相干信号DOA估计的研究

大连海事大学
毕业论文Array
二○○八年六月
相干信号DOA估计方法的研究与仿真
专业班级：通信二班
*名：***
指导教师：**
信息工程学院
内容摘要
相干信号的DOA估计是阵列信号处理中的一个研究热点，也是阵列信号处理中的一个重要研究课题，也是雷达、声纳、通信等领域基本任务之一。

为了解决相干信号的处理问题，各国学者提出了不少算法，这些算法大致可分为两类:一类以牺牲有效阵元数来换取信号的不相关性，即先对阵列信号进行去相干的预处理，而后应用普通的各种算法以获取精确的到达角，如空间平滑法，前后向预测投影矩阵法，数据矩阵分解法。

另一类是不损失阵列孔径而利用移动阵列的方法或采用频率平滑法处理相干信号。

本文重点是关于相干信号DOA估计算法的研究。

首先介绍了DOA估计问题的原理，对部分非相干信号DOA估计的经典算法进行了分析与比较。

之后重点研究了解决相干信号DOA估计的前向空间平滑算法和前后向空间平滑算法。

最后通过MATLAB仿真验证了以上算法的有效性。

关键词:相干信号DOA估计；阵列信号处理;空间平滑。

i
Abstract
The DOA(Direction-of-Arrival) estimation of coherent signals is a research hotspot and important research subject of array signal processing, it is also one of the basic task of radar, sonar communication areas and so on. In order to solve the problem of the DOA estimation of coherent signals, researchers all over the world proposed a lot of algorithms, all the algorithms can be departed two types: he first type can decrease the relativity of coherent signals by sacrificing the number of arrays, that is preprocessing the coherent signals then estimate the precise DOA with the common algorithms such as the spatial smoothing, forward backward prediction projection and data matrix decomposition algorithm. The other type needn't decrease the aperture of the arrays, which shift the arrays or make use of frequency smoothing to decrease the relativity.
This dissertation put the emphasis on researches of direction-of-arrival estimation algorithms. It first introduces the principles of DOA estimation, and makes analysis and comparison about the classical algorithms of the DOA estimation of incoherent signal. And then, it puts the emphasis on researching to resolve the front space smooth algorithm and front-rear space smooth algorithm of DOA estimation of coherent signals.At last, through MATLAB simulation prove the efficiency of the algorithm.
Keywords: DOA estimation of coherent signals ; Signal Processing; space smooth
ii
目录
1绪论 (1)
1.1课题研究背景及意义 (1)
1.1.1 阵列信号处理 (1)
1.1.2 高分辨波达方向估计 (1)
1.1.3 相干信源DOA估计技术的国内外研究现状 (2)
2阵列信号处理模型 (2)
2.1 空间谱估计的系统结构 (2)
2.2窄带信号源数学模型 (3)
2.3相干信号源数学模型 (5)
3 波达方向估计的算法研究 (6)
3.1 DOA估计的传统法 (6)
3.1.1 延迟－相加法 (6)
3.1.2 Capon最小方差法 (7)
3.2 DOA估计的子空间法 (8)
3.2.1MUSIC算法 (8)
4 相干信号的DOA估计 (12)
iii
4.1 基于解相干的MUSIC算法 (12)
4.2 空间平滑算法 (12)
4.2.1 前向空间平滑法 (12)
4.2.2 前后向空间平滑法 (14)
4.3 计算机仿真实验 (1)
5
5 结论与展望 (17)
参考文献
致谢
iv
相干信号DOA估计的研究
1绪论
1.1课题研究的背景及意义
1.1.1 阵列信号处理
阵列信号处理理论应用十分广泛，涉及到雷达、声纳、通信、射电天文以及医疗诊断等多种领域，是信号处理领域中的一个重要部分。

