运筹学课件 第六章图与网络分析

ej
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如果边 e 的两个端点相重，则称该边为环。 e1 如上图中边 为环。如果两个点之间多于一条 e。对无环、无多 边，称具有多重边，如 4 , e5 重边的图称为简单图。 与某一个点 v i 相关联的边的数目称为点的 次（也叫度），记作 d (vi ) 上图中d (v1 ) 3, d (v3 ) 5, d (v5 ) 1 次为奇数的点称作奇点，次为偶数的点称作 偶点，次为0的点称作孤立点，如 v6 。
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N1(图中取DETD,去ET)
A 2 2 S 4 C 5 1 4 B 3
7 D
1
5
5
T
E
N1
图9中取DETD，去ET
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N2(N1取BDEB,去BD)
A 2 2 S 4 C 5 1 4 B 3
7 D
1
5
5
T
E
N2
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N1中取BDEB，去BD
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V V
2 2 S 4 C 5 1 4 B 3 E 5
1
A
7 D 7 T
5
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V V
A 2 2 S 4 C 5 1 4 B 3 E 5
1
7 D 7 T
5
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如用破圈法求上例时，可从图中任取一回 路，如为DETD,去掉最大边ET 得N1,从N1中再任 取一回路，如为BDEB，去掉最大边BD，得N2, 从N2中再任取一回路，如为ABEDA，去掉最大 边AD得N3，依次类推。从N3的EBCE回路中去 掉CE，从N4的SABS回路中去掉SB ,从N5的 SABCS回路中去掉SC得N6 , N6即为所求的最小 部分树。过程见下：
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例 下图中S、A、B、C、D、E、T代表村镇，它们的 连线代表各村镇间现有道路交通情况，连线旁的数字代 表道路长度。现要求沿图中道路架设电线，使上述村镇 全部通上电，应如何架设，才能使总的线路长度最短？
A 2 2 S 4 C 5 1 4 B 3
7 D
1
5
5 7
T
E
图9
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5

欧拉把这个试验化为下图所示的一个图论 问题。它用结点A，B，C，D分别表示对应的陆 地，用边来表示连接陆地的桥。这样哥尼斯堡七 桥问题就转化 A 为下图中寻求 一条包含每边 一次的回路问 B C 题。
D
（b）
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欧拉证明七桥问题无解，因为图中的每个点 都只与奇数条线相关联，不可能将这个图不重复 地一笔画成。 从而解决了这一难题，它的抽象 与论证方法开创了图论科学的研究。 随着科学技术的发展以及电子计算机的出现 与广泛应用，二十世纪五十年代，图论的理论得 到进一步发展。将庞大复杂的工程系统和管理问 题用图描述，可以解决很多工程设计和管理决策 的最优化问题。 例如，完成工程任务的时间最少，距离最短， 费用最省等等。图论受到数学、工程技术及经营 管理等各个方面越来越广泛的重视。 2013-12-3 7
v 是一条链， 2 5 , e8 , v3 , e7 , v4
也是一条链 。对起点与终点重合的链称作圈 。
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若在一个图中，如果每一对顶点之间至少存 在一条链，称这样的图为连通图，否则称为不连 通图。 对要研究的问题确定具体对象及这些对象间 的性质联系，并用图的形式表示出来，这就是对 研究的问题建立图的模型。 用建立图的模型的方法往往能帮助我们解决 一些用其他方法难于解决的问题。
们分别用点v1 ，…，v6表示这六支球队，它
们之间的比赛情况，也可以用图反映出来，
已知v1队战胜v2 队，v2 队战胜v3 队，v3 队 战胜v5队，如此等等。这个胜负情况，可以 用下图所示的有向图反映出来
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v2
v4
v1
v6
v3
v5
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综上所述，一个图是由一些点及一些点之间 的联线(不带箭头或带箭头)所组成的。 为了区别起见，把两点之间的不带箭头的联 线称为边，带箭头的联线称为弧。
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“ 破圈法”步骤： N “ 破圈法”是从网络图 中任取一回路， 去掉这个回路中权数最大的一条边，得到一子网 N N 络图1 ，在 1 中再任取一回路，再去掉回路 N 中权数最大的一条边，得2 ,如此继续下去，一 N 直到剩下的子图中不再含回路为止，该子图就是 的最小部分树。
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例1、 下图是我国北京、上海等十个城市间 的铁路交通图，反映了这十个城市间的铁路分布 情况。这里用点代表城市，用点和点之间的联线 代表这两个城市之间的铁路线。
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北京


