高中数学-排列及排列数
高中数学排列组合
1、排列定义
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个排列.
排列的定义中包含两个基本内容： 一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”．“一定 顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问 题的重要标志．
根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排 列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同．
思考 上述问题1,2 的共同特点是什么?你能将它 们推广到一般情形吗?
一般地,从n个不同的元素中取出m(m n)个元素, 按 照 一 定 顺 序 排 成 一 列,叫 做 从n个 不 同 元 素 中 取
出m个元素的一个排列 (arrangement).
思考 你能归纳一下排列的特征吗?
根据排列的定义,两个排列相同,当且仅当两个排 列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.例 如在问题2中,123与134的元素不完全相同,它们 是 不 同 的 排 列;123与132虽 然 元 素 完 全 相 同, 但 元 素的排列顺序不同,它们也是不同的排列.
（5）20位同学互通一次电话 （6）20位同学互通一封信
（7）以圆上的10个点为端点作弦 （8）以圆上的10个点中的某一点为起点，作 过另一个点的射线
（9）有10个车站，共需要多少种车票？ （10）有10个车站，共需要多少种不同的票价？
例2.某年全国足球甲级 A组 联赛有14
个队参加, 每队要与其余各队在主、客场 分别比赛一次, 共进行多少场比赛?
nn
1n
2 n n m
m 1n
2 1
m
2
1
n! nm!
A
n n
A nm nm
.
北师大版高中数学选择性必修第一册5.2.1 排列与排列数课件
行多少场比赛．
在上述三个问题中，是排列问题的是________．
答案：(1)
题型二 简单的排列问题
例2 (1)某班上午要上语文、数学、体育和外语4门课，又体育老师
因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是(
)
A．24
B．22
C．20
字母与顺序无关；D是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一
列．故选AD.
3．26 ＝(
A．30
)
B．24
答案：A
6！
解析：A26 ＝
4！
＝6×5＝30.故选A.
C．20
D．15
4．从1，2，3中任取两个数字组成不同的两位数有________个．
答案：6
解析：12，13，21，23，31，32共6个．
)
A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小
组
B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动
C．从a，b，c，d四个字母中取出2个字母
D．从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数
答案：AD
解析：A是排列问题，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关； B不是排列
问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；C不是排列问题，因为取出的两个
法？
方法归纳
判断一个具体问题是不是排列问题，就是从n个不同元素中取出m个
元素，判断在安排这m个元素的时候是否有序，有序就是排列，无序
就不是排列，而检验是否有序的根据就是交换元素的“位置”，看结
果是否有变化，有变化就是有序，无变化就是无序．
跟 踪 训 练 1 (1) 在 各 国 举 行 的 足 球 联 赛 中 ， 一 般 采 取 “ 主 客 场
高中数学选择性必修三 6 2 1 排列及排列数(精练)(含答案)
6.2.1 排列及排列数（精练）【题组一 排列数】1（2020·新疆）已知2132n A =，则n =（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14【答案】B【解析】∵2132n A =，∴(1)132n n -=，整理，得，21320n n --=；解得12n =，或11n =- (不合题意，舍去)；∴n 的值为12. 故选：B.2．设m ∈N *，且m ＜25，则（20﹣m ）（21﹣m ）…（26﹣m ）等于（ ） A ．726m A - B ．726m C -C ．720m A -D ．626m A -【答案】A【解析】根据题意，（20﹣m ）（21﹣m ）…（26﹣m ）()()72626!19!mm A m --==-，故选：A ．3．（2021·江苏常州·高二期末）（多选）由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是（ ） A ．41139488A A A A +⋅⋅ B ．41439498()A A A A +-C ．54143109498()A A A A A -+- D ．54143109598()A A A A A ---【答案】ABD【解析】对于A ，如果个位是0，则有49A 个无重复数字的偶数；如果个位不是0，则有113488A A A ⋅⋅个无重复数字的偶数，所以共有41139488A A A A +⋅⋅个无重复数字的偶数，故A 正确；对于B ，由于13438898A A A A ⋅=-，所以4113414394889498()A A A A A A A A +⋅⋅=+-，故B 正确； 对于C ，由于5441099A A A -≠，所以4143541439498109498()()A A A A A A A A A +-≠-+-，故C 错误；对于D ，由于541433411310959889488()41A A A A A A A A A A ---==+⋅⋅，故D 正确. 故选：ABD .4．（2020·山东莱州一中）下列等式中，错误的是（ ）A ．11(1)m m n n n A A +++=B ．!(2)!(1)n n n n =--C ．!m m nnA C n =D ．11m mn n A A n m+=- 【答案】C【解析】通过计算得到选项A,B,D 的左右两边都是相等的.对于选项C, !m m nnA C m =,所以选项C 是错误的.故答案为C.5．（2020·靖远县第四中学）若532m m A A =，则m 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【解析】由532m m A A =，得(1)(2)(3)(4)2(1)(2)m m m m m m m m ----=--，且5m ≥所以(3)(4)2m m --=即27100,5m m m -+=∴=或2(5m m =≥舍去）. 故选：A6．（2020·海南枫叶国际学校）设*a N ∈，28a <，则等式()()()35282935ma a a a A ---⋅⋅⋅-=中m =______ ． 【答案】8 【解析】()()()()3535343336m a A a a a a m -=---⋅⋅⋅--，2836a a m ∴-=--，解得：8m =.故答案为：8.7．（2020·江苏宿迁·高二期中）已知2247n n A A -=，那么n =________.【答案】7【解析】∵2247n n A A -=，∴()()()1745n n n n -⨯--=，5n ≥，化为：()()31070n n --=，解得7n =，故答案为：7.8．（2021·江苏）已知111095mn A =⨯⨯⨯⨯，则mn 为__________.【答案】77【解析】已知(1)(2)(1)11109mn A n n n n m =⨯-⨯-⋯⨯-+=⨯⨯⋯，5⨯，11n ∴=，15n m -+=，7m ∴=，则77mn =.故答案为：77．9．（2021·浙江余姚中学）已知则20!133n A +=，则n =________；计算323n nn A +A =+________.【答案】12 726【解析】(1)()()20!11133,2n A n n n +=+-=≥，即()()213212110n n n n --=-+=，所以12n =；(2)由题可知，323333n n n n n n +≤≥⎧⎧⇒⇒=⎨⎨≤≤⎩⎩，所以3632363654321321726n n n A +A =A +A +=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=故答案为：(1). 12 (2). 72612．（1）解不等式288A 6A x x -<； （2）解方程4321A 140A x x +=.【答案】（1）8(2)3【解析】（1）由288A 6A x x -<，得()()8!8!68!10!x x <⨯--，化简得x 2－19x ＋84<0，解之得7<x <12，① 又∴2<x ≤8，②由①②及x ∈N *得x ＝8. （2）因为2143x x +≥⎧⎨≥⎩，，所以x ≥3，*x N ∈，由4321A 140A x x +=得(2x ＋1)2x (2x －1)(2x －2)＝140x (x －1)(x －2).化简得，4x 2－35x ＋69＝0，解得x 1＝3，2234x =(舍去). 所以方程的解为x ＝3. 【题组二 排队问题】1．（2020·江西九江一中）5人随机排成一排，其中甲、乙不相邻的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】C【解析】将5人随机排成一列，共有55120A =种排列方法；当甲、乙不相邻时，先将5人中除甲、乙之外的3人排成一列，然后将甲、乙插入，故共有323461272A A=⨯=种排列方法，则5人随机排成一排，其中甲、乙不相邻的概率为7231205P==.故选：C.2．（2020·灵丘县豪洋中学）5名同学合影，其中3位男生，2位女生，站成了一排，要求3位男生不相邻的排法有（）A．12种B．10种C．15种D．9种【答案】A【解析】首先排女生，再排男生，然后再根据插空法可得：23 232132112A A⋅=⨯⨯⨯⨯=.故选：A3．（2021·河南））三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有( )A．72种B．