极点极线配极原则

定理2'(配极原则) 直线p关于
的极线p通过点Q点Q关于Γ的 Γ的极点P在直线q上直线q关
极线q通过点P.
于Γ的极点Q在直线p上.
注. 本定理给出了配极变换的最基本的几何性质.
§ 4.3 配极变换
二、配极变换
1. 配极变换 推论1 两点连线的极点为此二点极线的交点； 两直线交点的极线为此二直线极点的连线.
•数学科学对于经济竞争是必不可 少的，数学是一种关键性的、普遍 的、可实行的技术。
——引自：数学科学.技术与经济竞争力
§ 5.3 极点、极线，配极原则
在二次曲线理论中十分重要, 二次曲线的大部分重要性质均
与配极有关. 只讨论二阶曲线, 总假定：非退化.
3
设 :
S aij xi x j 0 aij a ji ,| aij | 0.
§ 5.3 极点、极线，配极原则
二、极点与极线
对于 :
3
S aij xi x j 0 i, j1
aij a ji ,| aij | 0.
a11 a12 a13 q1
点P(pi), Q(qi)关于Γ共轭
S pq
(
p1,
p2 ,
p3 )
a12
a22
a23
q2
0.
a13 a23 a33 q3
综上： 非退化二阶曲线Γ
配极变换 二维异素射影变换
二维异素射影变换 对偶变换
从而 配极原则
特殊的对偶原则
探索3一个完全四点形的四个顶点在 一个二阶曲线上，则这个完全四点形 的对边三点形的顶点与对边何关系？
❖ 结论：一个完全四点形的四个顶点在一个二 阶曲线上，则这个完全四点形的对边三点形 的顶点是其对边的极点
定义4 称
由
3
ui aij x j
j 1
i 1,2,3, aij a ji ,| aij | 0.
决定的同底点场与线场之间的变换为关于非退化二阶曲线Γ: S=0
的配极变换.
注1. 任一非退化二阶曲线Γ都决定了平面上的一个配极变换.
注2. 配极变换是异素变换, 是一个双射.
定理2 (配极原则)点P关于Γ
推论2 共线点的极线必共点；共点线的极点必共线. 推论3 关于非退化二阶曲线Γ的配极变换使得点列对应于线束, 线束对应于点列；图形对应于其对偶图形. 推论4 关于非退化二阶曲线Γ的配极变换使得共线四点的交比 等于其对应共点四直线的交比. 因此, 配极变换规定了一个点列与其对应线束之间的一个射影 对应.
(1)
i, j1
一、引入
定义1 两点P, Q关于Γ共轭. (如图)
定理1 点P关于Γ的共轭点的轨迹为一
条直线Sp=0. 证明 设P(pi), Q(qi). 则PQ与Γ: S=0的交点M(pi+λqi)满足
Sqq2 2Spq Spp 0.
设其两根为λ1, λ2. 则交点为Mj( pi+λjqi), (j=1,2). 于是(PQ,M1M2)=–1
λ1/λ2=–1
λ1+λ2=0
2 S pq Sqq
0
S pq
0.
将qi改为流动坐标xi, 得P关于Γ的共轭点的轨迹为直线Sp=0.
§ 5.3 极点、极线，配极原则
二、极点与极线
1. 问题提出
定理1 点P关于Γ的共轭点的轨迹为一条直线Sp=0. 推论1 两点P, Q关于Γ共轭Spq=0. 即
a11 a12 a13 q1 ( p1, p2 , p3 ) a12 a22 a23 q2 0.
二、极点与极线
根据推论2, 可以对偶地给出下列定义
定义3 相互通过对方极点的直线称为关于Γ的共轭直线.
注. 利用Maclaurin定理及对偶原则, 有: 两直线p[pi], q[qi]关于
Γ: S=0共轭Tpq=0
A11 A12 A13 q1
( p1, p2 , p3 ) A12 A22 A23 q2 0.
3x12
5x
2 2
x32
7x1 x2
4x1 x3
5x2 x3
0
的极线?
例2
❖ 求直线 l : 3x1 x2 6x3 0 关于 的极点. ❖ 3x12 5x22 x32 7x1x2 4x1x3 5x2 x3 0
(3,-1,-1)
§ 5.3 极点、极线，配极原则
三、配极变换
1. 配极变换
点P(pi)关于Γ的极线(P关于Γ的共轭点的轨迹)方程：Sp=0. 直线u[ui]关于Γ的极点：下列极点方程组的解
u1 a11 a12 a13 x1
u2
a12
a22
a23
x2
.
u3 a13 a23 a33 x3
(4.17)
例1
❖ 求点(1,-1,0)关于二阶曲
线
u1 a11 a12 a13 p1
u2 a12 a22 a23 p2 .
(*)
u3 a13 a23 a33 p3
因为|aij|≠0, 故(4.17)对于(p1,p2,p3)有唯一解, 即u的极点P唯一存在.
(*)表示直线u与它的极点P之间的关系, 称为极点方程组.
§ 5.3 极点、极线，配极原则
A13 A23 A33 q3
4. 极点与极线的计算
(1). 已知P(pi), 求极线, 直接求Sp=0.
(2). 已知u[ui], 求极点, 将[ui]代入(*), 解出(pi). (注：在实际计 算时, 可取ρ=1, 见教材)
注：(*)是一个非奇异线性变换, 是由Γ: S=0通过关于它的极点 极线关系规定的同底点场与线场之间的一个双射.
注. 由定义2及推论1, 有
定义2': 相互在对方极线上的两点称为关于Γ的共轭点.
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§ 5.3 极点、极线，配极原则
一、极点与极线
3. 主要结论
推论2 平面上任一点P关于Γ的极线存在唯一, 方程为Sp=0. 反之, 平面上任一直线p关于Γ的极点存在唯一.
证明 只要证后半. 设直线u: u1x1+u2x2+u3x3=0, 求u关于Γ的极点. 设P(pi)为其一个极点, 由于P(pi)的极线唯一存在为Sp=0, 从而u与 Sp=0为同一直线, 由此可以推知
a13 a23 a33 q3
注1. 验证两点P, Q关于Γ共轭, 只要验证上式.
注2. P在Γ上, 则Spp=0, 由推论1, Γ上的点关于Γ自共轭.
2. 极点与极线 定义2 对于点P, 若
P P
则称P关于Γ的
共轭点轨迹p 切线p
为P关于Γ的极线, 方程为Sp=0. 反之, 称P为直线p关于Γ的极点.