天津 济南


青岛
郑州


徐州

连云港

南京

上海
武汉

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例2 有六支球队进行足球比赛，我
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图中有些点和边的交替顺序 0 , e1 , v1 ,...,ek , vk v ，若其中各边 e1 , e2 ,...,ek 互不相同，且对 任意 vt 1 和 vt (2 t k ) 均相邻，称为 链。 上图中 1 v5 , e8 , v3, e3, v1, e2 , v2 , e4 , v3, e7 , v4
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3、图的支撑树

如果G1是G2的部分图(支撑子图)，又是树， 则称G1是G2的部分树（或支撑树）。 一般图G含有多个部分树图，其中树枝总长 最小的部分树，称为该图 的最小支撑树。 找最小支撑树的易懂的方法有避圈法和破圈 法。
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避圈法是在给定图中寻找最小部分树，步骤 是： （1）从图中任选一点vi∈V，图中其余点均 包含在 V 中； （2）从 V 与 V 的连线中找出最小边，这 条边一定包含在最小部分树内，不妨设最小 为 (vi , v j ) ，并将其加粗，以标记是最小部分树 内的边； V vi V , V V ； （3）令 vi (4)重复（2）（3）两步，一直到图中所有 点均包含在 V 中为止.
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其次，若图中有圈的话，从圈上任意去掉一 条边，余下的图仍是连通的，这样可以省去一根 电话钱，因而，满足要求的电话线网所对应的图 必定是不合圈的连通图。 定义 一个无圈的连通图称为树。
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2、 树的基本性质 树的基本性质可归结为以下三条： 性质1 . 任何树中必存在次数为1的点。 性质2. 具有n个顶点的树的边数恰好为 （n-1）条。 性质3. 任何具有n个点、(n-1)条边的连通 图是树。 有以上性质说明：树是边数最多的无圈连 通图，在树上只要任意再加上一条边，必然会出 现回路。由于树是无圈连通图，即树的任意两个 点之间有一条且仅有一条唯一通路，因此树是最 脆弱的连通图。因此一些重要的网络不能按树的 结构设计(因从树中取走一条边，图就不连通)。
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二、树 1、树的概念 在各式各样的图中，有一类图是极其简单然 而却是很有用的，这就是树。 例 已知有五个城市，要在它们之间架设 电话线，要求任何两个城市都可以互相通话(允 许通过其它城市)，并且电话线的根数最少。 用五个点 v1 , v2 ,..., v5 代表五个城市，如果 在某两个城市之间架设电话线，则在相应的两个 点之间联一条边，这样一个电话线网就可以用一 个图来表示。为了使任何两个城市都可以通话， 这样的图必须是连通的。
A 2 2 S 4 C 1 B 3 E
1
D
5
T
N5
N4中取CBAS，去SB
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N6(N5中取SABCS，去SC)
A 2 2 S 1 C B 3 E
1
D
5பைடு நூலகம்
T
N6
N5中取SABCS，去SC
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三、最短路问题
1 问题的提出 求 v1 到v9 的最短路线
v7 4 v8 2 v9
一、图的基本概念
在生产和日常生活中经常碰到各种各样的图： 公路或铁路交通图、管网图、电网图、通讯联络 图等.. 运筹学中所研究的图（graph）是上述各类 图的抽象概括，它表明一些研究对象和这些对象 之间的相互联系。如交通图是表明一些城镇及城 镇之间的道路沟通情况；管网图是表明供应源、 用户、中间加压站之间管网的联系情况等。
沿{ v1 ，v4 ，v7 ，v8 ，v9 }
6 4 6 v5 2 4
管道长为16单位 沿{ v1 ，v2 ，v3 ，v6 ，v9 } 管道长为14单位
v4
v6
4
4
4
2
v1 v2
4
v 若 eij i , v j ，称 vi , v j 是边 eij 的端 点，反之，称边 eij 为点 v i 或 v j 的关联边。 若点 vi , v j 与同一条边关联，称点 vi v j 相邻； 若边 和 具有公共的端点，称 ei ei ej 和 相邻
e3 e13 v1, v3 v3 , v1 e31
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一个图可以用几何图形表示，用圆圈表示点 （又称顶点或节点）并用小写字母v表示，用线 表示边并用e表示。对每条边可用它所连接的点 表示。