108种C．36种D．144种【答案】D【解析】：先将男生甲与男生乙“捆绑”，有22A种方法，再与另一个男生排列，则有22A种方法，三名女生任选两名“捆绑”，有23A种方法，再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有23A种方法，利用分步乘法原理，共有22222233144A A A A=种.故选：D．4．（2020·渝中·重庆巴蜀中学高三月考）在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，则不同的采访顺序有（）A．4种B．12种C．18种D．24种【答案】D【解析】由题意可得不同的采访顺序有4424A=种，故选：D.5．（2020·湖南永州·高三月考）某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督导巡视，周一至周四这四天各安排1名，周五安排2名，则不同的安排方法共有（ ） A ．320种 B ．360种 C ．370种 D ．390种【答案】B【解析】由题意分步进行安排：第一步：从6名优秀干部中任选4人，并排序到周一至周四这四天，有46A 种排法； 第二步：剩余两名干部排在周五，只有1种排法.故不同的安排方法共有4616543360A ⨯=⨯⨯⨯=种.故选：B.6．（2020·重庆）6月，也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念.现有4名男生、2名女生照相合影，若女生必须相邻，则有（ ）种排法. A ．24 B ．120 C ．240 D ．140【答案】C【解析】将2名女生捆绑在一起，当作1个元素，与另4名男生一起作全排列，有55120A =种排法，而2个女生可以交换位置，所以共有52521202240A A ⋅=⨯=排法，故选：C.7．（2021·河南）某校迎新晚会上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A ．120种 B ．156种 C ．188种D ．240种【答案】A【解析】先考虑将丙、丁排在一起的排法种数，将丙、丁捆绑在一起，与其他四人形成五个元素，排法种数为25252120240A A =⨯=，利用对称性思想，节目甲放在前三位或后三位的排法种数是一样的， 因此，该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有2401202=种，故选A. 8．（2020·莒县教育局教学研究室高二期中）3名男生､3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为（ ） A ．2 B ．9C ．72D ．36【答案】C【解析】根据题意男生一起有336A =排法，女生一起有336A =排法，一共有3333272A A =种排法，故选：C .．9．（2021·甘肃兰州一中）有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答) 【答案】60【解析】将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有35A ＝5×4×3＝60(种)． 10（2020·北京高二期末）某年级举办线上小型音乐会，由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目丙必须排在节目乙的下一个，则该小型音乐会节目演出顺序的编排方案共有______种.(用数字作答) 【答案】42【解析】由题意知，甲的位置影响乙的排列，∴①甲排在第一位共有4424A =种，②甲排在第二位共有133318A A =种，∴故编排方案共有241842+=种. 故答案为：42.11．（2020·江苏省太湖高级中学）已知4名学生和2名教师站在一排照相，求： （1）两名教师必须排中间，有多少种排法？（2）两名教师必须相邻且不能排在两端，有多少种排法？ 【答案】（1）48种；（2）144种.【解析】解：（1）先排教师有22A 种方法，再排学生有44A 种方法， 则242422448A A ⋅=⨯=，答：两名教师必须排中间，共有48种排法. （2）24243624144A A ⨯⋅=⨯=，答：两名教师必须相邻且不能排在两端，共有144种排法. 12．（2021·防城港市防城中学）5个男同学和4个女同学站成一排 （1）4个女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？ （2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？（3）其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？ （4）男生和女生相间排列方法有多少种？【答案】（1）17280；（2）43200；（3）302400；（4）2880. 【解析】（1）4个女同学必须站在一起，则视4位女生为以整体，可得排法为646417280A A =；（2）先排5个男同学，再插入女同学即可，所以排法为：545643200A A =；（3）根据题意可得排法为：33257325302400C A A A =；（4）5个男生中间有4个空，插入女生即可，故有排法54542880A A =.13．（2020·吉林油田第十一中学高三月考（理））一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单．（1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？ （3）前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？ （要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示） 【答案】（1）48；（2）36；（3）108.【解析】（1）把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有排法424248A A =；（2）选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为233336A A =；（3）5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有53253212012108A A A -=-=． 14（2020·江苏省前黄高级中学高二期中）3男3女共6个同学排成一行． （1）女生都排在一起，有多少种排法？ （2）任何两个男生都不相邻，有多少种排法？（3）男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2名女生，女生又不能排在队伍的两端，有多少种排法？ 【答案】（1）144；（2）144；（3）24【解析】（1）将3名女生看成一个整体，就是4个元素的全排列，有44A 种排法，又3名女生内部有33A 种排法，所以共有44A ⋅33A 144=种排法.（2）女生先排，女生之间以及首尾共有4个空隙， 任取其中3个安插男生即可，所以任何两个男生都不相邻的排法共有33A ⋅34A 144=种排法.（3）先选2个女生排在男生甲、乙之间，有23A 种排法，又甲、乙有22A 种排法，这样就有23A ⋅22A 种排法，然后把他们4人看成一个整体（相当于一个男生）， 这一元素以及另1名男生排在首尾，有22A 种排法， 最后将余下的女生排在中间，有1种排法，故总排法为23A ⋅222224A A ⋅=种排法，【题组三 数字问题】1．（2020·江苏高二期中）由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（ ） A ．36 B ．72 C ．600 D ．480【答案】D【解析】根据题意将2,4,5,6进行全排列，再将1,3插空得到4245480A A ⨯=个.故选：D .2．（2021·龙港市第二高级中学）用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数有________. 【答案】72【解析】用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，共有55120A =个；三个奇数中仅有两个相邻；其对立面是三个奇数都相邻或者都不相邻；当三个奇数都相邻时，把这三个奇数看成一个整体与2和4全排列共有333336A A ⨯=个；三个奇数都不相邻时，把这三个奇数分别插入2和4形成的三个空内共有232312A A ⨯=个； 故符合条件的有120123672--=； 故答案为：72．3．（2020·上海浦东新·华师大二附中高二期中）由0，1，2，3组成的没有重复数字的四位数有________个； 【答案】18；【解析】因为第一个数字不能为0，所以先排第一个数字，再把剩下的三个数字排列，则一共有13333618A A =⨯=种排法.故答案为：18.4．（2020·南开大学附属中学高三月考）由123456、、、、、组成没有重复数字且13、都不与5相邻的六位偶数的个数是________ 【答案】108【解析】先确定个位数为偶数，有3种方法，再讨论：若5在首位或十位，则1，3有三个位置可选，其排列数为22323A A ⨯⨯;若5在百位、千位或万位，则1，3有两个位置可选，其排列数为22223A A ⨯⨯;从而所求排列数为222232223233108.A A A A ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=5．（2021·康保衡水一中联合中学）用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为____ ． 【答案】72【解析】要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1,3,5中的一个数，共有3种排法，然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有4424A =种排法，由分步乘法计数原理得，由1,2,3,4,5组成的无重复数字的五位数中奇数有32472⨯=个.故答案为：72. 6（2020·湖北武汉为明学校）用0，1，2，3这4个数字组成是偶数的四位数，这样的数共有_____个. 【答案】10【解析】解：个位是0，有336A =个；个位不是0，有2224A =个，故共有6410+=个．故答案为：10.7．