浙江省衢州市仲尼中学高三数学一轮复习 函数的单调性(一)教案

教材分析:函数单调性的应用在高考中分值较大。选择题中出现的概率很高，大题中是必考题，理科24题，文科23题。小题难度居中，大题第一问偏易，是学生的考试的得分点。

● 学情分析：由于单调性是高一上学期内容，很多学生已遗忘，复习时可先引导学生拾起回

忆，渐渐深入。

● 教学目标：1、理解函数单调性的定义、单调区间的定义

2、能利用函数的图像、性质判断简单初等函数的单调性

3、能利用定义法判断较复杂（形式复杂、含参）函数的单调性 ● 教学重难点:利用定义法判断函数的单调性

● 教学过程：

一：引入

问1c ：如果一个函数是增函数，它的图像有何特征（变化趋势）？减函数呢？

二：利用函数图像、性质判断单调性

问2c ：上面这个函数f(x)的定义域是多少？是增函数还是减函数？该如何准确描述它的单调性？（函数f(x)在区间（b ，—∞）和（d,+∞）上是增函数，在（b,d ）上是减函数） 定义域：R f (x)

x b a c d

e

减区间：（b,d ）

增区间：（b ，—∞）和（d,+∞）

练习：判断下列3函数的单调性

（1）f(x)=x ⎪⎭

⎫ ⎝⎛21 (2) f(x)=x 2log (3) f(x)=2x —2x —1 （4）f(x)=2x —2x —1，x ∈(—2,0)

变式：如果二次函数f(x)=32x +2(a-1)x+b 在（1，—∞）上是减函数，求a 的范围。 三：定义法判断函数的单调性

例1、 判断f(x)=1

32-x x , x ∈(-1,1)上的单调性。 (分析引入中的图像，引出定义)

定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I 内的某个区间D 上任意两个自变量1x ，2x ，当1x <2x 时，

若f(1x )

若f(1x )>f(2x ),则f(x)在区间D 上是减函数。

解： 设－1

则f(1x )-f(2x )=1

3211

-x x —132212-x x =）1)(1(333322212

2

121221--+--x x x x x x x x =）1)(1()

1)(-(322212112--+x x x x x x

－1

∴012>-x x ,0121>+x x ， 0)1)(1(2

221>--x x

∴ f(1x )-f(2x )>0,即f(1x )>f(2x )

∴函数f(x)在(-1, 1)上是减函数。

定义法判断函数单调性的一般步骤：

取值→作差→定号→结论

例2、 变式：判断判断f(x)=1

2-x ax , x ∈(-1,1)上的单调性。

四：小结 1、理解函数的单调性及定义域

2、正确描述函数的单调性

3、利用函数的图像及性质判断函数的单调性

4、利用定义法判断函数的单调性

●作业：

C 1、下列函数中，在（0，—∞）上是增函数的是（ ）

A.21x y -=

B. x x y 22+=

C. x y +=11

D. 1

-=x x y 2、设1x ，2x 为y=f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：

①（1x -2x ）【f(1x )-f(2x )】>0

②（1x -2x ）【f(1x )-f(2x )】<0

③2

121)()(x x x f x f -->0 ④

2121)()(x x x f x f --<0 其中能推出函数y=f(x)为增函数的是 。

3、函数f(x)中，满足“对任意1x ，2x ∈(0,+∞)，当1x <2x 时，都有f(1x )>f(2x )”

的是 （ ） A. f(x)=

x

1 B. f(x)=2)1(-x C. f(x)=x e D. f(x)=ln(x+1) 4、已知f(x)是R 上的减函数，则满足)1()1(f x f >的实数x 的取值范围是（ ） A. （1，—∞） B. (1,+∞) C.（0，—∞） (0，1) D.（0，—∞） (1,+∞)

B 5、函数y=-（x-3）x 的减区间是

6、已知函数f(x)=

x

a 11- （a>0,x>0） 求证f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数。

A 7、已知f(x)= a

x x - （x ≠a ） (1)若a=-2,试证f(x)在（2--，∞）内单调递增

（2）若a>0且f(x)在(1,+∞)内单调递减，求a 的取值范围。