N阶行列式的几种常见的计算方法
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第 ２４ 卷第 ２ 期 ２００８ 年 ４ 月
山 西 大 同 大 学 学 报（自 然 科 学 版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｈａｎｘｉ Ｄａｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ）
Ｖｏｌ．２４．Ｎｏ．２ Ａｐｒ．２００８
Ｎ 阶行列式的几种常见的计算方法
王丽霞 （ 山西大同大学数学与计算机科学学院， 山西大同 ０３７００９）
Ｄｎ＝（!＋"）Ｄｎ－１－ !"Ｄｎ－２ ． 即
Ｄｎ－ !Ｄｎ－１＝"（Ｄｎ－１－ !Ｄｎ－２）． 此式对一切 ｎ 都成立， 故递推得
Ｄｎ－ !Ｄｎ－ １ ＝ "２（Ｄｎ－ ２－ !Ｄｎ－ ３） ＝
"３（Ｄｎ－３ － !Ｄｎ－４） ＝ … ＝
"ｎ－２（Ｄ２ － !Ｄ１） ＝
"ｎ－２［（! ＋ "）２ － !" － !（! ＋ "）］ ＝ "ｎ
利用范德蒙行列式的结果计算 ｎ 阶行列式． 例 ６． 计算 ｎ 阶行列式
２
ｎ
１＋ｘ１ １＋ｘ１ … １＋ｘ１
２
ｎ
Ｄｎ ＝
１＋ｘ２ …
１＋ｘ２ …
… …
１＋ｘ２ …
２
ｎ
１＋ｘｎ １＋ｘｎ … １＋ｘｎ ．
解： 加边得
１ ０ ０ …０
１ Ｄｎ ＝ １
２
ｎ
１＋ｘ１ １＋ｘ１ … １＋ｘ１
２
ｎ
１＋ｘ２ ＋ｘ２ … ＋ｘ２
解： 这个行列式的特点是每一行有一个元素 ａ， 其余 ｎ－ １ 个元素是 ｂ， 根据行列式的性质， 把第二列 加到第一列， 行列式不变， 再把第三列加到第一列， 行列式不变， …， 直到第 ｎ 列也加到第一列， 即得
ａ ｂ ｂ …ｂ ｂ ａ ｂ …ｂ Ｄｎ ＝ ｂ ｂ ａ … ｂ ＝ …………… ｂ ｂ ｂ …ａ
（ １）
在上式中， !， " 的地位等同， 故同理可得
Ｄｎ－ "Ｄｎ－１＝!ｎ．
（ ２）
（ ２） ×!－（ １） ×"， 得
（!－ "）Ｄｎ＝!ｎ＋１－ "ｎ＋１．
故
Ｄｎ＝
!ｎ＋１－ !－
"ｎ＋１ "
．
５ 加边法（ 升阶法）
在运算中可以通过增加一行一列， 使行列式在 原来的基础上增加一阶， 同时保证行列式的值不 变， 从而使行列式的计算变得容易
０ ｙ …０ ０ ０ ｘ …０ ０ ｙ… … … … … ＝ ０ ０ …ｘ ｙ ｙ ０ …０ ｘ
０ ｙ …０ ０ ０ ｘ …０ ０
ｘｎ－ ｙ … … … … … ０ ０ …ｘ ｙ
ｙ ０ …０ ｘ ．
将后面的行列式按第一列展开， 则
ｎ
Ｄｎ＝ｘｎ－ ｙｙ（－ １） ×
ｙ ０ …０ ０
ｘ ｙ …０ ０
… … … … … ＝ｘｎ＋（－ １）ｎ＋１ｙｎ
摘 要： 该文通过具体实例给出了 ｎ 阶行列式的几种常见的计算方法， 仅供读者参考．
关键词： 行列式 三角形行列式 降阶法 递推法 范德蒙行列式
中图分类号： Ｏ１５１．２１
文献标识码： Ａ
文章编号：１６７４－ ０８７４（２００８）０２－ ００１１－ ０４
行列式的产生和最早的应用都是出现在解线 性方程组中， 不过它现在的应用范围已较为广泛， 成为许多学科相当重要的工具．所以， 对于许多人来 说， 掌握行列式的计算是十分必要的． 为此， 笔者在 查阅部分参考资料的基础上， 结合自己的教学实 践， 对行列式的计算方法进行了初步探讨， 总结出 以下几种常用方法．
·１２·
山 西 大 同 大 学 学 报（自 然 科 学 版）
２００８ 年
就有 Ｄｎ ＝［ａ＋（ｎ－ １）ｂ］×