（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）把1､2､3､4､5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排成一个数列. （1）45312是这个数列的第几项？ （2）这个数列的第71项是多少？ （3）求这个数列的各项和.【答案】（1）第95项；（2）第71项是3开头的五位数中第二大的数；（3）3999960. 【解析】（1）先考虑大于45312的数，分为以下两类：第一类5开头的五位数有：4424A =第二类4开头的五位数有：45321一个∴不大于45312的数有：5454112024195A A --=--=(个) 即45312是该数列中第95项.（2）1开头的五位数有：4424A = 2开头的五位数有：4424A = 3开头的五位数有：4424A =共有24372⨯=(个).所以第71项是3开头的五位数中第二大的数，即35412.（3）因为1，2，3，4，5各在万位上时都有4424A =个五位数，所以万位数上的数字之和为454(12345)10A ++++⋅⋅同理，它们在千位，百位，十位，个位上也都有4424A =个五位数，所以这个数列的各项和为()4432104(12345)1010101010A ++++⋅⋅++++1524111113999960=⨯⨯=.8．（2021·黄梅国际育才高级中学高二期中（理））用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数． 【答案】（1）30；（2）20. 【解析】（1）偶数分为二类：若个位数0，则共有2412A =个；若个位数是2或4，则首位数不能为0，则共有23318⨯⨯=个； 所以，符合条件的三位偶数的个数为121830+=； （2）“凹数”分三类：若十位是0，则有2412A =个；若十位是1，则有236A =个； 若十位是2，则有222A =个；所以，符合条件的“凹数”的个数为126220++=．。
高中数学选修2-3-排列与组合
排列与组合知识集结知识元排列与排列数公式知识讲解1．排列及排列数公式【考点归纳】1．定义（1）排列：一般地，从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）（2）排列数：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示．2．相关定义：（1）全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．（2）n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示．（规定0!＝1）3．排列数公式（1）排列计算公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．（2）全排列公式：＝n•（n﹣1）•（n﹣2）•…•3•2•1＝n!．例题精讲排列与排列数公式例1.（x-2）（x-3）（x-4）…（x-15）（x∈N+，x>15）可表示为（）A．A B．A C．A D．A例2.若=12，则n=（）A．8B．7C．6D．4例3.已知=15，那么=（）A．20B．30C．42D．72组合与组合数公式知识讲解1．组合及组合数公式【考点归纳】1．定义（1）组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合．（2）组合数：从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号表示．2．组合数公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．3．组合数的性质：性质1性质2．例题精讲组合与组合数公式例1.'排球单循环赛南方球队比北方球队多9支南方球队总得分是北方球队的9倍求证冠军是一支南方球队（胜得1分败得0分）．'例2.'一个袋子里装有大小相同且标有数字1～5的若干个小球，其中标有数字1的小球有1个，标有数字2的小球有2个，…，标有数字5的小球有5个．（Ⅰ）从中任意取出1个小球，求取出的小球标有数字3的概率；（Ⅱ）从中任意取出3个小球，求其中至少有1个小球标有奇数数字的概率；（Ⅲ）从中任意取出2个小球，求小球上所标数字之和为6的概率．'例3.'求C3n38-n+C21+n3n的值．'排列组合的简单计数问题知识讲解1．排列、组合及简单计数问题【知识点的知识】1、排列组合问题的一些解题技巧：①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排；④相邻问题捆绑处理；⑤不相邻问题插空处理；⑥定序问题除法处理；⑦分排问题直排处理；⑧“小集团”排列问题先整体后局部；⑨构造模型；⑩正难则反、等价转化．对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．2、排列、组合问题几大解题方法：（1）直接法；（2）排除法；（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；（10）指定元素排列组合问题：①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．例题精讲排列组合的简单计数问题例1.的展开式中，x的系数为___（用数字作答）例2.在的展开式中，x4的系数是____．例3.若，则n的展开式中，含x2项的系数为_______．当堂练习单选题练习1.计算2+3的值是（）A．72B．102C．5070D．5100练习2.=（）A．30B．24C．20D．15练习3.6本不同的书在书桌上摆成一排，要求甲，乙两本书必须放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种。
2020届高中数学分册同步讲义(选修2-3) 第1章 1.2.1 第1课时 排列与排列数公式
§1.2排列与组合1．2.1排列第1课时排列与排列数公式学习目标1.理解并掌握排列的概念.2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．知识点一排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．知识点二排列数的定义及公式1．排列数的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n表示．2．排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝n！(n－m)！.A n n＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.1．123与321是相同的排列．(×)2．同一个排列中，同一个元素不能重复出现．(√)3．在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．(×)4．从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．(×)一、排列的概念例1判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．解(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．反思感悟判断一个具体问题是否为排列问题的思路跟踪训练1判断下列问题是否为排列问题．(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？(2)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程x2a2＋y2b2＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程x2a2－y2b2＝1?(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？解(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程x2a2＋y2b2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在双曲线x2a2－y2b2＝1中，不管a>b还是a<b，方程x2a2－y2b2＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．(3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题．二、排列数公式的应用命题角度1 利用排列数公式求值例2－1 计算A 315和A 66.解 A 315＝15×14×13＝2 730， A 66＝6×5×4×3×2×1＝720. 命题角度2 利用排列数公式化简例2－2 (1)用排列数表示(55－n )(56－n )…(69－n )(n ∈N *且n <55)； (2)化简n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋m )．解 (1)∵55－n ,56－n ，…，69－n 中的最大数为69－n ，且共有(69－n )－(55－n )＋1＝15(个)数， ∴(55－n )(56－n )…(69－n )＝A 1569－n .(2)由排列数公式可知n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋m )＝A m ＋1n ＋m .命题角度3 利用排列数公式证明例2－3 求证A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n. 证明 ∵A m n ＋1－A mn ＝(n ＋1)！(n ＋1－m )！－n ！(n －m )！＝n ！(n －m )！·⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋1－m －1＝n ！(n －m )！·mn ＋1－m＝m ·n ！(n ＋1－m )！＝m A m －1n， ∴A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n. 反思感悟 排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．跟踪训练2 不等式A x 8<6A x －28的解集为( )A ．[2,8]B ．[2,6]C ．(7,12)D ．{8} 答案 D解析 由A x 8<6A x －28，得8！(8－x )！<6×8！(10－x )！