第十一章动荷载交变应力

Fy， 0 2FN qstl 0
求得
1 FN 2 qstl
FN qst
F N
(b)
A
B
吊索的静应力为
FN qstl
A 2A
故得吊索的动应力为
d
Kd
(1
a) g
qstl 2A
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第11章 动荷载 ·交变荷载
d
Kd
(1
a) g
qstl 2A
由型钢表查得 qst=20.5kg/m=(20.5N/m)g及已知数据 代入上式，即得
可以略去不计，试求轴内最大动切应力d,max 。
解：飞轮的惯性力矩为
n
d
M d I0
(1)
A
(a)
式中，I0 为飞轮的转动惯量， 为角加速度。
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第11章 动荷载 ·交变荷载
在掣动时，若为匀减速旋转，则 ，
t
而 2，πn故
60
代 入π式n (1)，得
设重量为P的重物，从高度h自由落下，冲击到等截
面直杆AB的B端。杆AB长度为l ，横截面面积为A。
A
A
A
P
l h
B
(a)
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Fd
P
Δd
B (b)
பைடு நூலகம்
Δst
B
(c)
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第11章 动荷载 ·交变荷载
则当冲击物速度降为零时，杆AB发生最大伸长d ，
则冲击物减少的势能为
A
30t
Md
I
0
(
πn 30t
)
(2)
沿与 相反的转向，将 Md 作
用于轴上 （图b），得到一个
na
假想的平衡力偶系。可得轴横 A
截面上的扭矩 Td 为
(b)
Td
Md
I0πn 30t
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(3)
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B Md
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第11章 动荷载 ·交变荷载
轴的最大动切应力d,max 为
假设：1.冲击物变形与回弹可忽略。 2.AB杆质量可忽略。 3.冲击过程的能量耗散可忽略。
计算采用能量守恒定律
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第11章 动荷载 ·交变荷载
冲击物在冲击过程中减少的动能 Ek 和势能Ep 等于
被冲击构件所增加的应变能 Vd ，即 Ek Ep Vεd
(a)
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5
第11章 动荷载 ·交变荷载
§11.2 构件有加速度时动应力计算
计算采用动静法
在构件运动的某一时刻，将分布惯性力加在构件上， 使原来作用在构件上的外力和惯性力假想地组成平衡 力系，然后按静荷作用下的问题来处理。
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第11章 动荷载 ·交变荷载
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2
第11章 动荷载 ·交变荷载
§11.1
概述
动荷载：随时间作急剧变化的荷载以及作加速运动或 转动的系统中构件的惯性力。
交变应力：随时间作重复交替变化的应力。
构件在交变应力作用下，其内部裂纹形成并扩展， 直至构件断裂的过程称为疲劳。构件破坏所经历的 应力循环次数称为疲劳寿命。
2
A 2 D
2
将环沿一直径假想地截分为二，并研 究留下的半环（图c)的平衡。半环上 的惯性力沿 y 轴方向的合力为
y
qd
Fd
d
qd
D 2
d
mm nn
FNd (c) FNd
Fd
π 0
qd
D 2
d
sin
qd D 2
π
0 sin d qd D
A 2 D 2
2
其作用线与 y 轴重合。
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d
(1
10m/s 2 9.81m/s 2
)
(20.5 9.81N/m)(12m) 2108 10 6
22.6MPa
同理，工字钢危险截面上危险点处的动应力
d,max
Kd max
(1
a g
)
M max Wz
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第11章 动荷载 ·交变荷载
2m 4m 4m 2m ACB
(e)
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第11章 动荷载 ·交变荷载
引用记号
Kd (1
1 2h ) Δst
则
Δd Kd Δst
(e)
将上式两边乘以 E/l 后得
d Kd st
(1)
当 h0 时，相当于P 骤加在杆件上，这时
Kd 2
