高三数学一轮复习 第2章 第2课时 函数的单调性与最值 文 新人教版

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教材梳理 基础自测
一、函数的单调性
[自测 4] 已知函数 f(x)为 R 上的减函数，若 a<b，则 f(a)__________f(b)(填 “>”或“<”)，若 f(1－m)>f(m)，则实数 m 的取值范围是__________． > (12，＋∞)
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教材梳理 基础自测
二、函数的最值
前提 设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足
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考点突破 题型透析
考点一 确定函数的单调性(区间)
4．(2015·合肥检测)函数 y＝|x|(1－x)在区间 A 上是增函数，那么区间 A 是
()
A．(－∞，0) C．[0，＋∞)
B.0，12 D.12，＋∞
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考点突破 题型透析
考点一 确定函数的单调性(区间)
选 B.(数形结合法)y＝|x|(1－x) x1－x，x≥0， －x2＋x，x≥0，
高三总复习.数学（文）
第二章 基本初等函数、导数及其应用 第2课时 函数的单调性与最值
考
考点一 确定函数的单调性(区间)
点
考点二 利用单调性解不等式或求参数
考点三 利用函数的单调性求最值
■失分警示•系列
■应考迷津•展示
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考纲·展示
1.用定义法判断证明常见初等函数的单调性． 2.求基本初等函数的单调区间． 3.根据函数单调性求解指定区间内的不等式或参数范围． 4.利用单调性求函数最值．
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考点突破 题型透析
考点一 确定函数的单调性(区间)
∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0. ∴当 a>0 时，f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)， ∴函数 y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增． 同理当 a<0 时，f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)， ∴函数 y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．
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考点一 确定函数的单调性(区间)
对于复杂的函数或抽象函数，一般可利用定义法.其步 骤：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得 结论.对于抽象函数，作差过程中要构造函数值，如本题. 构造fx2＝fx1·xx21，便可用上条件.
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考点突破 题型透析
考点一 确定函数的单调性(区间)
A
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一、函数的单调性
[自测 3] (2015·成都模拟)设定义在[－1,7]上的函数 y＝ f(x)的图象如图所示，则关于函数 y＝f1x的单调区间表述 正确的是( ) A．在[－1,1]上单调递减 B．在(0,1]上单调递减，在[1,3)上单调递增 C．在[5,7]上单调递减 D．在[3,5]上单调递增 B
①对于任意 x∈I，都有 f(x)≤M ；①对于任意 x∈I，都有f(x)≥M ；
条件
②存在 x0∈I，使得f(x0)＝M
②存在 x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M 为最大值
M 为最小值
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二、函数的最值
[自测 5] (教材改编)f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的最小值为__________，最 大值为__________． －1 8
上是增函数
上是减函数
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一、函数的单调性
2.若函数 y＝f(x)在区间 D 上是 增函数或减函数，则称函数 y＝f(x)在这一 区间上具有(严格的)单调性， 区间D 叫做 y＝f(x)的单调区间．
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一、函数的单调性
[自测 1] 下列函数 f(x)中满足“对任意 x1，x2∈(0，＋∞)，当 x1<x2 时，
都有 f(x1)>f(x2)”的是( )
A．f(x)＝1x
B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex
D．f(x)＝ln(x＋1)
A
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一、函数的单调性
[自测 2] 函数 y＝x2＋2x－3(x>0)的单调增区间是( )
A．(0，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－∞，－3]
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二、函数的最值
[ 自 测 6]
函数
f(x)
＝
1
－
1 x＋1
在
[1,2]
上
的
最
大
值
和
最
小
值
分
别
是
__________．
23、12
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百度文库
考点突破 题型透析
考点一 确定函数的单调性(区间)
{方法点1} 定义法
根据增减函数的定义推证．
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考点突破 题型透析
考点一 确定函数的单调性(区间)
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考点一 确定函数的单调性(区间)
2．已知定义在(0，＋∞)上的函数 f(x)，满足 f(xy)＝f(x)＋f(y)，x>1 时，f(x)<0， 判断函数 f(x)的单调性． 设 x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1<x2，则xx21>1， 所以 f(x2)－f(x1)＝fx1·xx21－f(x1) ＝f(x1)＋fxx21－f(x1)＝fxx21<0. 所以函数 f(x)在定义域(0，＋∞)上是减函数．
{方法点2} 图象法
利用函数图象在某个区间上的上升与下降趋势．
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考点一 确定函数的单调性(区间)
3．函数 f(x)＝lg x2 的单调递减区间是__________． 把函数写成分段函数的形式，然后画出函数图象，写出 单调递减区间． 函数 f(x)是定义域为x|x≠0的偶函数， 且 f(x)＝lg x2＝22llggx－，xx，>0x，<0. 函数大致图象如图所示， 所以函数的单调递减区间是(－∞，0)． (－∞，0)
1．判断函数 f(x)＝x＋ax1在(－1，＋∞)上的单调性，并证明． 当 a>0 时，函数 y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增． 当 a<0 时，函数 y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减． 证明如下： 设－1<x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1a＋x11－x2a＋x21 ＝ax1x2x＋1＋11－xa2x＋2x11＋1＝x1a＋x11－xx2＋2 1
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一、函数的单调性
1．单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某
个区间 D 上的任意两个自变量 x1，x2 定义 当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2) ，当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2) ，
那么就说函数 f(x)在区间 D 那么就说函数 f(x)在区间 D