，化简得x 2－19x ＋84<0，解得7<x <12，①又⎩⎪⎨⎪⎧x ≤8，x －2≥0，所以2≤x ≤8，② 由①②及x ∈N *，得x ＝8.三、排列的简单应用例3 用排列数表示下列问题．(1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数；(2)由0,1,2,3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；(3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名新员工，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数．解 (1)从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其排列数为A 2100. (2)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，其排列数为A 33.(3)可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，其排列数为A 45. 反思感悟 首先分析问题是不是排列问题，若是排列问题，则利用定义解题．跟踪训练3 京沪高速铁路自北京南站至上海虹桥站，双线铁路全长1 318公里，途经北京、天津、河北、山东、安徽、江苏、上海7个省市，设立包括北京南、天津西、济南西、南京南、苏州北、上海虹桥等在内的21个车站，计算铁路部门要为这21个车站准备多少种不同的火车票？解 对于两个火车站A 和B ，从A 到B 的火车票与从B 到A 的火车票不同，因为每张票对应一个起点站和一个终点站．因此，结果应为从21个不同元素中，每次取出2个不同元素的排列数A 221＝21×20＝420(种)．所以一共需要为这21个车站准备420种不同的火车票．1．排列有两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排成一列”．这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关，所以，取出的元素与“顺序”有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准．2．排列数公式有两种形式，可以根据要求灵活选用．1．下面问题中，是排列问题的是()A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数B．从40人中选5人组成篮球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合答案 A解析选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．2．A39等于()A．9×3 B．93C．9×8×7 D．9×8×7×6×5×4×3答案 C3．若A m10＝10×9×…×5，则m＝________.答案 64．从1,2,3,4这4个数字中选出3个数字构成无重复数字的三位数有________个．答案245．从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素排成一列，不同排法有________种．答案n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)一、选择题1．4·5·6·…·(n－1)·n等于()A．A4n B．A n－4nC．n！－4! D．A n－3n答案 D解析因为A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．所以A n－3n＝n(n－1)(n－2)…[n－(n－3)＋1]＝n·(n－1)·(n－2)·…·6·5·4.2．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有()A．50 B．60 C．120 D．90答案 C解析5本书进行全排列，A55＝120.3．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有()A．12种B．24种C．48种D．120种答案 B解析∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有A44＝24(种)．4．下列各式中与排列数A m n相等的是()A.n！(n－m＋1)！B．n(n－1)(n－2)…(n－m)C.n A m n －1n －m ＋1 D ．A 1n ·A m －1n －1答案 D 解析∵A m n ＝n ！(n －m )！，而A 1n ·A m －1n －1＝n ·(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝n ！(n －m )！，∴A m n ＝A 1n ·A m －1n －1.5．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．20 答案 C解析 首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数排列，共有A 25＝20(种)排法， 因为31＝93，13＝39，所以从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是20－2＝18.6．将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为( ) A ．54B ．45C ．5×4×3×2D ．5答案 D解析 由于参观票只有4张，而人数为5人，且每名同学至多1张，故一定有1名同学没有票．因此从5名同学中选出1名没有票的同学，有5种选法．又因为4张参观票是相同的，不加以区分，所以不同的分法有5种． 二、填空题7．若A 42x ＋1＝140·A 3x ，则x ＝________. 答案 3解析 根据原方程，知x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥4，x ≥3，x ∈N *，解得x ≥3，x ∈N *.由排列数公式，得(2x ＋1)·2x ·(2x －1)·(2x －2)＝140x ·(x －1)·(x －2)，所以x ＝3.8．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)答案 1 560解析 根据题意，得A 240＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言．9．高三(一)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法． 答案 3 600解析 不同排法的种数为A 55A 26＝3 600(种)．10．若把英语单词“good ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种． 答案 11解析 根据题意，因为“good ”四个字母中的两个“O ”是相同的， 则其不同的排列有12×A 44＝12种， 而正确的排列只有1种， 则可能出现的错误共有11种．11．5名同学排成一列，甲同学不排排头的排法种数为________．(用数字作答) 答案 96解析 可分两步：第一步，甲同学不排排头，故排头的位置可以从余下的四个同学中选一个排，有A 14种方法；第二步，余下的四个同学全排列，有A 44种不同的排法，根据分步乘法计数原理，所求的排法种数为A 14A 44＝96.故填96.12．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有______种不同的招聘方案．(用数字作答) 答案 60解析 将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有A 35＝5×4×3＝60(种)． 三、解答题13．A ，B ，C ，D 四人站成一排，其中A 不站排头，写出所有的站法． 解 作出“树形图”如下：故所有的站法：BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.14．某国的篮球职业联赛共有16支球队参加．(1)每队与其余各队在主客场分别比赛一次，共要进行多少场比赛？(2)若16支球队恰好8支来自北部赛区，8支来自南部赛区，为增加比赛观赏度，各自赛区分别采用(1)中的赛制决出赛区冠军后，再进行一场总冠军赛，共要进行多少场比赛？解(1)任意两队之间要进行一场主场比赛及一场客场比赛，对应于从16支球队任取两支的一个排列，比赛的总场次是A216＝16×15＝240.(2)由(1)中的分析，比赛的总场次是A28×2＋1＝8×7×2＋1＝113.15．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且m>1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？解 由题意可知，原有车票的种数是A 2n 种，现有车票的种数是A 2n ＋m 种，∴A 2n ＋m －A 2n ＝62，即(n ＋m )(n ＋m －1)－n (n －1)＝62.∴m (2n ＋m －1)＝62＝2×31，∵m <2n ＋m －1，且n ≥2，m ，n ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，2n ＋m －1＝31，解得m ＝2，n ＝15， 故原有15个车站，现有17个车站．。
人教A版高中数学选择性必修第三册【整合课件】6.2.2_排列数
解 (1)先考虑甲有 A13种站法，再考虑其余 6 人全排，故不同站法总数为：A13A66 ＝2 160(种)．
(2)2 名女生站在一起有站法 A22种，视为一种元素与其余 5 人全排，有 A66种排法， 故不同站法总数为：A22·A66＝1 440(种)．
(3)先站老师和女生，有站法 A33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入 男生，每空一人，则插入方法 A44种，故不同站法总数为 A33·A44＝144(种)．
()
4．5本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有_____ 种．
答案 120
解析 利用排列的概念可知不同的分配方法有 A55＝120 种． 5．已知 A2n＝7A2n－4，则 n 的值为____________.