对于实际情况，以上计算是偏于安全的。
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第11章 动荷载 ·交变荷载
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3
第11章 动荷载 ·交变荷载
疲劳破坏比静荷破坏较为危险的原因:
1.疲劳破坏所需的应力较小,通常不及静荷破坏应力的 一半。 2.疲劳破坏是一种局部现象,材料组织不均匀、缺口、 腐蚀、残余应力、构件表面光洁度等因素对疲劳破坏 影响较静荷破坏大许多。
3.疲劳破坏是突然发生的，构件破坏前无明显的塑性 变形，不易为人们察觉。
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第11章 动荷载 ·交变荷载
根据机械能守恒定律，并利用
Fd
EA l
Δd
可得
Pv 2 2g
P( Δd
Δst )
1 2
( EA l
Δd2
PΔst )
将上式两端乘以
Δd2
l
EA ，并利用 Δst
2 Δst
Δd
Δ2st
(1
v2 gΔst
Pl EA
)0
，可简化为
由此解出 Δd 的两个根，并取其中大于 Δst 的一个，得
于是，横截面上的正应力 d 为
d
FNd A
2D2
4
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第11章 动荷载 ·交变荷载
例题：直径d=100mm的圆轴，一端有重量P=0.6kN、 直径 D=400mm的飞轮，以均匀转速n=1000r/min 旋转 （图a)。现因在轴的另一端施加了掣动的外力偶矩 Me ，而在t=0.01s内停车。若轴的质量与飞轮相比很小而
例题：钢吊索AC的下端挂一重量为 P=20kN的重物(图a)，并以等速度 v=1m/s
CD
l
下降。当吊索长度为 l=20m 时，滑轮D突
然被卡住。试求吊索受到的冲击荷载 Fd
(a) A Δd
及冲击应力 d 。已知吊索内钢丝的横截面
Fd
面积A=414mm2，材料的弹性模量
D
E=170GPa，滑轮的重量可略去不计。若
因此，处于交变应力下的构件应进行疲劳强度校核。
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4
第11章 动荷载 ·交变荷载
动荷载问题通常仍使用静荷载问题的计算公式， 但需作相应的动荷修正，即
d Kd st
式中:d是动荷应力,st为静荷应力,Kd为动荷因数。
故处理动荷问题的关键是寻找正确的Kd。
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动应力d,max 欲使工字钢中的d,max 减至最小，吊索位
置应如何安置？
2m 4m 4m 2m
(a) a
ACB
z y
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第11章 动荷载 ·交变荷载
解：将集度为 qd=Aa 的惯性力加在工字钢上，使工
字钢上的起吊力与其重量和惯性力假想地组成平衡力
系。若工字钢单位长度的重量记为 qst ，则惯性力集
)
65.2MPa
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第11章 动荷载 ·交变荷载
例题：一长度 l=12m 的16号工字钢，用横截面面积 为 A=108mm2 的钢索起吊，如图a所示，并以等加速 度 a=10m/s2 上升。若只考虑工字钢的重量而不计吊 索自重，试求吊索的动应力，以及工字钢在危险点的
注意
Pl EA
，Δst即在静载P下AB杆的伸长，则上式可
简化成
Δd2 2Δst Δd 2Δst h 0
解出 d 的两个根，取其中大于 st 的那个根，即得
Δd Δst (1
1 2h ) Δst
引用记号 Kd (1
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1 2h ) 则 Δd Kd Δst
Δst
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第11章 动荷载 ·交变荷载
材料力学(II)
中国地质大学工程学院力学课部 2021年3月17日
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1
第11章 动荷载 ·交变荷载
第11章
动荷载 ·交变荷载
§11.1 §11.2 §11.3 §11.4 §11.5
概述 构件有加速度时动应力计算 构件受冲击时动应力计算 交变应力 疲劳极限 钢结构构件疲劳计算
例题：匀加速起吊一根杆件（图a），杆的长度为l，
横截面面积为A,材料的密度为，加速度为a。试求距
杆下端为 x 的横截面上的动应力d 。
解：取距下端为x的一段杆为分 离体，作用于这段杆上的重力沿
杆轴均匀分布，其集度为Ag，
惯性力也沿杆轴均匀分布，其集
FRd
x
a
FNd
mmmm
q Ag Aa
l x
度为Aa ，指向与a 指向相反。
C
在上述情况下，在吊索与重物之间安置一
