非线性Volterra积分方程

一类第二种非线性Volterra 积分方程

积分数值解方法

1前言

微分方程和积分方程都是描述物理问题的重要数学工具，各有优点.相对于某种情况来说，对于某种物理数学问题，积分方程对于问题的解决比微分方程更加有优势，使对问题的研究更加趋于简单化，在数学上，利用积分形式讨论存在性、唯一性往往比较方便，结果也比较完美,所以研究积分方程便得越来越有用,日益受到重视.

积分方程的发展，始终是与数学物理问题的研究息息相关.一般认为，从积分发展的源头可以追溯到国外的数学家克莱茵的著作《古今数学思想》，该书是被认为第一个清醒的认为应用积分方程求解的是Abel.Abel 分别于1833年和1826年发表了两篇有关积分方程的文章，但其正式的名称却是由数学家du Bois-Raymond 首次提出的，把该问题的研究正式命名为积分方程。所以最早研究积分方程的是Abel,他在1823年从力学问题时首先引出了积分方程，并用两种方法求出了它的解,第一的积分方程便是以Abel 命名的方程.该方程的形式为：

⎰

=-b

a

a

x f dt t x t )()()

(ϕ,该方程称为广义Abel 方程,式中a 的值在(0,1)之间.当a=

2

1

时，该式子便成为)()

(x f dt t

x x x

a

=-⎰

ϕ.在此之前，Laplace 于1782年所提出的求Laplace

反变换问题，当时这个问题就要求解一个积分方程.但是Fourier 其实已经求出了一类积分方程的反变换，这就说明在早些时候积分方程就已经在专业性很针对的情况下得到了研究，实际上也说明了Fourier 在研究反变换问题是就相当于解出

了一类积分方程.积分方程的形成基础是有两位数学家Fredholm和Volterra奠定的，积分方程主要是研究两类相关的方程，由于这两位数学家的突出贡献，所以这两个方程被命名为Fredholm方程和Volterra方程。后来又有德国数学家D.Hilbert进行了重要的研究，并作出了突出的贡献，由于D.Hilbert领头科学家的研究，所以掀起了一阵研究积分方程的热潮，并出现了很多重要的成果，后来该理论又推广到非线性部分。我国在60年代前，积分方程这部分的理论介绍和相关书本主要靠翻译苏联的相关书籍，那时研究的积分方程基本是一种模式，即用古典的方法来研究相关的积分方程问题，这样使得问题的研究变得繁琐、复杂，在内容方面比较单一、狭隘，甚至有些理论故意把积分方程的研究趋向于复杂化。随着数学研究的高速发展，特别是积分方程近年来的丰富发展，如此单一、刻板的解法已经不能跟上数学研究时代的步伐。在九十年代我国的数学专家路见可、钟寿国出版了《积分方程论》，该书选择2L空间来讨论古典积分方程，并结合泛函分析的算子理论来分析积分方程的相关问题。最近出版的比较适合一般读者阅览的积分方程的书有李星出版的《积分方程》，该书从最简单的方法分析研究积分方程的理论问题，并给日后打算研究泛函的读者提供了基本的实例。由于现代的计算机技术高速发展，对于一些比较复杂，难以求解的非线性积分方程逐渐采用了比较有效的数值解，常用的方法有逐次逼近法、Adomian分解法、配置法、haar小波方法、小波-Galerkin方法、泰勒展开等等一些方法.

现在积分方程的应用广泛，很多问题都可以引出积分方程，并可用积分方程来解决.像弹性弦问题、线性系统响应问题、人口增长问题、等时曲线问题等等.还有在空气动力学中研究分子运动，对于非均匀流体中悬浮晶粒的布朗位移，导致了以柯尔莫哥洛夫命名的一类非线性积分方程.在确定飞机机翼方面的研究

中，对于气流、升力等问题的计算中也引出了积分方程的研究.现在很多积分方程方面的研究都取得了不错的进展.

2、预备知识

积分方程是一个在积分号下出现待求的函数的方程，称作积分方程。含一个未

知函数的线性积分方程的一般形式为：⎰=-b

a

x f dy y y x k x )()(),()(ϕλϕ []b a x ,∈

[1]

我们把积分号中的上下限为常数的积分方程称为Fredholm 方程。其中)(x f 、

),(y x k 是已知函数，)(y ϕ是未知所要求的函数。一般称)(x f 为自由项 ，)

,(y x k 称为积分方程的核，而λ是积分方程的一个参数，方程的解与λ相关

而与Fredholm 对应的是Volterra 积分方程，与Fredholm 的一个不同点是Volterra 积分号下的上下限中的上限是一个变量而不是一个常数。本论文我们主要研究的是非线性的Volterra 积分方程。非线性 Volterra 积分方程的形式为

⎰=-x

a

x f dy y F y x k x )()((),()(）ϕλϕ []b a x ,∈ 。同样，)(y ϕ为所求。

积分方程的解法： 一、

Fredholm 积分方程一般的解法有：有限差分逼近法、逐次逼近法及解核、

泛函修正平均法、Fredholm 积分方程退化核解法、退化核近似代替法、待定系数法。 二、

Volterra 积分方程的常用解法：有限差分逼近法、逐次逼近法、转化为常

微分方程的初值问题、第二类Volterra 积分方程的数值积分解法。 第二类线性volterra 积分方程与第二类线性Fredholm 积分方程的一个很大的差别是volterra 方程的解不依赖于参数λ的值，即对于任何的参数λ该方程都有解，而且解具有唯一性。具体的证明过程参见[]，所以得出定理：如果核),(y x k 与自

由函数 ()x f 在Volterra 积分方程的定域是连续函数，那么无论参数λ取何值该方程都有解，而且解具有唯一性。

3、Volterra 积分方程

3.1第一类Volterra 积分方程

3.1.1 第一类线性Volterra 积分方程 形如：⎰=x

a x f dy y y x k )()(),(ϕ

其中函数),(y x k 、)(x f 为已知的，)(x ϕ为所要求的未知函数，这样的方程叫第一类线性Volterra 积分方程.一般来说第一类积分方程由于其不适定性，研究其解跟第二类积分方程有很大的不同，而且比较复杂，在此主要简单介绍一下.

3.1.2 第一类Volteraa 积分方程的一种解法

在某种情况下第一类Volterra 积分方程通常可以化为第二类volterra 积分方程的解，一般对方程两边求导，当方程的),(y x k 、)(x f 可微，且0),(≠y x k ,就把第

一类该方程化为第二类。化为第二类的形式为：

)

,()

()(),(),()(y x k x f dy y y x k y x k x x

a

x '='+⎰ϕϕ,这样就可以用第二类积分方程的解法来求解.对于一种特殊的第一类Volterra 积分方程：Abel 方程，Abel 方程是Volterra 积分方程的一种特殊情况，其形式为：

)()

()

(x f dy y x y x

a

a

=-⎰

ϕ

其中当y x =时，该方程出现弱奇性。其解可根据定理：假设Abel 积分方程

)()()

(x f dy y x y x

a

a

=-⎰

ϕ的自由项)(x f 是连续可微的，而且0)(=a f ，则它有唯一的解.即 dy y x y f dx d a

x x a a ⎰---

=1)

()

(sin )(π

πϕ

3.2第二类volterra 积分方程