答案 7 解析 由排列数公式，得 n(n－1)＝7(n－4)(n－5)，n∈N*，∴3n2－31n＋70＝0， 解得 n＝7 或 n＝130(舍)．
第六章
6.2 排列与组合
6.2.2 排列数
计数原理
课程内容标准
学科素养凝练
1．会用排列数公式进行求值和证明． 2．掌握一些排列问题的常用解决方 法，能应用排列知识解决简单的实际 问题.
在学习排列数、排列数公式及应用的 过程中，强化数学抽象、数学建模、 数学运算的核心素养.
课前 预习案
排列数及排列数公式 1．排列数：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的___所__有__不__同__排__列__的__个__数__，
(4)7 人全排列中，4 名男生不考虑身高顺序的站法有 A44种，而由高到低有从左到 右和从右到左的不同，故不同站法总数为：2·AA7744＝420(种)．
[方法总结] 解决排队问题时的方法 (1)位置分析法：以位置为主，特殊(受限)的位置优先考虑．有两个以上的束缚 条件时，往往根据其中的一个条件分类处理． (2)元素分析法：以元素为主，先满足特殊(受限)元素的要求，再处理其他元 素．有两个以上的束缚条件时，往往考虑一个元素的同时，兼顾其他元素． (3)对于相邻问题可以采用捆绑的方法，将要相邻的元素捆绑作为一个整体，和 余下的元素按照要求进行排列，最后解捆． (4)对于不相邻问题可以采用插空的方法，先将不相邻的元素拿出来，余下的元 素按要求排列，找满足要求的空，再将不相邻的元素排入． (5)对于顺序给定的元素的排列问题只需考虑其余元素的排列即可．
高中数学第4章计数原理4-2排列第1课时排列的定义及排列数湘教版选择性必修第一册
n=
10
3
.∵n∈N+,∴n=7.
(2)证明∵A
+1
− A
=
(+1)!
!
− (- )!
(+1-)!
!
-1
=m·
=mA ,∴A
+1
+1-
(+1-)!
=
!
+1
!
共有
210
种.
解析 4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,则所有不同
3
A
的选派方案共有 7 =7×6×5=210种.
1 2 3 4 5 6
6.试用列举法列举出“由0,1,2,3四个数字共能组成的所有的有重复数字的
四位数”.
解 画出树状图,如图.
由树状图可知,所有四位数:1 023,1 032,1 203,1 230,
1.已知 A2 =20(n∈N+),则n的值为( B )
A.4
B.5
C.6
D.7
解析 由 A2 =20可得n(n-1)=20,解得n=5或n=-4(舍去).故选B.
1 2 3 4 5 6
2.(多选题)下列问题是排列问题的是( AD )
A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组
(2)证明右式=
×(n-m)!=n!=左式,即原等式成立.
(-)!
探究点三 简单的排列问题
【例3】现有6个人要排成一排照相,按下列要求,各有多少种不同的排列方
法?
(1)排成一排;
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1.1排列与排列数公式a23a高二23数学
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忽视排列问题中的限制条件致误 【例 4】 在 1,2,3,4 的排列 a1a2a3a4 中，满足 a1>a2，a3>a2， a3>a4 的排列个数是_____5___． 【错解】 排列的个数是 12 个或 8 个． 【错因分析】 3 个限制只注意 1 个限制条件或 2 个限制条 件．
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知识点一 排列的概念
1．排列的定义
[填一填]
一般地，从 n 个 不同 元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一 定的顺序 排成一列，叫做从 n 个 不同 元素中取出 m 个
元素的一个排列．
2．相同排列 两个排列相同，当且仅当两个排列的元素 完全相同 ，且 元素的 排列顺序 也相同．
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(2)计算AA5525的值． 解：AA5255＝5×4×5×3×4 2×1＝6.
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类型三 列举法解决排列问题 【例 3】 (1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位
数，共有多少个不同的两位数？ (2)写出从 4 个元素 a，b，c，d 中任取 3 个元素的所有排列．
Hale Waihona Puke [目标] 1.理解排列和排列数的特征.2.正确运用排列数公式 进行计算．
[重点] 理解排列的概念，会用排列数公式进行计算． [难点] 对排列的有序性的正确理解，排列数公式的逆用．
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要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
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高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识
⾼中数学排列组合公式⼤全_⾼中数学排列组合重点知识 排列组合是⾼中数学教学内容中的重要组成部分，在⾼考试卷中排列组合的占分⽐越来越⾼，且出现的形式多种多样。
下⾯店铺给你分享⾼中数学排列组合公式⼤全，欢迎阅读。
⾼中数学排列组合公式⼤全 1.排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照⼀定的顺序排成⼀列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的⼀个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，⽤符号 p(n,m)表⽰. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成⼀组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的⼀个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.⽤符号 c(n,m) 表⽰. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m); 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数⽆限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列(Pnm(n为下标，m为上标)) Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n 组合(Cnm(n为下标，m为上标)) Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m ⾼中数学排列组合公式记忆⼝诀 加法乘法两原理，贯穿始终的法则。
高中数学选择性必修三 6 2 1- 6 2 2排列与排列数(课件)
客队”的顺序排成的一个排列.
