第六章 梁弯曲时的位移

Fb 2 v' (l b 2 3x 2 ) 6 EIl
梁挠曲线大致形状的绘制
步 骤：
(1)绘制梁的弯矩图。
(2)由梁弯矩的变化规律，确定挠曲线曲率的变化规律。由 M 的方向确定轴线的凹凸性。
(3)根据梁的支座情况，考虑变形连续光滑性、协调性，确 定挠曲线的大致形状及位置。
注：挠曲线的曲率与该处的弯矩成正比，弯矩越大，则曲 率也最大。
1 v 2.数学依据：曲线 v= f (x) 的曲率为 ( x) 1 v2


32
v ' '
x
x
M
y
M
M 0，v 0
y
M
M 0，v 0
M
3.挠曲线近似微分方程：
1 v M ( x) v ( x) (1 v2 )3 / 2 EI
通常情况下，强度条件满足，刚度条件一般也满足。
但是，当位移限制很严，或按强度条件所选截面过于单薄时，
刚度条件也起控制作用。
梁弯曲时的变形
例四 一简支梁受载如图示，已知许用应力[σ]＝160 MPa，许用挠度[δ]=l /500，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢型号。
F=35kN A B
解： 1、作出梁的弯矩图
式中C1、C2为积分常数，由梁边界、连续条件确定。
2.支承条件与连续条件: 1) 支承条件：
y
v0
F A
y
v0
y
v 0; v 0
2) 连续条件：挠曲线是光滑、连续、唯一的
C
B
v|
x C
v|
x C
，q |
x C
q |
x C
3.积分法确定梁弯曲变形的步骤：
①建立坐标系，确定支反力。 ②写出弯矩方程；若弯矩不能用一个函数给出,则要分段写出。 ③写出挠曲线近似微分方程，并积分得到转角、挠度函数。 ④利用边界条件、连续条件确定积分常数。 如果分 n 段写出弯矩方程，则有 2 n 个积分常数 ⑤代入积分常数，得到转角方程和挠度方程，从而得到各截 面上的挠度和转角沿跨长的变化情况。 ⑥确定最大挠度和最大转角。
1 M ( x) k ( x) EI
2.梁位移的度量：
x
A
q
F q v
B
x
B1
y
①转角rotation ：梁横截面绕中性轴转动的角度q。 单位：rad，顺时针转动为正。 ②挠度deflection ：梁横截面形心的竖向位移v。单位： mm。向下的挠度为正。
③挠曲线方程：挠度是位置坐标的函数—
2、弯曲应变能为：
2 l F l x M 2 x F 2l 3 V dx dx l 2 EI 0 2 EI 6 EI 2
3、计算B点的挠度
Fl3 vB 3EI
1 F 2l 3 W V FvB 2 6 EI
第六节 简单超静定梁
超静定问题
A
AC段(0 x a)
CB段(a x l )
v
Fbx 2 (l b 2 x 2 ) 6 EIl
v
v'
F l [ ( x a)3 x 3 (l 2 b 2 ) x] 6 EIl b
F l 1 [ ( x a) 2 x 2 (l 2 b 2 )] 2 EIl b 3
v=f(x)
q ④转角方程(小变形下)：转角是位置坐标的函数。 q (x)
dv 转角与挠度的关系—q tgq f ' ( x ) dx
第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
一、挠曲线近似微分方程deflection equation
1.力学关系： 梁平面弯曲时曲率：
1 M ( x) ( x) EI
P
3
B
A 刚化 EI=
pa q c1 2 EI
2
C P C
θc1
vc1
刚化BC， AB部分引起的位移 θB2
B A 刚化 EI= P C
θB2
P Pa
PaL vc2 vc 2 q B 2 a a 3EI paL qB2 qc2 3EI
vc vc1 vc 2
工程实例
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难， 出现爬坡现象。
2.利用弯曲变形
在一些情况下，却要求构件具有较大的弹性变形，以满 足特定的工作需要。