阵列信号处理是指将多个传感器放置在空间的不同位置而组成的传感器阵列，用传感器阵列来接收空间信号并对接收的信号进行处理。

阵列信号处理的目的是增强期望信号，抑制没有用的干扰和噪声，并提取期望信号的特征及包含的信息。

与传统的单个传感器相比，传感器阵列具有灵活的波束控制、较高的信号增益、极强的干扰抑制以及较高的空间分辨力等优点。

所以近十几年来，阵列信号处理理论得到了飞速的发展，涌现出一大批性能优良的算法。

阵列信号处理的目的是进行空域滤波，通过滤除不希望的干扰和噪声，同时增强期望信号的功率来达到提高系统输出信噪比的目的。

所以阵列信号处理中关键的技术之一是波束形成技术。

将天线阵列的方向图通过一定的加权，使得在期望信号方向的增益恒定，而系统总的输出功率最小，从而完成空域滤波的目的。

自适应波束形成算法可以根据信号环境的变化，来自适应调整各阵元的加权因子，达到增强信号同时抑制干扰的目的。

而对于阵列信号处理中另一个关键技术是对波达方向的估计算法研究。

空间参考方式的自适应波束形成算法中必须知道一些信号的空间信息，比如期望信号和干扰的来波方向(DOA)，信号和干扰的个数等。

波达方向估计大致可以分为四类: 传统法、子空间法、最大似然法以及将谐波恢复法和子空间法结合起来的综合法。

由于子空间算法可以突破瑞利限，达到较高的分辨率，所以近年来涌现出很多基于子空间类的高分辨测向算法，比较著名的包括MUSIC, ESPRIT等算法。

现在高分辨的阵列测向算法在阵列信号处理中依然是一个非常重要的研究领域。

基于空间参考信号的自适应波束形成算法包括最大信噪比算法(MaxSNR)、最小均方误差算法(MMSE)和线性约束最小方差算法(LCMV)等。

基于空间参考的波束形成算法的性能取决于对信号的波达方向的正确估计。

如果估计存在误差，则该方法的空域滤波性能将急剧下降。

所以对存在指向误差时候的稳健自适应波束形成算法，特别是对波达方向的估计算法的研究将很有意义。

1.1.2 高分辨波达方向估计
信息处理与数字信号处理是信息科学中近十几年发展最为讯速的学科之一，其中波达方向估计算法研究属阵列信号处理中的关键问题，主要研究内容是如何从背景噪声中估计信号的方位。

这个领域的研究经历了十分漫长的发展过程，其中最为迫切需要解决的是基阵的分辨能力问题。

经典方位估计利用波束系统来实现，但它的分辨率很低，随着现代谱分析理论的发展，高分辨方位估计技术逐渐成为研究的重点。

高分辨技术的发展过程经历了若干重大突破，其中最具代表性的是信号子空间类算法和子
1
空间旋转法的出现。

为获取高分辨力而付出的代价是复杂且庞大的数学运算，但是随着电子元件的不断发展以及通信硬件平台的更新换代，己经有可能在较短的时间内完成高分辨算法中巨大的运算量，从而使这些算法有可能在实际中找到应用场所。

1.1.3 相干信源DOA估计技术的国内外研究现状
相干信号源的存在，造成信号子空间的向量散发到噪声子空间去，导致DOA估计错误。

解决思路围绕着如何补偿由于相干引起的秩亏缺。

为了解决相干信源的DOA估计问题，人们提出了很多算法，这些算法一般可分为两类:一类是降维类处理算法，主要有空间平滑类算法和矩阵重构类算法等。

另一类算法是非降维类处理算法，即在不损失阵列有效孔径的情况下达到解相干的目的。

包括频域平滑算法等。

这类算法与降维算法相比最大的优点在于阵列的孔径没有损失，但这类算法往往针对的是特定环境，如宽带信号、非等距阵列、移动阵列等。

1985年，T J Shan和Wax M提出了空间平滑技术，它作为一种传统的相干信源DOA估计技术被广泛应用到相干信号处理中。

空间平滑算法的基本思想是将等距线阵分成若干个相互重叠的子阵列，各个子阵列的阵列流型相同，通过对子阵的协方差矩阵进行平均来实现去相干的目的，但它属于降维类处理技术，是以牺牲有效阵列孔径来实现信号源解相干的，前向空间平滑算法可以估计出M/2 （M为等距线阵中阵元的个数)个相干信号源。