解：可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队.
按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为
6×5=30.
典例解析
例2. （1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有
一些简单的排列应用题.
温故知新
两个原理的联系与区别
1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.
2.区别
分类加法计数原理
区别 完成一件事共有n类办法,关
一 键词是“分类”
每类办法中的每种方法都能
独立地完成这件事,它是独立
区别
的、一次的且每种方法得到
二
的都是最后结果,只需一种方
按分步乘法计数原理，不同的取法种数为
5×5×5=125.
概念解析
n!
m
2.排列数公式:n =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=(n-m)!,这里
m,n∈N*,并且 m≤n.
3.全排列和阶乘:n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个元素的一个全排
列.这时,排列数公式中 m=n,即有A =n(n-1)(n-2)×…×3×2×1.也就是说,将 n 个
C.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)
D.(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)
3.某次演出共有6位演员参加,规定甲只能排在第一个或最后一个出场,乙和丙必须排在相
邻的顺序出场,不同的演出顺序共有(
A.24种
B.144种
高中数学(人教B版)选择性必修二：排列与排列数【精品课件】
m n
n! . (n m)!
为了使得上式对m n 时也成立，我们规定0! 1.
另外，为了方便起见，也规定A0n 1 .
例2.
求证：A
m n
mA
m1 n
Am n1
.
A
m n
mA
m1 n
n! m (n m)!
n! [n (m 1)]!
(n
n! m)!
1
n
m
m
1
(n
n! m)!
等价于“从12个不同对象中，任取2个按照先后顺序排成一列”
是“排列”问题.排列数为：A122 12 11 132 .
研究具体计数问题时： （1）先将具体问题转化为等价的数学模型.再辨析是否为
“排列”问题？ 即判断是否具有：①互异性；②有序性.
（2）学会使用排列数，尤其在之后我们研究一些较复 杂的计数问题时，运用排列数会使列式更为简洁.
列）称为全排列.
排列定义中的2个特征： ①取出的对象互不相同； ②取出的对象要按一定的顺序排列.
问题（2）.在甲、乙、丙、丁4名学生中选出2名，分别在某话剧 表演中扮演A和B两个角色，共有多少种不同的选择方法？
（甲、乙）
不同 排列
（乙、甲）
角色A由甲扮演 角色B由乙扮演
（甲、乙）是一个排列
.
角色A由乙扮演 角色B由甲扮演
如：例1（4）：A122 12 11 132 .
阶乘形式：A
m n
n! . (n m)!
排列数中含有“未知量”或需将算式“恒等变换”时，
使用“阶乘”形式，可以简化列式.
如例2.求证：Amn
mA
m1 n
Am n1
.
高中数学人教A版 选择性必修第三册 排列数 课件
A
2 3
个.
故奇数共有 3A32 18 个.
15. 4 个男同学，3 个女同学站成一排. （1）3 个女同学必须相邻，有多少种不同的排法？ （2）3 个女同学站在中间三个位置上，有多少种不同的排法？ （3）甲、乙 2 人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？ （4）若 3 个女同学身高互不相等，女同学从左到右按从高到低的顺序排， 有多少种不同的排法？
A.144 种
B.48 种
C.36 种
D.72 种
答案：C 解析：将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列有 A33 6 种排法，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在除最后一个空 外的 3 个空里，有 A32 6 种排法，则后六场开场诗词的排法有 6 6 36 （种）. 故选 C.
11.计算：
2A85 A88
7A
4 8
A
5 9
________.
答案：1
解析：
2A85 A88
7A84 A59
28765 4 78765 8765 43 21 98765
8 7 6 5 (8 7) 8 7 6 5 (24 9)
1.
12.把 3 盆不同的兰花和 4 盆不同的玫瑰花摆放在如图中的 1，2，3，4，5，6，7 所示的 位置上，其中 3 盆兰花不能摆放在一条直线上，则不同的摆放方法有___________种.
例1
计算：(1)
A
3 7
；(2)
A
4 7
；(3)
A 77 A44
；(4)
A
4 6
A
2 2
.
解：根据排列数公式，可得
(1) A37 7 6 5 210 ；
高中数学(人教A版)选择性必修三课后习题：排列、排列数(课后习题)【含答案及解析】
第六章计数原理6.2 排列与组合6.2.1 排列 6.2.2 排列数课后篇巩固提升必备知识基础练1.A 76-A 65A 54等于( )A.12B.24C.30D.36=7×6A 54-6A 54A 54=36.2.6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端,丙、丁两本书必须相邻,则不同的摆放方法有( ) A.24种 B.36种 C.48种 D.60种1步,甲、乙两本书必须摆放在两端,有A 22种不同的摆放方法;第2步,丙、丁两本书视为整体与其他两本共三本,有A 22A 33种不同的摆放方法. 根据分步乘法计数原理,共有A 22A 33A 22=24(种)不同的摆放方法,故选A. 3.已知A n+12−A n 2=10,则n 的值为( )A.4B.5C.6D.7A n+12−A n 2=10,得(n+1)n-n (n-1)=10,解得n=5.4.将4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上,每辆汽车上有一名司机和一名售票员,则可能的分配方法有( ) A .A 88种B .A 84种C .A 44×A 44种D.2A 44种A 44种安排方法,由分步乘法计数原理知共有A 44×A 44种不同的安排方法.5.7个人排成一队参观某项目,其中A ,B ,C 三人进入展厅的次序必须是先B 再A 后C ,则不同的列队方式的种数为( ) A.120 B.240 C.420D.840,先将7人排成一列,有A 77种排法,其中A ,B ,C 三人进入展厅的次序必须是先B 再A 后C ,即A ,B ,C 三人顺序一定,则不同的列队方式有A 77A 33=840种.6.由数字0,1,2,3,4,5可以组成能被5整除,且无重复数字的不同的五位数有( )A.(2A 54−A 43)个B .(2A 54−A 53)个C .2A 54个D .5A 54个5整除,则个位需为5或0,有2A 54个,但其中个位是5的含有0在首位的排法有A 43个,故共有(2A 54−A 43)个.7.某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有不同排法 种.方法一)若第一节排数学,共有A 33=6(种)排法;若第一节不排数学,第一节有2种排法,最后一节有2种排法,中间两节任意排,有2×2×2=8(种)排法.根据分类加法计数原理,共有6+8=14(种)排法,故答案为14.(方法二 间接法)4节课全部可能的排法有A 44=24(种),其中体育排第一节的有A 33=6(种),数学排最后一节的有A 33=6(种),体育排第一节且数学排最后一节的有A 22=2(种),故符合要求的排法有A 44-2×A 33+A 22=14(种).8.7名班委有7种不同的职务,甲、乙、丙三人在7名班委中,现对7名班委进行职务具体分工. (1)若正、副班长两职只能从甲、乙、丙三人中选两人担任,有多少种不同的分工方案? (2)若正、副班长两职至少要选甲、乙、丙三人中的一人担任,有多少种不同的分工方案?先排正、副班长,有A 32种方案,再安排其余职务有A 55种方案,由分步乘法计数原理,知共有A 32×A 55=720(种)不同的分工方案.(2)7人中任意分工,有A 77种不同的分工方案,甲、乙、丙三人中无一人担任正、副班长的分工方案有A 42A 55种,因此甲、乙、丙三人中至少有一人担任正、副班长的分工方案有A 77−A 42A 55=3 600(种).9.把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列. (1)43 251是这个数列的第几项? (2)这个数列的第96项是多少? (3)求这个数列的各项和.