１ ｂ ｂ …ｂ ０ ａ－ ｂ ０ … ０ ０ ０ ａ－ ｂ … ０ ＝ …… ……… ０ ０ ０ … ａ－ ｂ ［ａ＋（ｎ－ １）ｂ］（ａ－ ｂ）ｎ－１．
３ 降阶法
运 用 行 列 式 按 行（ 列） 展 开 的 相 关 定 理 使 高 阶 行列式转化为低阶行列式来计算其值．
Ｓｅｖｅｒ ａｌ Ｃｏｍｍｏｎ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ Ｎ－ ｏｒ ｄｅｒ Ｄｅｔｅｒ ｍｉｎａｎｔｓ
ＷＡＮＧ Ｌｉ－ ｘｉａ
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ， Ｓｈａｎｘｉ Ｄａｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｄａｔｏｎｇ Ｓｈａｎｘｉ ， ０３７００９）
１ 定义法
利用 ｎ 阶行列式的定义计算其值． 例 １． 计算 ｎ 阶行列式
０１０… ０ ００２… ０ Ｄｎ ＝ % % % % % ０ ０ ０ … ｎ－ １ ｎ００… ０ ．
解： 据行列式的定义， 行列式展开后每项都是 ｎ 个元素相乘， 且这 ｎ 个元素是 Ｄｎ 中位于不同行与不 同列的， 故 Ｄｎ 中只有一个非零项 １２…（ ｎ－ １） ｎ＝ｎ！ 这 一项行标为自然数顺序排列， 对应的列标构成的排 列为 ２３…ｎ１， 其逆序数为 ｎ－ １， 故 Ｄｎ ＝（ － １） ｎ－１ｎ！
０ …０
０
１ ２ｃｏｓ! １ … ０
０
０ １ ２ｃｏｓ! … ０
０
Ｄｎ ＝ … …
………
…
００
０ … ２ｃｏｓ! １
００
０ … １ ２ｃｏｓ!
＝ｃｏｓｎ!．
·１４·
山 西 大 同 大 学 学 报（自 然 科 学 版）
２００８ 年
证明：
当 ｎ ＝ １ 时， Ｄ１ ＝ ｃｏｓ!， 等式成立； 当 ｎ ＝ ２ 时， Ｄ２ ＝ ２ｃｏｓ２! － １＝ ｃｏｓ２!， 等式成立． 设当 ｎ ＝ ｋ 时， 等式成立．
２ 化为三角形的方法
运用行列式的性质把行列式变换成位于主对 角线一侧的所有元素全等于零， 这样得到的行列式 等于主对角线上元素的乘积， 对于次对角线的情
ｎ（ｎ－ １）
形， 行列式的值等于（ － １） ２ 与次 对角线上所 有元
素的乘积． 例 ２． 计算 ｎ 阶行列式 ａ ｂ ｂ …ｂ ｂ ａ ｂ …ｂ Ｄｎ ＝ ｂ ｂ ａ … ｂ …………… ｂ ｂ ｂ …ａ ．
$ （ｘ１ － １）（ｘ２ － １）…（ｘｎ － １）
（ｘｉ － ｘｊ ）＝
１"ｊ＜ｉ"ｎ
［２ｘ１ ｘ２ …ｘｎ － （ｘ１ － １）（ｘ２ － １）…（ｘｎ － １）］×
$ （ｘｉ － ｘｊ ）．
１"ｊ＜ｉ"ｎ
７ 归纳法
利用数学归纳法来计算（ 证明） 某些 ｎ 阶行列式． 例 ７． 证明
ｃｏｓ! １
参考文献 ［１］张禾瑞， 郝新． 高等代数［Ｍ］． 北京： 高等教育出版社， １９８３． １３０． ［２］北京大学数学系． 高等代数［Ｍ］． 北京： 高等教育出版社， １９８８． ［３］王向东， 周士藩． 高等代数常用方法［Ｍ］． 北京： 科学出版社， １９８９． １１． ［４］毛纲源． 线性代数解题方法技巧归纳［Ｍ］． 武汉： 华中理工大学出版社， ２０００． ３４－ ４０． ［５］古家虹． 关于行列式的计算方法［Ｊ］． 广西大学学报（自然科学版）， ２００５， ３０（增刊）： １７４－ １７６．
０ ０ …ｙ ０
０ ０ …ｘ ｙ
．
４ 递推法
设法找出 ｎ 阶行列式 Ｄｎ 与低阶行列式的关系
依此类推来计算行列式的值．
例 ４． 计算 ｎ 阶行列式
!＋" !" … ０ ０
１ !＋" … ０ ０
Ｄｎ＝ … ０
……… … ０ … !＋" !"
