抛物线椭圆曲率半径的物理求法

β=arctan
cy b2
②
其中 2c 为椭圆的焦距，其大小为：
c= 姨a2- b2
③ - 7-
则在 P 点由牛顿第二定律和万有引力定律有：
an=
v2 ρ
=Fcosβ=
GMm r2
cosβ
④
则由①、②、③、④以及椭圆的定义 r+r'=2a 可得 P(x,y)点
的曲率半径为：
ρ=
(2a- r)r acosβ
x=v0t y= 1 gt2
2
其轨迹为：y=
gx2 2v02
=ax2
其中
a=
g 2v02
①
在轨迹上任取一点 P(x,y)，则在该点的速度和其方向分
别为：
v= 姨V02+2gy
②
θ=arctan 姨2gy
③
v0
由于物体做平抛，其加速度方向向下，可分解为法向加
速度和切向加速度，其法向加速度为：
an=
v2 ρ
=gcosθ
④
则由①、②、③、④可得 P(x,y)点的曲率半径为：
3
3
3
ρ= v2 = v3 = (v02+2gy) 2 = (1+4ay) 2 = (1+4a2x2) 2
gcosθ gv0
gv0
2
2
2
椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1（a>b>0） 的 曲 率 半 径
2.1 利用天体知识计算椭圆的曲率半径
的法向加速度即为：
an=
v2 ρ
其中 ρ 即为曲线在该点的曲率半径
3
曲率半径可通过高等数学的公式：ρ= (1+y'2) 2 进行计 |y"|
算，下面对几种常见曲线采用物理方法讨论计算其曲率半
径.
1 抛物线 y=ax2 的曲率半径
设一质点从坐标原点以速度 v0 沿水平轴 x 抛出，则由 平抛的知识有：
姨x=acosωt
动的合运动，则两振动形式可写成： y=bsinωt
设在椭圆上任取一点 P(x,y)，则该点的速度为：
姨
姨姨vx=
姨
dx dt
=- aωsinωt=-
aωy b
姨
姨
姨
姨
姨
v = 姨
姨 姨
y
姨
dy dt
=bωcosωt=-
bωy b
其速度大小和速度与水平方向的夹角为：
姨 姨
姨姨v=
姨
姨vx2+vy2
第 28 卷 第 4 期（上） 2012 年 4 月
赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版 ） Journal of Chifeng University（Natural Science Edition）
Vol. 28 No. 4 Apr. 2012
抛物线、椭圆曲率半径的物理求法
李景琴
（赤峰学院 数学学院，内蒙古 赤峰 024000）
设质量为 m 的行星在万有引力作用下绕质量为 M 的
太阳作椭圆运动，根据开普勒定律知太阳位于椭圆的焦点
上.
在椭圆上任取一点 P(x,y)，设行星在该点的速度为v軆 ，则 由机械能守恒可得：
1 mv2- GMm =- GMm
①
2
r
2a
设 M’点为椭圆的另一焦点，因为速度v軆 是 P 点的切线
方向，法向加速度a軆n 与切线方向垂直，根据椭圆的性质有：
=
姨
a4y2+b4x2 a2b2
ω
姨 姨
①
姨
姨
姨姨θ=arctan
vy
姨 姨
vx
=arctan
b2x a2y
而该点的加速度则为：
姨
姨姨ax=
姨
dvx dt
=- aω2cosωt=- ω2x
姨
姨 姨
②
姨
姨
a = 姨
姨 姨
y
姨
dvy dt
=- bω2sinωt=- ω2y
因为速度v軆是 P 点的切线方向，法向加速度a軆n 与切线方 向垂直，法向加速度的大小为：
=
rr' acosβ
= 姨(x+c)2+b2 a
× 姨(x- c)2+b2 b2
姨b4+c2y2
3
=
[(a2-
b2)y2+b4] ab4
2
对于上图中的近日点
A(-
a,0)的曲率半径为：ρA=
b2 a
源自文库
，而
对于短半轴点
B(0,b)的曲率半径则为：ρB=
a2 b
2.2 利用简谐振动知识计算椭圆的曲率半径
椭圆运动可看成两互相垂直方向上的同频率的简谐振
摘 要：本文主要通过物理的方法讨论如何得到抛物线、椭圆等曲线的曲率半径. 关键词：曲率半径；法向加速度；简谐振动 中图分类号：O182 文献标识码：A 文章编号：1673- 260X（2012）04- 0007- 02
在分析物体曲线运动时，常将曲线上任一点看成是圆
周上的一点，对应圆周的半径又称为曲率半径，作曲线运动
其曲率或曲率半径.
— ——— — —— —— —— —— —— —— ——
参考文献：
〔1〕数 学 手 册 .高 等 教 育 出 版 社 .
- 8-
an=
v2 ρ
=axsinθ+aycosθ
③
则由①、②、③以及椭圆的函数方程
x2 a2
+
y2 b2
=1 可得 P(x,
y)点的曲率半径为：
3
ρ=
[(a2-
b2)y2+b4] ab4
2
通过以上的分析可知，对于曲线的曲率、曲率半径除了
用高等数学的知识进行计算外也可通过物理方法获得.除抛
物线、椭圆以外，如螺旋线、滚线等均可通过物理方法获得