先考虑大于43 251的数,分为以下三类:第1类,以5开头的有A 44=24(个); 第2类,以45开头的有A 33=6(个); 第3类,以435开头的有A 22=2(个).故不大于43 251的五位数有A 55-(A 44+A 33+A 22)=88(个),即43 251是第88项.(2)数列共有A 55=120(项),96项以后还有120-96=24(项),即比96项所表示的五位数大的五位数有24个,所以小于以5开头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项,即为45 321.(3)因为1,2,3,4,5各在万位上时都有A 44个五位数,所以万位上数字的和为(1+2+3+4+5)·A 44·10000,同理它们在千位、百位、十位、个位上也都有A 44个五位数,所以这个数列的各项和为(1+2+3+4+5)·A 44·(1+10+100+1 000+10 000)=15×24×11 111=3 999 960.关键能力提升练10.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有( ) A.120个 B.80个 C.40个 D.20个3时,个位与百位从1,2中选,有A 22种选法;当十位是4时,个位与百位从1,2,3中选,有A 32种选法; 当十位是5时,个位与百位从1,2,3,4中选,有A 42种选法; 当十位是6时,个位与百位从1,2,3,4,5中选,有A 52种选法.故伞数有A 22+A 32+A 42+A 52=2+6+12+20=40(个).11.(多选)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排,下列说法正确的是( ) A.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,那么不同的排法有24种 B.最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有54种 C.甲、乙不相邻的排法种数为72种D.甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种,可将甲、乙捆绑看成一个元素,则不同的排法有A 44=24(种),故A 正确;最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有A 31A 33+A 44=42(种),故B 不正确; 甲、乙不相邻的排法种数为A 33A 42=72(种),故C 正确;甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有A 55A 33=20(种),故D 正确.故选ACD.12.用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的6位数,其中个位数字小于十位数字的六位数共有( ) A.300个 B .464个 C .600个 D .720个方法一)确定最高位有A 51种不同方法.确定万位、千位、百位,从剩下的5个数字中取3个排列,共有A 53种不同的方法,剩下两个数字,把大的排在十位上即可,由分步乘法计数原理知,共有A 51A 53=300(个).(方法二)由于个位数字大于十位数字与个位数字小于十位数字的应各占一半,故有12A 51A 55=300(个). 13.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天安排1人,每人值班1天.若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有( )A.504种B.960种C.1 008种D.1 108种A22A66=1 440(种).其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方案有A51A22A44=240(种);满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在10月7日值班的方案有A51A22A44=240(种);满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班,丁在10月7日值班的方案有A41A22A33=48(种).故符合题设要求的不同安排方案有1 440-2×240+48=1 008(种),故选C.14.某大楼安装了5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定.每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同,记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中,每秒有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是() A.1 205秒B.1 200秒C.1 195秒D.1 190秒5秒,所有不同的闪烁为A55个,相邻两个闪烁的时间间隔为5秒,因此需要的时间至少是5×A55+(A55-1)×5=1 195(秒).15.3个人坐在有8个座位的一排上,若每个人的两边都要有空位,则不同的坐法种数为.5个空座位,再让3个人带着座位插到中间4个空中去,所以共有A43=24(种)坐法.16.某老师一天上3个班级的课,每班一节,如果一天共9节课,且老师不能连上3节课(第5节和第6节不算连上),那么这位老师一天的课表的所有排法有种.9节课中任意安排3节共有A93=504(种),其中前5节课连排3节共有3A33=18(种);后4节课连排3节共有2A33=12(种).故老师一天课表的所有排法共有504-18-12=474(种).17.某次文艺晚会上共演出8个节目,其中有2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目,求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种?(1)一个唱歌节目开头,另一个放在最后压台;(2)2个唱歌节目互不相邻;(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.先排唱歌节目有A22种排法,再排其他节目有A66种排法,所以共有A22×A66=1 440(种)排法.(2)先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目,有A66种排法,再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目,有A72种插入方法,所以共有A66×A72=30 240(种)排法.(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素,与3个曲艺节目排列共有A44种排法,再将3个舞蹈节目插入,共有A53种插入方法,最后将2个唱歌节目互换位置,有A22种排法,故所求排法共有A44×A53×A22=2 880(种)排法.学科素养创新练18.从数字0,1,3,5,7中取出三个不同的数作系数,可以组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有实根的方程有多少个?:首先确定a,只能从1,3,5,7中选一个,有A41种,然后从余下的4个数中任选两个作b,c,有A42种, 所以由分步乘法计数原理知,可以组成一元二次方程A41×A42=48(个).方程要有实根,必须满足Δ=b2-4ac≥0.分类讨论如下:当c=0时,a,b可在1,3,5,7中任取两个进行排列,有A42个.当c≠0时,分析根的判别式知,b只能取5,7.当b取5时,a,c只能取1,3这两个数,有A22种;当b取7时,a,c可取1,3或1,5这两组数,有2A22种,此时共有(A22+2A22)个.由分类加法计数原理知,有实根的一元二次方程共有A42+A22+2A22=18(个).。
高中数学选修23排列与排列数(ppt)
母排成一列,共有多少种排法?
第一步
A
数学抽象
AB CD
第二步 B C D
第1位 第2位 第3位
第三步 C D B D B C
排列与排列数
排列与排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照 一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取 出m个元素的一个排列
注:①从n个不同元素中取出m个元素
② 按顺序排成一列 ③ m≤n
学,每人一本,共有多少种不同的选法? ②有5种不同的书,要买3本给3名同学,每 人一本,共有多少种不同的选法?