０ ０ … １ !＋" ． 解： 将 Ｄｎ 按第一行展开后再将第二个行列式按 第一列展开得
例 ５． 计算 ｎ 阶行列式
１＋ａ１ １ … １
１
１ １＋ａ２ … １
１
ＤLeabharlann Baidu＝ … １ １
…… … …
１ … １＋ａｎ－ １ １
１…１
１＋ａｎ ．
解： 加边， 使得
１ １ １ １… １ ０ １＋ａ１ １ １ … １ ０ １ １＋ａ２ １ … １ Ｄｎ＝ … … … … … …
０１ ０１
１ １… １
１
ｎ－ １
１ ｘ１ － １ ｘ１ （ｘ１ － １） … ｘ１ （ｘ１ － １）
ｎ－ １
１ ｘ２ － １ ｘ２ （ｘ２ － １） … ｘ２ （ｘ２ － １） ＝
…… … … …
ｎ－ １
１ ｘｎ － １ ｘｎ （ｘｎ － １） … ｘｎ （ｘｎ － １）
# ２ｘ１ ｘ２ …ｘｎ × （ｘｉ － ｘｊ ）－ １"ｊ＜ｉ"ｎ
当 ｎ ＝ ｋ ＋１ 时， 按最后一行展开
Ｄｋ＋１＝２ｃｏｓ!Ｄｋ－
ｃｏｓ! １
０ …０ ０
１ ２ｃｏｓ! １ … ０ ０
０
１ ２ｃｏｓ! … ０ ０
……
… … … …＝
０
０
０ … ２ｃｏｓ! ０
０
０
０ …１ １
２ｃｏｓ!Ｄｋ － Ｄｋ－１ ＝ ２ｃｏｓ!ｃｏｓｋ! － ｃｏｓ（ｋ－ １）! ＝ ｃｏｓ（ｋ＋１）! ＝右边． 故等式成立． 行列式计算方法除上述方法外还有许多别的方 法， 比如， 拉普拉斯法， 析因子法等， 只是上述方 法常用而已． 在计算行列式时， 要根据行列式自身 的特点选择待定的方法进行计算， 而且不仅仅局限 于某一种算法， 而是多种方法综合运用， 求出其值．
例 ３． 计算 ｎ 阶行列式
ｘ ｙ ０ …０ ０ ０ ｘ ｙ …０ ０ Ｄｎ ＝ … … … … … … ０ ０ ０ …ｘ ｙ ｙ ０ ０ …０ ｘ ． 解： 据行列式按行展开定理， 将 Ｄｎ 按第一行展 开， 则
ｘ ｙ …０ ０ ０ ｘ …０ ０ Ｄｎ ＝ｘ … … … … … － ０ ０ …ｘ ｙ ０ ０ …０ ｘ
１
． … １＋ａｎ
将第一行的（－ １）倍分别加到其它各行， 得
２００８ 年
王丽霞： Ｎ 阶行列式的几种常见的计算方法
·１３·
１ １ １ １ …１
－ １ ａ１ ０ ０ … ０
－１ Ｄｎ ＝ …
０ …
ａ２ …
０ …
… …
０ …
－１ ０ ０ ０ … ０ － １ ０ ０ ０ … ａｎ ．
（ 爪型行列式）
从 第 二 列 开 始 ， 将 各 列 的 １／ａｉ（ｉ＝１，２，…， ｎ）倍 加 到第一列得
Ｋｅｙ ｗｏｒ ｄｓ： ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ； ｔｒｉａｎｇｕｌａｉｒｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ； ｄｏｗｎ ｏｒｄｅｒ； ｒｅｃｕｒｓｉｏｎ； ｖａｎｄｅｒｍｏｎｄｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ
…… ………
２
ｎ
１ １＋ｘｎ １＋ｘｎ … １＋ｘｎ ．
将第一列的（ － １） 倍加到其它各列得
１ －１ －１ … －１
２
ｎ
１ ｘ１ ｘ１ … ｘ１
２
ｎ
Ｄｎ ＝ １ ｘ２ ｘ２ … ｘ２
…… ………
２
ｎ
１ ｘｎ ｘｎ … ｘｎ
将此行列式拆分为两项得
２ ０ ０ …０
１ Ｄｎｖ ＝ １
２
ｎ
ｘ１ ｘ１ … ｘ１
１ ｂ ｂ …ｂ １ ａ ｂ …ｂ ［ａ＋（ｎ－ １）ｂ］ １ ｂ ａ … ｂ …………… １ ｂ ｂ …ａ ．