1989年，Pillai S U 对这种算法做了战略性的改进，在前向空间平滑的基础上提出了后向平滑的概念，并进而提出了前后向空间平滑的的概念问，前后向空间平滑算法可以估计出2M / 3个相干信号源，降低了阵列孔径的损失程度。

继Pillai S U之后很多学者针对前后向空间平滑技术做了改进，最有代表性的是在1991年Weixiu Du等人提出的改进的前后向空间平滑算法。

较前人提出的前向空间平滑算法或前后向空间平滑算法而言，改进的前后向空间平滑算法不仅考虑到各个子阵的自相关信息，而且首次把各个子阵间的互相关信息考虑进来，这在处理相干信号DOA估计方面是一次大的突破。

这些方法分别从不同程度上减小了阵列有效孔径的损失。

至此，我们看到的空间平滑算法都是应用于均匀线阵的，而在圆阵中则无法实现。

1994年Wax M等人提出了一种把阵元空间的均匀圆阵转换成模式空间的虚拟均匀线阵，从而进行空间平滑去相干处理，开辟了历史上用圆阵去相干的新纪元。

1996年，KUNDU. D提出了一种修正的MUSIC算法，其实质就是前后向空间平滑算法中取子阵的长度与阵元数相同的特殊情况。

这种算法的最大优点在于没有减少阵列的有效孔径，在大多数情况下，它的估计性能要优于前后向空间平滑算法。

国内学者也对相干信源的DOA估计问题做了一些研究，其中，高世伟、保铮等早在1989年就提出了利用数据矩阵分解实现对空间相干源的超分辨处理方法。

叶中付于1997年提出了空间平滑差分法，该算法是通过重复利用接收阵列输出的数据，对不相关信号源和相关信号源采用常规超分辨算法估计，对相关源和相干源的空间谱采用空间平滑差分方法估计，从而兼顾了不相关信号源和相干信号源，增加了可估计信号源数目。

王布宏、王永良、陈辉等提出了加权空间平滑法来处理相干信号源，该算法不需要对阵列协方差矩阵进行特征分解，经过遗传迭代便可获得理想的方位估计精确。

同时基于矩阵分解的思想，提出了将前向空间平滑的数据协方差矩阵和后向空间平滑的数据协方差矩阵一起形成新的非正方形矩阵，然后利用奇异值分解来解相干的DOA估计算法。

相干信号源在实际生活中是普遍存在的，通信中的多径干扰问题就是其中之一，所以，相干信源的DOA估计算法研究有着重要的现实意义。

2阵列信号处理模型
2.1空间谱估计的系统结构
2
3
空间谱估计是利用空间阵列实现空间信号的参数估计的一项专门技术。

整个空间谱估计系统应该由三个部分组成:空间信号入射、空间阵列接收及参数估计。

相应地可分为三个空间，即目标空间、观测空间、估计空间这就是说空间谱估计系统由这三个空间组成，如图2-1所示。

图2-1 空间谱估计的系统结构
对于上述的系统结构，做以下几点说明。

(1)目标空间是一个由信号源参数与复杂环境参数张成的空间。

对于空间谱估计系统，就是
利用特定的一些方法从这个复杂的目标空间中估计出信号的未知参数。

(2)观测空间是利用空间按一定方式排列的阵元，来接收目标空间的辐射信号。

由于环境的复杂性，所以接收数据中包含信号特征(方位、距离)和空间环境特征(噪声、干扰)。

这里的观测空间为一个多维空间，即系统的接收数据是由多个通道组成，而传统的时域处理方法只有一个通道。

特别指出的是:通道与阵元并不是一一对应，通道是由空间的一个、几个或所有阵元合成的，空间某个特定的阵元也可包含在不同的通道内。

2.2 窄带信号源数学模型
阵列信号处理中窄带信号含义，是指信号的带宽B 远小于信号波前跨越阵列最大口径所需要的时间，即信号等效时宽1/B 远大于延迟，以保证所有阵元“几乎同时”接收到该信号波前。