例三 某信号兵用红.蓝3面旗从上到下挂在竖直
的旗杆上表示信号,每次可挂一面,二面,三面, 并且不同的顺序表示不同的信号,一共可表示多 少种不同的信号?
小结与作业
排列与排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照 一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取 出m个元素的一个排列
当两个排列的元素完全相同,且元素的排 列顺序相同称两个排列相同
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素
的排列数 Amn =n(n-1)(n-2) …(n-m+1)
n,m∈N*,m≤n
温故知新
问题一
排列与排列数
本班欲从甲,乙,丙三候选人中选举两人担
任正副班长,问共有多少种选法?
正班 副班 排法
乙 甲乙 甲 丙 甲丙 乙 甲 乙甲
丙 乙丙 丙Βιβλιοθήκη 甲 丙甲乙 丙乙数学抽象
乙
甲 丙
第1位 第2位
问题二
排列与排列数
从A.B.C.D四个字母中,每次取3个字
母排成一列,共有多少种排法?
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1排列第1课时排列与排列数公式
答案 (1)D (2)5 (3)见解析
12/13/2021
答案
解析 (1)27－a,28－a，…，34－a 中最大数为 34－a，一共有 34－a－(27 －a)＋1＝8 个因式，所以(27－a)·…·(34－a)＝A834－a.
(2)解法一：A1248AA611412＝841！ ！2××11182！！！＝54！ ！＝5. 5！
12/13/2021
[解] (1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．
故符合题意的机票种类有： 北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南 京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共 12 种．
12/13/2021
答案
(2)由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生．设两名学生分别为 A、B，两名老师分别为 M、N，此问题可分两类：
由此可知所有可能的站法为 AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA， BNMA，BAMN，BANM，共 8 种．
12/13/2021
答案
拓展提升 用树形图解决简单的排列问题是常见的解题方法．它能很好地确定排列 中各元素的先后顺序，利用树形图可具体地列出各种情况，避免排列的重复 和遗漏．
12/13/2021
答案 B
12/13/2021
答案
解析 排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有 B 中的问题是与 顺序有关的，其他问题都与顺序无关．故选 B.
12/13/2021
2．下列各式中与排列数 Amn 相等的是( )
n！ A.m－n！
B．n(n－1)(n－2)…(n－m)
C.n－mn ＋1Ann－1
D．An1·Amn－－11
12/13/2021
高中数学第六章计数原理6.2.2排列数课件新人教A版选择性必修第三册
2．计算：A1248 AA614112 ＝________．
8！ 12！ 【解析】方法一：A1248AA164112 ＝41！2××118！！ ＝54！ ！ ＝5.
5！ 方法二：A1248AA614112 ＝（8×71×26××（5）11××（101×2…×1×16×）10×9） ＝5.
答案：5
3．求证：Amn＋1 －Amn ＝mAmn －1 .
(3)把五位数的每个数位看成五个空，数字4，5共有A52 ＝5×4＝20种排法，然后把 数字1，2，3按照3，2，1的顺序插入，只有一种方式．根据分步乘法计数原理， 可知由1，2，3，4，5组成的无重复数字且数字1，2，3必须按由大到小顺序排列 的五位数有A25 ×1＝20个．
【类题通法】数字排列问题的解题策略 (1)解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的 限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决 该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位 子，当一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论． (2)常用方法：直接法、间接法． (3)注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当进行分类和分 步，尤其注意特殊元素“0”的处理．
【解析】根据题意由于丁必须在丙完成后立即进行，故可把丁丙视为一个元素， 先不管其他限制条件，使其与其他四项工程进行全排列共有A55 种排法，这些排 法中，甲、乙、丙相对顺序共有A33 种，所以满足条件的排法种数是AA5533 ＝20. 答案：20
探究点二 与数字有关的排列问题 【典例2】以下问题最终结果用数字表示 (1)由0，1，2，3，4可以组成多少个无重复数字的五位偶数？ (2)由1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字且2，3不相邻的五位数？ (3)由1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字且数字1，2，3必须按由大到小 顺序排列的五位数？
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（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学， 每人各一本，共有多少种不同的送法？
555 125
例6:某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在 竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2 面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一 共可以表示多少种不同的信号？
A31 A32 A33 3 3 2 3 2 1 15
排列及排列数
问题1: 从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学分别参 加物理和化学课外小组，有多少种不同的方法?
32 6
物理
化学 相应的排法
乙
甲乙
甲
丙
甲丙
甲
乙甲
乙
丙
乙丙
甲
丙甲
丙
乙
丙乙
问题2:从a,b,c,d这4个字母中，每次取出3个按顺 序排成一列,共有多少种不同的排法？
4×3×2 = 24
a
b
c
d
Anm
(n
n! m)!
利用排列数公式进行计算或证明:
例2:解方程
(1)
A4 2 x1
140
Ax3
(2)3A8x
4
Ax1 9
例3:证明
(1) Anm nAnm11
(2) Anm
mAnm11
Am n1
无条件限制的排列应用题:
例4:某年全国足球甲级（A组）联赛共有14队 参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛 一次，共进行多少场比赛？
例1:计算（1） A136（2） A64（3） A66
全排列: n个不同的元素全部取出的一个排列 叫做n个不同元素的一个全排列。
全排列数公式:
Ann n(n 1)(n 2)...3 2 1 即Ann n!
排列数公式:
Anm n(n 1)(n 2)...( n m 1).其中n, m N *, m n
排列的定义: 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个排列。
练习:写出从五个元素a、b、c、d、e中 任取2个元素的所有排列。
排列数的定义:
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 的所有排列的个数，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的排列数。
问题1: 从甲、乙、丙3名同学选出2名同学分别参加 物理和化学课外小组，有多少种不同的方法?
32 6
问题2:从a,b,c,d这4个字母中，每次取出3个按顺 序排成一列,共有多少种不同的排法？
4×3×2 = 24
排列数公式:
Anm n(n 1)(n 2)...( n m 1).其中n, m N *, m n
bcd
acd bd bc cd ad a c bd ada b bc a ca b
所有的排法:
abc abd acb acd adb adc bac bad bca bcd bda bdc cab cad cba cbd cda cdb dab dac dba dbc dca dcb
A124 14 13 182（场）
练习1:从4种蔬菜品种中选出3种分别种植在 不同土质的3块土地上进行试验，有多少种不 同的种植方法？
A43 4 3 2 24
练习2:一部纪录片在4个单位轮映，每一 个单位放映一场，有多少种轮映次序？
A44 4 3 21 24
例5:（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名 同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？