第二行到第 ｎ 行都分别加上第一行的（－ １）倍，
收稿日期： ２００８－ ０１－ ０８ 作者简介： 王丽霞（ １９７９－ ） ， 女， 山西阳高人， 助教， 在读硕士， 研究方向： 高等代数．
Ａｂｓｔｒ ａｃｔ： Ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ｓｏｍｅ ｆｒｅｑｕｅｎｔｌｙ ｕｓｅｄ ａｎｄ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｎ－ ｏｒｄｅｒ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ ｂｙ ｍｅａｎｓ ｏｆ ｓｏｍｅ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅｓ， ｆｏｒ ｒｅａｄｅｒｓ＇ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎｌｙ．
２
ｎ
ｘ２ ｘ２ … ｘ２ －
……………
２
ｎ
１ ｘｎ ｘｎ … ｘｎ
１ １ １ …１
２
ｎ
１ ｘ１ ｘ１ … ｘ１
２
ｎ
１ ｘ２ ｘ２ … ｘ２ ＝
……………
２
ｎ
１ ｘｎ ｘｎ … ｘｎ
ｎ－ １
１ ｘ１ … ｘ１
ｎ－ １
２ｘ１ ｘ２ …ｘｎ
１ ｘ２ … ｘ２ ……… …
－
ｎ－ １
１ ｘｎ … ｘｎ
１０
０…０
Ｄｎ＝
１＋ １ ＋ １ ＋…＋ １
ａ１ ａ２
ａｎ
０
０
…
１ １ １ …１
ａ１ ０ ０ … ０ ０ ａ２ ０ … ０ ＝ ……………
０
０ ０ １ …０
０
０ ０ ０ … ａｎ
ａ１ａ２…ａｎ（１＋１／ａ１ ＋１／ａ２ ＋ … ＋１／ａｎ） ＝
ｎ
! ａ１ａ２…ａｎ（１＋ １／ａｉ）． ｉ＝１
６ 范德蒙行列式计算法
山 西 大 同 大 学 学 报（自 然 科 学 版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｈａｎｘｉ Ｄａｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ）
Ｖｏｌ．２４．Ｎｏ．２ Ａｐｒ．２００８
Ｎ 阶行列式的几种常见的计算方法
王丽霞 （ 山西大同大学数学与计算机科学学院， 山西大同 ０３７００９）
Ｄｎ＝（!＋"）Ｄｎ－１－ !"Ｄｎ－２ ． 即
Ｄｎ－ !Ｄｎ－１＝"（Ｄｎ－１－ !Ｄｎ－２）． 此式对一切 ｎ 都成立， 故递推得
Ｄｎ－ !Ｄｎ－ １ ＝ "２（Ｄｎ－ ２－ !Ｄｎ－ ３） ＝
"３（Ｄｎ－３ － !Ｄｎ－４） ＝ … ＝
"ｎ－２（Ｄ２ － !Ｄ１） ＝
"ｎ－２［（! ＋ "）２ － !" － !（! ＋ "）］ ＝ "ｎ
利用范德蒙行列式的结果计算 ｎ 阶行列式． 例 ６． 计算 ｎ 阶行列式
２
ｎ
１＋ｘ１ １＋ｘ１ … １＋ｘ１
２
ｎ
Ｄｎ ＝
１＋ｘ２ …
１＋ｘ２ …
… …
１＋ｘ２ …
２
ｎ
１＋ｘｎ １＋ｘｎ … １＋ｘｎ ．
解： 加边得
１ ０ ０ …０
１ Ｄｎ ＝ １
２
ｎ
１＋ｘ１ １＋ｘ１ … １＋ｘ１
２
ｎ
１＋ｘ２ ＋ｘ２ … ＋ｘ２
解： 这个行列式的特点是每一行有一个元素 ａ， 其余 ｎ－ １ 个元素是 ｂ， 根据行列式的性质， 把第二列 加到第一列， 行列式不变， 再把第三列加到第一列， 行列式不变， …， 直到第 ｎ 列也加到第一列， 即得