工程实例
车辆上的钢板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解 车辆受到的冲击和振动作用。
P 2 P 2
P
3.求解超静定问题。
梁弯曲时的位移
二.基本概念
例二 求图示梁受集中力F作用时的挠曲线方程。 梁弯曲时的位移
A
x
a C l
F B b
解： 1、求支反力
FA Fb Fa ； FB l l
FA
FB
AC段(0 x a)
Fb x l Fbx2 EIv' C1 2l Fbx3 EIv C1 x D1 6l EIvห้องสมุดไป่ตู้"
2、等抗弯刚度梁发生平面弯曲时，挠曲线的 最大曲率在( ④ )处。
① 转角最大
② 挠度最大
③ 剪力最大 ④ 弯矩最大
1 M ( x) 分析： ( x) EI z
3、与小挠度微分方程 EI z v M (x) 相对应的坐 标系为 （ ② ） ？
x x
B
第五节 梁内的弯曲应变能
纯弯曲时梁的弯曲应变能为：
M 2l V 2 EI
M 2 x V dx l 2 EI
梁弯曲时的位移
横力弯曲时梁的弯曲应变能为：
例五 计算图示悬臂梁的弯曲应变能，并计算B点的挠度vB，已知梁的弯曲
刚度为EI。
A
F
l
B v B
解： 1、梁任一截面的弯矩为： M x F l x
q
l
B
q
用“多余未知力” 代替“多余”约 基本静定系1 A 束，就得到一 个形式上的静定 梁，该梁称为原 MA 静不定梁的相当 系统,亦称基本 基本静定系2 A 静定系。
B FB
q
B
例4.已知:q,l,求图示静不定梁的支反力。
q
A B
l
解：将支座B看成 多余约束，变形协调 条件为：
q
A B
vB 0
CB段(a x l )
Fb x l F Fbx2 2 EIv' ( x a) C2 2 2l F Fbx3 3 EIv ( x a) C2 x D2 6 6l EIv " F ( x a )
Fb 2 (l b 2 ) 6l
x a时，v ' v '，则 C1 C2 ; v v ，则 D1 D2 x 0处，v 0，得 D1 D2 0; x l处，v 0，得 C1 C2
A
vBq
3.在F和q共 同作用下：
q B q BF q Bq
vB vBF vBq
例 若图示梁B端的转角θB=0，求力偶矩m和P的关系？
解：
Pa2 qB 2 EI
m 2a 0 EI
Pa m 4
例7.求外伸梁C处的位移。
P
B C a
解： 刚化AB BC引起的位移
A
L
pa vc1 3EI
二、提高梁的刚度措施
梁弯曲时的变形
ln v EI
1.增大梁的抗弯刚度 EI；主要增大I值，在截面面积不变 的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远 的地方。例如：工字形、箱形等。 2.调整跨长和改变结构；缩短跨长：如将简支梁改为外伸 q 梁；或增加支座等。
A
B l
q
A
l B A
q
第六章
第一节 概述
梁弯曲时的位移
第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
第三节 叠加法求梁的位移
第四节 梁的刚度校核 提高梁的刚度措施
第五节 梁内的弯曲应变能
第一节
概述
一.研究弯曲变形的目的 1.限制构件的变形，使其满足刚度要求。
在工程中，对某些受弯构件，要求变形不能过大，即要求 构件有足够的刚度，以保证正常工作。
1.梁的挠曲线deflection curve ：梁轴线变形后所形成的光 滑连续的曲线。 F
A
x
B
y
B1
注:(1)平面弯曲中，挠曲线是一个平面曲线，且连续光滑； (2)梁的挠曲线是弹性曲线；(3)以挠曲线的曲率度量弯曲变 形的程度。平面弯曲时，其弯矩与曲率的物理关系:
曲率公式的特征： (1)公式推导中应用了胡克定律，故适用于线弹性范围内。并不计剪力对弯曲变 形的影响。 (2)等直梁在纯弯曲时，弯矩为常量，挠曲线的曲率也是常量，其挠曲线是一段 圆弧线。 (3)等直梁在横力弯曲时，其曲率与该处的弯矩成正比，曲率是位置坐标的函数。