由此得到窄带信号的条件为:
0×1B L f λ
<< (2-1)
其中，L 为阵列最大口径，0f 和λ分别为信号中心频率和该频率对应的波长。

考虑N 个远
场的窄带信号入射到空间某阵列上，其中阵列天线由M 个阵元组成，这里假设阵元数等于通道数，即各阵元接收到信号后经各自的传输信道传送到处理器，也就是说处理接收来自M 个通道的数据。

在信号源是窄带的假设下，信号可以用如下的复包络形式表示:
()0()()()j w t t i i s t u t e φ+=
()()()()()0j w t t i i s t u t e τφτττ-+--=- (2-2)
式中，()i u t 是接收信号的幅度，()t φ是接收信号的相位。

且满足0
02w f π=。

假设τ 为
信号的延迟时间。

在窄带远场信号源的假设下，有
()()i i u t u t τ-≈ ()()t t φτφ-≈ (2-3)
4 根据上式我们有
()0
()jw i i s t s t e ττ--≈ i=1,2,…,N (2-4) 上式表明，对于窄带信号()i s t ，当延迟远小于带宽的倒数时，延迟对信号的作用相当于是信号的复包络()i u t 在阵元上的时间延迟转化为相移，而幅度的变化可以忽略不计。

这一结论在阵列信号处理中具有十分重要的作用。

信号的传输情况是及其复杂的，其严格的数学模型的建立需要有物理环境的完整描述。

但
这种做法不利于信号算法的设计。

为了得到一个比较有用的参数化模型，必须简化有关波形传输的假设。

为了简化模型，我们有一下假设:
(1)接收阵元位于信号源的远场，可近似认为接收到的信号为平面波。

(2)传输介质是无损的、线性的、非扩散的、均匀的且各向同性。

(3)接收阵元的几何尺寸远小于入射平面波的波长，且阵元为无指向性，可近似认为接收阵
元是原点。

(4)接收阵列的阵元间距远大于阵元尺寸，各阵元间的相互影响可以忽略不计。

对于满足上面假设条件的均匀直线阵，如图2－2所示。

对于接收远场中一平稳信号为()s t ，假设第一个阵元接收的数据矢量为:
图2-2 均匀直线阵列结构
()()()11x t s t n t =+ (2-5)
那么第二个阵元在同一时刻接收到该信号的表达式为：
()()()()()2sin 21122i j d x t x t s t e
n t πθλτ-=-=+ (2-6) 即()12sin i d c
θτ=。

同理，可得其它各阵元的接收信号，将这些信号排列成一个列矢量，有:
()()()()()()()()()()()()112sin 2212sin .........i i d j d
j M M M s t x t n t x t s t e n t x t n t s t e πθλ
πθλ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
()()()()()()()12sin 212sin 1......
i i d j d j M M n t n t e s t n t e πθλπθλ---⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦ (2-7) 对于N 个信号源，假设入射方向分别为[]12,,...,N θθθ，那么上式变为:
()()()
()
()()()()
()()()()()()()()1212112sin 2sin 2sin 2212sin 12sin 12sin 11...
1
............
.........
...N N d d
d
j j j d
d
d
j M j M j M N M s t n t s t n t e
e
e
X t s t n t e e
e πθ
π
θπθλλ
λπθπ
θπθλλ
λ
---------⎡
⎤
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣
⎦
(2-8)
将上式写成矢量形式，为: ()()()X t AS t N t =+ (2-9)
式中，()()
()
()()()()
()()12122sin 2sin 2sin 12sin 12sin 12sin 11...
1
........
...
....
...N N d d
d
j j j d
d
d
j M j M j M e
e
e
A e e
e πθ
π
θπθλλ
λπθπ
θπθλλ
λ
---------⎡
⎤⎢⎥⎢⎥⎢
⎥
⎢
⎥
=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
为空间阵列流行矩阵(导向矢量阵)。