ａ ｂ ｂ …ｂ ｂ ａ ｂ …ｂ Ｄｎ ＝ ｂ ｂ ａ … ｂ ＝ …………… ｂ ｂ ｂ …ａ
（ １）
在上式中， !， " 的地位等同， 故同理可得
Ｄｎ－ "Ｄｎ－１＝!ｎ．
（ ２）
（ ２） ×!－（ １） ×"， 得
（!－ "）Ｄｎ＝!ｎ＋１－ "ｎ＋１．
故
Ｄｎ＝
!ｎ＋１－ !－
"ｎ＋１ "
．
５ 加边法（ 升阶法）
在运算中可以通过增加一行一列， 使行列式在 原来的基础上增加一阶， 同时保证行列式的值不 变， 从而使行列式的计算变得容易
０ ｙ …０ ０ ０ ｘ …０ ０ ｙ… … … … … ＝ ０ ０ …ｘ ｙ ｙ ０ …０ ｘ
０ ｙ …０ ０ ０ ｘ …０ ０
ｘｎ－ ｙ … … … … … ０ ０ …ｘ ｙ
ｙ ０ …０ ｘ ．
将后面的行列式按第一列展开， 则
ｎ
Ｄｎ＝ｘｎ－ ｙｙ（－ １） ×
ｙ ０ …０ ０
ｘ ｙ …０ ０
… … … … … ＝ｘｎ＋（－ １）ｎ＋１ｙｎ
摘 要： 该文通过具体实例给出了 ｎ 阶行列式的几种常见的计算方法， 仅供读者参考．
关键词： 行列式 三角形行列式 降阶法 递推法 范德蒙行列式
中图分类号： Ｏ１５１．２１
文献标识码： Ａ
文章编号：１６７４－ ０８７４（２００８）０２－ ００１１－ ０４
行列式的产生和最早的应用都是出现在解线 性方程组中， 不过它现在的应用范围已较为广泛， 成为许多学科相当重要的工具．所以， 对于许多人来 说， 掌握行列式的计算是十分必要的． 为此， 笔者在 查阅部分参考资料的基础上， 结合自己的教学实 践， 对行列式的计算方法进行了初步探讨， 总结出 以下几种常用方法．
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山 西 大 同 大 学 学 报（自 然 科 学 版）
２００８ 年
就有 Ｄｎ ＝［ａ＋（ｎ－ １）ｂ］×
１ ｂ ｂ …ｂ ０ ａ－ ｂ ０ … ０ ０ ０ ａ－ ｂ … ０ ＝ …… ……… ０ ０ ０ … ａ－ ｂ ［ａ＋（ｎ－ １）ｂ］（ａ－ ｂ）ｎ－１．
３ 降阶法
运 用 行 列 式 按 行（ 列） 展 开 的 相 关 定 理 使 高 阶 行列式转化为低阶行列式来计算其值．
Ｓｅｖｅｒ ａｌ Ｃｏｍｍｏｎ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ Ｎ－ ｏｒ ｄｅｒ Ｄｅｔｅｒ ｍｉｎａｎｔｓ
ＷＡＮＧ Ｌｉ－ ｘｉａ
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ， Ｓｈａｎｘｉ Ｄａｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｄａｔｏｎｇ Ｓｈａｎｘｉ ， ０３７００９）
１ 定义法
利用 ｎ 阶行列式的定义计算其值． 例 １． 计算 ｎ 阶行列式
０１０… ０ ００２… ０ Ｄｎ ＝ % % % % % ０ ０ ０ … ｎ－ １ ｎ００… ０ ．
解： 据行列式的定义， 行列式展开后每项都是 ｎ 个元素相乘， 且这 ｎ 个元素是 Ｄｎ 中位于不同行与不 同列的， 故 Ｄｎ 中只有一个非零项 １２…（ ｎ－ １） ｎ＝ｎ！ 这 一项行标为自然数顺序排列， 对应的列标构成的排 列为 ２３…ｎ１， 其逆序数为 ｎ－ １， 故 Ｄｎ ＝（ － １） ｎ－１ｎ！
０ …０
０
１ ２ｃｏｓ! １ … ０
０
０ １ ２ｃｏｓ! … ０
０
Ｄｎ ＝ … …
………
…
００
０ … ２ｃｏｓ! １
００
０ … １ ２ｃｏｓ!