个刚度系数 k=300kN/m 的弹簧，则吊索受 (b) A
到的冲击荷载又是多少？
Δst
P
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第11章 动荷载 ·交变荷载
解：由于滑轮突然被卡住，所以重物下降的速度也
由 v 降到零，其动能的减少为 减少为 Ep P(Δd Δst )
a
z
6qst
2qst M 图（N·m)
(c)
2.484m 7.032m 2.484m
A
B
y
d,max
Kd max
(1
a) g
M max Wz
由工字钢的弯矩图(图c)可知，Mmax=6qstN·m，并由型
钢表查得Wz=21.210-6 m3以及已知数据代入上式，得
d,max
2.02
(6 20.59.81)N m 21.2106 m3
度为
2m 4m 4m 2m
qd
qst
a g
(a) a
ACB
z y
于是，工字钢上总的均布力集度为
q
qst
qd
qst (1
a g
)
引入动荷因数
Kd
1
a g
则 q Kdqst
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第11章 动荷载 ·交变荷载
由对称关系可知，两吊索的轴力F（N 参见图b）相等，
其值可由平衡方程
(b)
解：因环壁很薄，可认为环内各点的向心加速度都与环
轴线上各点的向心加速度相等。根据动静法，作用于环
上的惯性力必然为沿环轴线均匀分布的线分布力，其指
向远离转动中心（图b)。
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第11章 动荷载 ·交变荷载
沿环轴线均匀分布的惯性力集度qd为
qd
1 A 2( D)
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10
第11章 动荷载 ·交变荷载
由于环壁很薄，可认为在环的横截面m-m 或n-n上各点
处的正应力相等；又由对称关系可知，两侧横截面上
的正应力必组成相等的合力FNd 。
由平衡条件Fy 0 ，求得 FNd 为
FNd
Fd 2
A 2 D 2
4
y
qd
Fd
d
qd
D 2
d
mm nn
FNd (c) FNd
Ek
Pv 2 2g
，其势能的
其中
Δd
Fdl EA
Δst
Pl EA
因此，重物在冲击过程中所减少的总能量为
Ek
Ep
Pv 2 2g
P( Δd
滑轮被卡住前，吊索内应变能
Δst ) Vε1
1 2
PΔst
滑轮被卡住后，吊索内的应变能
其增量为
Vεd
1 2
Fd Δd
1 2
PΔst
Vε2
1 2
Pd Δd
材料力学教学课件
Ep P(h Δd )
(b)
而冲击物的初速与终速均为零，故
l h
Ek 0
(c)
杆内应变能
Vεd
EA 2l
Δd2
(d)
Δd
将(b)(c)(d)代入(a)得
P(h
Δd )
EA 2l
Δd2
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Fd B
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第11章 动荷载 ·交变荷载
P(h
Δd )
EA 2l
Δd2
d,m a x
Td Wp
π
I0πn d 3 30t
8I0n 15d 3t
(4)
16
飞轮的转动惯量
I0
PD 2 8g
(600 N)(0.4m)2 8(9.81m/s 2 )
1.223 N m s2
将已知数据代入式（4），得
d,max
8I0n 15d 3t
8(1.223 N m s2 )(1000 r/min 15(0.1m)3 (0.01s)
115MPa
欲使工字钢的最大弯矩减小，可将吊索向跨中移动，使
梁在吊索处的负弯矩与梁跨中点处的正弯矩值相等，即
得工字钢梁的最大弯矩减至最小时的吊索位置。
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第11章 动荷载 ·交变荷载
§12.3 构件受冲击时动应力计算
要精确计算冲击应力和变形，就应该考虑弹性体内 应力波的传播，计算较为复杂。实际工程中，常采 用简化计算方法。
Kd
1
a g
是动荷因数
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x
FNd
mm
q Ag Aa
(b)
8
第11章 动荷载 ·交变荷载
例题：一平均直径为D的薄壁圆环，绕通过其圆心且
垂直于环平面的轴作等速转动（图a)。已知环的角速
度 、环的横截面面积A和材料的密度，试求圆环
横截面上的正应力。
qd
(a)
于是，可按静荷问题求得横截面
(a)
(b)
上的轴力FNd 。
例题图
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第11章 动荷载 ·交变荷载
由分离体平衡方程 FNd Axg Axa 0
得
FNd
Axg (1
a) g
从而可得横截面上的动应力为
d
FNd A
xg (1
a) g
st
Kd
式中 st xg 是静应力