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e1
v1 e2 e4 e5 e6 e8 e3 v3
v2
e7
v4
v5
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如记作
e1 e11 v1, v1
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N3 (N2中取ABEDA，去AD)
A 2 2 S 4 C 5 1 4 B 3 E
1
D
5
T
N3
N2中取ABEDA，去AD
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N4(N3中取EBCE，去CE)
A 2 2 S 4 C 5 1 B 3 E
1
D
5
T
N4
N3中取EBCE，去CE
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N5 (N4中取SABS,去SB)
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解
因要使上述村镇全部通上电，村镇之间必 须连通，又图中必不存在圈，否则从图中去掉一 条边图仍连通，就一定不是最短路线，故架设长 度最短的路线就是从上图中寻找一棵最小树。

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用避圈法时，先从图中任选一点 S , 令 S V ，其余点 V , V 与 V 间的最 短边为（ S , A) ，将该边加粗，标志它是最小 树内的边。再令 V A V ,V V A 重复上述步骤，一直到所有点连通为止。过程 如下：
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18世纪的哥尼斯堡城中流过一条河 (普雷格 尔河)，河上有七座桥连结着河的两岸和河中的 两个小岛 ，如下图所示 。
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A
B D
C
（a）
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当时，那里的人们热衷于这样的间题：一个 散步者能否走过七座桥，且每座桥只走过一次， 最后回到出发点。这就是著名的“七桥”难题 。 人们做了许多试验，但没有一个人成功 。

如果用点表示研究的对象，用边表示这些 对象之间的联系，则图G可以定义为点与边的集 合，记作 G , E V
V v1 , v2 ,...,vn
E e1 , e2 ,..,em
式V是点的集合，E是边的集合。
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注意，上面定义的图G区别于几何学中的图。 几何学中，图中点的位置、线的长度和斜率等都 十分重要，而这里只关心图中有多少个点以及哪 些点之间有线相连。 如果给图中的点和边以具体的含义和权数 （如距离、费用、容量等）。把这样的图称为网 络图，记作N。 图和网络分析的方法已广泛应用于物理、化 学、控制论、信息论、计算机科学和经济管理等 各领域。
第六章
图与网络分析
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图论是运筹学中有着广泛应用的一个分支。 管理科学 、计算机科学 、信息论 、控制论 、 物理 、化学 、生物学 、心理学等不同领域内的 许多问题都可以描述为图论模型来解决。 随着科学技术的发展以及电子计算机的出现 和应用，20世纪 50年代，图论的理论得到了进 一步的发展。将宠大复杂的工程和管理问题用图 描述，可以解决很多工程设计和管理决策的最优 化问题。 欧拉 (E. Euler)在 1736年发表图论方面的第 一篇论文解决了著名的哥尼斯堡七桥问题，被公 认为是图论的创始人。