2.3
相干信号源数学模型
当考虑多个信号时，这些信号之间的关系共有三种可能:不相关(即独立)、相关、相干。

对于两个平稳信号()i s t ，()k s t ，定义它们的相关系数为:
()()
*
ik E s t s t ρ⎡⎤=
(2-10)
由Schwartz 不等式可知，1ik ρ≤，因此，信号之间的相关性定义如下:
1. 当 0ik ρ=时，()i s t 和()k s t 独立
2. 当01ik ρ<<时，()i s t 和()k s t 相关
3. 当1ik ρ=时，()i s t 和()k s t 相干 (2-11)
由上面的定义可知，当信号源相干时其数学表达式为:相干信号源间只相差一个复常数，假设有N 个相干信源，即
()()0i i s t s t α= 1,2,...,i N = (2-12)
这里()0s t 可以称为生成信源，因为它生成了入射到阵列上的N 个相干信号源。

带入式(2-9 )，可得相干信号源的数学模型:
()()()()()
1200...N X t A s t N t A s t N t αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(2-13)
式中，α是由一系列复常数组成的N ×1维矢量。

3 波达方向估计的算法研究
本章介绍使用天线阵列估计无线信号波达方向(亦称波达角)的一些算法。

自适应阵列在定
位应用中十分重要，FCC(联邦通信委员会)最近要求2001年前在无线紧急呼叫方面要达到125m 的定位精度，因此，确定无线系统中RF 信号的波达方向引起了人们浓厚的兴趣。

基于阵列的波达方向(DOA)估计方法可分为四大类:传统法(conventional technique)、子空间法(subspace based technique)、最大似然法(maximum likelihood technique)以及将特性恢复法和子空间法结合起来的综合法(integrated technique)。

本论文讨论的算法主要基于传统的MUSIC 或ESPRIT 算法来实现信号的DOA 估计。

传统法基于经典波束形成方法，需要大量的阵元才能获得高分辨率。

子空间法利用输入数据矩阵的特征结构，是高分辨率的次最优方法。

最大似然法是比较合适方案，即使在信噪比很低的环境下也能获得良好的性能，但计算量通常很大。

综合法是CDMA 一种很有希望的方法，利用特性恢复方案区分多个信号，估计空间特征，进而采用子空间法确定波达方向。

3.1 DOA 估计的传统算法
波达方向估计的传统法基于波束形成和零陷导引的概念，并未利用接收信号向量u(k)的模型或信号和噪声的统计模型。

阵列流形己知后，阵列就可以进行电子导引。

这里的DOA 估计法可以利用电子导引把波束调节到任意方向，寻找输出功率的峰值。

这里讨论的传统方法是延迟－相加法(经典波束形成器)和Capon 最小方差法。

3.1.1 延迟－相加法
延迟－相加法，又称经典波束形成器法或傅里叶法，是DOA 估计最简单的方法之一。

其
输出信号y(k)是传感器阵元输出的线性加权之和，即
()()H y k w u k = (3-1)
传统波束形成器总的输出功率可以表示为
22()()()()H H H H cbf uu P E y k E w u k w E u k u k w w R w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦
(3-2) 式中uu R 定义为阵列输入数据的自相关矩阵。

式(3-2)在传统DOA 估计算法中的地位举足轻重。

自相关矩阵uu R ，包含了阵列响应向量和信号自身的有用信息，仔细分析uu R 。

，可以估计出信号的参数。

考察一个以角度0φ入射到阵列上的信号()s k 。

根据窄带输入数据模型，波束形成器的输出功率可以表示成
()()()
22222000()()()()()()H H H cbf s n P E w u k E w a s k n k w a φφφσσ⎡⎤⎡⎤==+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
（3-3） 式中0()a φ是关于DOA 角度的导引向量，()n k 是阵列输入端的噪声向量，2
()s E s k σ⎡⎤=⎣⎦
和2
()n E n k σ⎡⎤=⎣⎦分别是信号和噪声的功率。

从式(3-3)可以清楚看到，当0()w a φ=时，输出功率最
大。

这是由于0()w a φ=在传感元处将来自0φ的信号分量的相位对齐，使它们良性合并。

在DOA 估计的经典波束形成方法中，波束离散地在感兴趣的扇形区域扫描，对不同的φ形成不同的权值()w a φ=，并测量输出功率。

利用式(3-3)，经典波束形成器的输出功率与波达方向的关系由下式给出:
()()()H H
cbf uu
uu P w R w a R a φφφ== （3-4） 因此，如果我们对输入自相关矩阵进行估计，知道对所有感兴趣的导引向量(通过校准或分
析计算)，就可能估计出输出功率关于波达角的函数。

