数字信号处理 双边z变换

1 1 X 4 ( z) -1 1 - az 1 - bz -1
双边z变换定义及收敛域
(1) 有限长序列
X ( z)
ROC
k N1

N2
x[k ]z
-k
0< z <
双边z变换定义及收敛域
(2) 右边序列
X ( z)
若N 1 0 :
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k N1


x[k ]z
-k
Im z ROC
双边z变换
双边z变换定义及收敛域 双边z变换的主要性质 双边z反变换
1.5.1 双边z变换定义及收敛域
序列双边z变换的定义为
X ( z)
k -


x[k ]z - k
能够使上式收敛的z值区域称为z变换的收敛域 (Region of Convergence, ROC) 收敛域(ROC): R-< |z|<R+
R
x-
z RR- < z <
Re z
若N 1 < 0 :
双边z变换定义及收敛域
(3) 左边序列
X ( z)
若N 2 0 :
若N 2 0 :
k -

N2
x[k ]z
-k
Im z ROC
R x+
z < R 0 < z < R
Re z
双边z变换定义及收敛域
(4) 双边序列
x[ k ]
c
X ( z ) z k -1 dz
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线
留数法 部分分式法
双边z反变换
留数法求z反变换
根据复变函数积分理论
x[ k ]
1 2 πj
i
c
X ( z) z
k -1
dz
k -1
Re s{ X ( z ) z
}z pi
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线
1 例：X ( z ) (1 - az-1 ) 2
解: (1) x[ k ] 1
求： (1) ROC为|z||a|时的x[k] (2) ROC 为|z|<|a|时的x[k]
2 πj (1 - az )
-1
c
z
k -1 -2
dz
1
2 πj ( z - a )
c
z k 1
2
dz
由于ROC为|z|>|a|，所以
x1[k ] x2 [k ] X1 ( z) X 2 ( z)
ROC 包含Rx1∩Rx2
双边Z变换的主要性质
6.时间翻转(time reversal)*
x[-k ] X (1/ z)
Z
1 1 < z< Rx Rx -
例: 利用Z变换性质 , 求a k u[-k -1]的Z变换
解：由于 -k Z a u[k -1]
a z 1 - a -1 z -1
-1
-1
z 1/ a
利用双边Z变化的时域翻转性质，可得
-1 a z 1 Z k a u[-k -1] -1 1- a z 1 - az-1
z<a
请注意此公式!!! 结合书47页例1-34
双边z反变换
1 2 πj
x4[k ] x2[k ] x3[k ]
解：
X1 ( z) z
k 0

N -1
-k
1- z-N -1 1- z
-k
z 0
X 2 ( z) a z
k k 0 -1
1 1 - az-1
-k
z a z<b a<z<b
X 3 ( z)
k -

-b z
k
1 -1 1 - bz
1 z k 1 dz 解 : (2) x[k ] 2 c 2πj ( z - a )
当 k -1 时
由于ROC为|z|<|a|，所以
x[k]=0 (围线C内无极点)
当 k -2 时
令 - k - 1 m, m 1, 2,
x[ k ]
1
2 πj z m ( z - a )
X ( z)
k -


x[k ]z
-k
Im z ROC
ROC R- < z < R
R
x-
Re z
R
x+
例：某序列的ZT有3个极点 p1=0.5、 p2=1 、 p3=2
jIm[z]
. | z |< 0.5 左边序列 . 0.5 <| z |< 1 双边序列 . 1 <| z |< 2 双边序列 . 2 <| z | 右边序列
ROC包含 Rx1 Rx 2
2．位移特性 x [k - n] z-nX(z) ROC = Rx
双边Z变换的主要性质
3.指数加权特性
Z a k x[k ] X ( z / a)
ROC a Rx
4. Z域微分特性
dX ( z ) kx[k ] - z dz
5. 序列卷积
ROC Rx
留数法
5z X ( z) (2 - z )(3z - 1)
1 <| z |< 2 3
1. x[k]是什么序列？
2. F ( z ) X ( z ) z
k -1
c
1
dz 2
1
d m -1
1
z 0
( m - 1)! dz m -1 ( z - a ) 2
(-1) m -1 m! 1 (m - 1)! ( z - a ) 2 m -1
m a-( m1) -(k 1)a k
z 0
x[ k ] -( k 1) a k u[ - k - 1]
Re[z]
1.5.2 双边Z变换的主要性质
x1[k ] X1 ( z)
x2 [k ] X 2 ( z)
1.线性特性
ROC Rx1 {z; Rx1- < z < Rx1 } ROC Rx2 {z; Rx 2- < z < Rx 2 }
ax1[k ] bx2[k ] aX1 ( z) bX2 ( z)
当 k < -1 时 当 k -1 时
x[k]=0 (围线C外留数和为零)
x[ k ]
k
dz k 1 dz
z a
(k 1)a k
k
x[k ] (k 1)a u[k 1] (k 1)a u[k ]
1 例：X ( z ) (1 - az-1 ) 2
求： (1) ROC为|z||a|时的x[k] (2) ROC 为|z|<|a|时的x[k]
举例
1.序列
A.
f [k ] 2- k u[k -1] 的单边z变换 F ( z )
B. 1 2z 1 z C. 2z - 1
等于( A )。
D. z 2z 1
1 2z - 1
例：求下列信号的Z变换及收敛域。 x1[k ] RN [k ]
x2 [k ] a u[k ]
k
x3[k ] -bk u[-k -1]