变化; 开始凝固速度快, 故误差偏大; 在空间步长为 0105 时, 采用变时间步长, 温度计算精度达 015% , 界面 位置精度可达 012%。
主题词 相变材料 焓 热传导
1 前言
我们知道, 物质存在有三态: 固态、液态和汽态。 物质从一种状态变到另一种状态叫相变。 利用物质 的相变来进行能量的吸收或释放的过程就是相变贮 能。相变过程一般是一个等温或近似等温过程, 且常 常伴随着大量能量的吸收和释放, 这一特点使其首 先在采暖、被动式太阳房等太阳能的开发和利用中 得到重视, 随着相变贮能研究的深入, 其应用背景也 扩展到低温、制冷、建筑、化工、工业节能等方面。 目 前, 一些功能新颖的相变日用品也已问世, 诸如冰箱 蓄冷器、速冷保温奶瓶、相变蓄热取暖器和高温蓄热 电饭锅等等。
密度, 指问 x 轴正方向
v1, vs—— 液相与固相相对于界面的移动速
度
h1, h s——液相与固相的焓 根据质量守恒定律, Θ1v1= Θsvs, 上式变成
q1 - qs = Θ1v1∃hm = Θsvs∃hm
(3)
式中 ∃ hm ——物质的相变潜热
∃ hm = h1- h s 相对速度 v1、vs 的大小与两相的密度有关, 当 固相和液相的密度相同 (Θ1= Θs= Θ) 时, v1= vs, 且与 相界面移动速度 vx= d s dΣ 的大小相等, 即 v1= vs= vx= d s dΣ, 不会出现液相区对相界面的相对移动速 度。