第三节 叠加法求梁的位移
说明：
梁弯曲时的位移
1.在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷 与它所引起的变形成线性关系。
2.当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变 形是各自独立的，互不影响。 3.若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变 形，则可分别计算各载荷单独作用下的变形，然后 叠加。
FB l 3 ql 4 0 3EI 8 EI
3ql FB 8
l
q
A B
FB
1、钢筋缠绕一大圆滚筒上，关于钢筋的最 大正应力( )。 ③
① 与圆滚筒的半径无关
② 与圆滚筒的半径成正比
③ 与圆滚筒的半径近似成反比 ④ 与圆滚筒的半径严格成反比 分析： E
max
ymax y

r r E E E Rr R
列挠曲线方程并积分两 次： EIv" M ( x) F (l x) Fx2 EIv' Flx C1 2 FLx2 Fx3 EIv C1 x C2 2 6
Fx2 v (3l x) 6 EI
由边界条件决定积分常 数： v' | x 0 0 ，得：C1 0； v | x 0 0 ，得：C2 0
2m
l=4m
2m
Fl 35103 4 得： M max 35103 N m 4 4
2、根据弯曲正应力强度条件，要求
M
Fl / 4
Wz
M max

35103 2.19104 m3 160106
Fl3 l 3、梁的刚度条件为： 48EI z 500 500Fl 2 500 35103 42 由此得 I 2.92105 m 4 z 48E 48 200109 由型钢表中查得，NO.22a工字钢的抗弯截面系数Wz＝3.09xl0-4m3 ，惯 性矩Iz=3.40x10-5m4，可见．选择NO.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度 要求。
l/2
l/2
B
2.在q作用下： F
2 EI
3EI
A
qBF
q (l / 2) 3 ql3 查表：q Cq 6 EI 48EI q (l / 2) 4 ql 4 f Cq 8 EI 128EI
B
vBP
q
vCq
C
B
ql3 q Bq q Cq 48EI l 7ql 4 vBq vCq q Cq 2 384EI
EIv' ' M ( x)
二、积分法求梁的挠曲线
1. EIv' ' M ( x)
积分一次
梁弯曲时的位移
EIv' M ( x)dx C1 EIq — 转角方程；
再积分一次 EIv ( M ( x)dx)dx C1 x C2 — 挠曲线方程。
q c q c1 q c 2
第四节梁的刚度校核 提高梁的刚度措施
一、梁的刚度校核
梁弯曲时的位移
除满足强度条件外，梁的位移也需加以控制，从而保证其正 常工作。 在土建工程中，通常对 梁的挠度加以控制，例如：
1 1 v l 250 ~ 1000
梁的刚度条件为：
vmax v l l q max q
例一 图示B端作用集中力P的悬臂梁，求 其挠曲线方程。
x
A
梁弯曲时的位移
F
qmax
x
B f max
l
y
解：建立坐标系如图
x处弯矩方程为： M ( x) F (l x)
转角和挠曲线方程分别 为： Fx q v' (2l x) 2 EI
FL2 q max q B 2 EI FL3 f max vB 3EI
如图示，要计算三种载荷作用下在某截面如
C截面挠度，则可直接查表求出各载荷单独作
用下的挠度，然后叠加（代数和）。 如果不能直接查表，则要采用分段刚化法将 其化成可查表形式。
梁弯曲时的位移 例三 如图所示悬臂梁，其抗弯刚度EI为常数，求B点转角和挠度。
q F
A
C
2 3 1.在F作用下：查表：q BF Fl , f BF Fl