输出功率关于波达角的函数通常称为空间谱(spatial spectrum)。

很明显，通过锁定式(3-4)定义的空间谱的峰值就可以估计出波达方向。

延迟－相加法有很多缺点。

当存在来自多个方向信源的信号时，此方法要受到波束宽度和旁瓣高度的限制，因为大角度范围的信号会影响观测方向的平均功率。

因此，这种方法的分辨率较低。

尽管可以通过额外增加传感元来提高分辨率，但增加传感元的同时也增加了接收机数和校准数据（即()a φ）的存储需求。

3.1.2 Capon 最小方差法
延迟－相加法基于这样一个假设，即如果把最强的波束指向某个方向，将获得来自该方向功率的最优估计。

换句话说，阵列所有可利用的自由度都用来在所需的观测方向上形成一个波束。

当只有一个信号存在时，该方法是可行的。

但存在不只一个信号时，阵列输出功率将包括期望信号和来自其他方向非期望信号的贡献。

Capon 最小方差法试图克服延迟－相加法分辨率差的缺点。

此方法使用一些自由度在期望观测方向形成一个波束，同时利用剩余的自由度在干扰信号方向形成零陷。

此方法使输出功率最小，达到使非期望干扰的贡献最小的目的，同时增益在观测方向保持为常数，通常为1。

即
2
min ()min H uu w
w E y k w R w ⎡⎤=⎣⎦ 约束条件
0()1H w a φ= (3-5)
求解式(3-5)而得到的权向量通常称为最小方差无畸变响应(minimum variance distortionless
response, MVDR)波束形成器权值，因为对于某个观测方向，它使输出信号的方差(平均功率)最小，又能使来自观测方向的信号无畸变地通过(增益为1，相移为0)。

式(3-5)是一个约束优化问题，可以利用拉格朗日乘子法求解。

这种方法将约束优化问题转化为非约束问题，因此可以使用最小二乘法求解。

利用拉格朗日乘子，可以证明式(3-5)的权向量解为:
11
()()()
uu H
uu R a w a R a φφφ--= (3-6) 利用Capon 波束形成方法，阵列输出功率关于波达方向的函数可由Capon 空间谱得到:
1
1()()()Capon H uu P a R a φφφ-= (3-7) 计算和画出在全部φ范围上的Capon 谱，就可以通过寻找谱上的峰值来估计出DOA 。

尽管不是最大似然(ML)估计器，Capon 法有时也被称为ML 估计器，因为在具体任意空间特性的高斯白噪声存在的情况下，对于任意的φ，()Capon P φ是来自方向φ的信号功率的最大似然估计。

尽管与延迟－相加法相比，Capon 法能提供更佳的分辨率，但Capon 法也有很多缺点。

如
果存在与感兴趣信号相关的其他信号，Capon 法就不再起作用，因为它在减小处理器输出功率时无意中利用了这种相关性，而没有为其形成零陷。

换句话说，在使输出功率达到最小的过程中，相关分量可能会恶性合并。

而且Capon 法需要对矩阵求逆运算，这对大型阵列是巨大的耗费。

3.2 DOA 估计的子空间法
尽管Capon 最小方差法这样的基于波束形成的经典方法通常很有效，也常被用到，但这些方法在分辨率方面有本质上的局限性。

这些局限大多数是由于没有利用输入信号模型的结构。

Schmidt, Bienvenu 和Kopp 最早在任意形式的传感器阵列中采用更准确的数据模型结构。

Schmidt 在不考虑噪声的情况下导出了DOA 估计问题的完全几何解，并将这个几何解推广，得到存在噪声时的合理近似解。

Schmidt 提出的方法称为多重信号分类(MUSIC)算法，自诞生之日起就得到了广泛的研究。

MUSIC 所根据的几何概念，也是一类范围更广的基于子空间((Subspace-based)算法的基础。

除MUSIC 外，基于子空间算法的形成还主要得益于Roy 等提出的借助旋转不变技术的信号参数估计(ESPRIT)和Kumaresan, Tufts 提出的最小范数法。

3.2.1 MUSIC 算法
Schmidt 在1979年提出的MUSIC 算法是基于阵列协方差矩阵待征分解，利用信号子空间
和噪声子空间的正交性对信号波达方向进行超分辨波估计的一种方法。

该算法发挥其超分辨波达方向估计性能的前提是信号源数目的准确估计。

MUSCI 算法首先对阵列协方差矩阵进行特征分解，然后根据提供的信源数目确定噪声子空间，利用信号子空间和噪声子空间的正交性在方向域内搜索来确定波达方向。

MUSIC 算法虽然具有很高的分辨能力，但它需要十分精确的阵列校准。

MUSIC 算法己经得到实现，性能也已得到了实验验证。

MUSIC 算法是以几何观点考察信号参数估计的问题。

根据窄带数据模型，如果在D 个信号入射到阵列上，则M 元阵列接收到的输入数据向量可以表示为D 个入射波形与噪声的线性组合。

… …
… … …
即:
1
()()()()D i
i
i u t a s t n t φ-==
+∑ (3-8)
[]00111().()()()()()()..()D D s t u t a a n t As t n t s t φφφ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
－…a() (3-9) 式中，[]011()()()()T D s t s t s t s t -=…是入射信号向量。

[]011()()()()D n t n t n t n t -=
…是噪声向
量，()j a φ是对应于第j 个信号的波达方向的阵列导引向量。

为简单起见，今后我们省略u ， s 和n 中的时间变量。

利用几何描述，可以把接收向量u 和导引向量()j a φ看作M 维空间的向量。

由式(3-9)可知，u 是阵列导引向量的某个组合，系数为011,,,D s s s -…。

对于上面的数据模型，输入协方差矩阵
uu R 可以表示为
H H H H
uu R E uu AE ss A E nn ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ (3-10)
2H uu ss n R AR A I σ=+ (3-11)
式中，ss R 是信号相关矩阵(signal correlation matrix) H E ss ⎡⎤⎣⎦。

uu R 的特征值为
{}01,...,M λλ-，使得
0uu i R I λ-= (3-12)
利用式(3-11)，我们可以把它改写为
()22
0H H ss n i ss i n AR A I I AR A I σλλσ+-=--= (3-13)
因此H ss AR A 的特征值(eigenvalues) i v 为
2
i i n v λσ=- (3-14)
因此A 是由线性独立的导引向量构成的，所以是列满秩的，信号相关矩阵ss R 也是非奇异的，只要入射信号不是高度相关的。

列满秩的A 和非奇异的ss R 可以保证，在入射信号数D 小于阵元数M 时，M ×M 的矩阵
H ss AR A 是半正定的，且秩为D 。

由线性代数的基本知识可知，这意味着H ss AR A 的特征值i v 中，有M-D 个为零。

由式(3-14)可知，uu R 的特征值中有M-D 个等于噪声方差2
n σ。

然后我们寻找uu R 的特征值，使0λ是最大
特征值，1M λ-是最小特征值，因此
2
01,...,M λλσ-=ｎ (3-15)
但实际中是使用有限个数据样本估计自相关矩阵uu R 的，所有对应于噪声功率的特征值并不相同，而是一组差别不大的值。

随着用以估计uu R 的样本数的增加，表征它们离散程度的方差逐渐减小，它们将会转变为一组很接近的值。

最小特征值的重数K 一旦确定，利用M=D+K 的关
系，就可确定信号的估计个数D 。

所以信号的估计个数由下式给出
D=M-K (3-16) 关于特征值i λ的特征向量为ｉｑ，满足
()0uu i R I λ-=ｉｑ (3-17)
对于与M-D 个最小特征值相关的特征向量，我们有
()222
0H uu n i ss i n n R I q AR A q I I σσσ-=+-= (3-18)
0H ss i AR A q = (3-19)
因为A 满秩，ss R 非奇异，故有
0H i A q = (3-20)
或。