＝ｃｏｓｎ!．
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山 西 大 同 大 学 学 报（自 然 科 学 版）
２００８ 年
证明：
当 ｎ ＝ １ 时， Ｄ１ ＝ ｃｏｓ!， 等式成立； 当 ｎ ＝ ２ 时， Ｄ２ ＝ ２ｃｏｓ２! － １＝ ｃｏｓ２!， 等式成立． 设当 ｎ ＝ ｋ 时， 等式成立．
２ 化为三角形的方法
运用行列式的性质把行列式变换成位于主对 角线一侧的所有元素全等于零， 这样得到的行列式 等于主对角线上元素的乘积， 对于次对角线的情
ｎ（ｎ－ １）
形， 行列式的值等于（ － １） ２ 与次 对角线上所 有元
素的乘积． 例 ２． 计算 ｎ 阶行列式 ａ ｂ ｂ …ｂ ｂ ａ ｂ …ｂ Ｄｎ ＝ ｂ ｂ ａ … ｂ …………… ｂ ｂ ｂ …ａ ．
$ （ｘ１ － １）（ｘ２ － １）…（ｘｎ － １）
（ｘｉ － ｘｊ ）＝
１"ｊ＜ｉ"ｎ
［２ｘ１ ｘ２ …ｘｎ － （ｘ１ － １）（ｘ２ － １）…（ｘｎ － １）］×
$ （ｘｉ － ｘｊ ）．
１"ｊ＜ｉ"ｎ
７ 归纳法
利用数学归纳法来计算（ 证明） 某些 ｎ 阶行列式． 例 ７． 证明
ｃｏｓ! １
参考文献 ［１］张禾瑞， 郝新． 高等代数［Ｍ］． 北京： 高等教育出版社， １９８３． １３０． ［２］北京大学数学系． 高等代数［Ｍ］． 北京： 高等教育出版社， １９８８． ［３］王向东， 周士藩． 高等代数常用方法［Ｍ］． 北京： 科学出版社， １９８９． １１． ［４］毛纲源． 线性代数解题方法技巧归纳［Ｍ］． 武汉： 华中理工大学出版社， ２０００． ３４－ ４０． ［５］古家虹． 关于行列式的计算方法［Ｊ］． 广西大学学报（自然科学版）， ２００５， ３０（增刊）： １７４－ １７６．
０ ０ …ｙ ０
０ ０ …ｘ ｙ
．
４ 递推法
设法找出 ｎ 阶行列式 Ｄｎ 与低阶行列式的关系
依此类推来计算行列式的值．
例 ４． 计算 ｎ 阶行列式
!＋" !" … ０ ０
１ !＋" … ０ ０
Ｄｎ＝ … ０
……… … ０ … !＋" !"
０ ０ … １ !＋" ． 解： 将 Ｄｎ 按第一行展开后再将第二个行列式按 第一列展开得
例 ５． 计算 ｎ 阶行列式
１＋ａ１ １ … １
１
１ １＋ａ２ … １
１
ＤLeabharlann Baidu＝ … １ １
…… … …
１ … １＋ａｎ－ １ １
１…１
１＋ａｎ ．
解： 加边， 使得
１ １ １ １… １ ０ １＋ａ１ １ １ … １ ０ １ １＋ａ２ １ … １ Ｄｎ＝ … … … … … …
０１ ０１
１ １… １
１
ｎ－ １
１ ｘ１ － １ ｘ１ （ｘ１ － １） … ｘ１ （ｘ１ － １）
ｎ－ １
１ ｘ２ － １ ｘ２ （ｘ２ － １） … ｘ２ （ｘ２ － １） ＝
…… … … …
ｎ－ １
１ ｘｎ － １ ｘｎ （ｘｎ － １） … ｘｎ （ｘｎ － １）
# ２ｘ１ ｘ２ …ｘｎ × （ｘｉ － ｘｊ ）－ １"ｊ＜ｉ"ｎ
当 ｎ ＝ ｋ ＋１ 时， 按最后一行展开
Ｄｋ＋１＝２ｃｏｓ!Ｄｋ－
ｃｏｓ! １
０ …０ ０
１ ２ｃｏｓ! １ … ０ ０
０
１ ２ｃｏｓ! … ０ ０
……
… … … …＝
０
０
０ … ２ｃｏｓ! ０
０
０
０ …１ １
２ｃｏｓ!Ｄｋ － Ｄｋ－１ ＝ ２ｃｏｓ!ｃｏｓｋ! － ｃｏｓ（ｋ－ １）! ＝ ｃｏｓ（ｋ＋１）! ＝右边． 故等式成立． 行列式计算方法除上述方法外还有许多别的方 法， 比如， 拉普拉斯法， 析因子法等， 只是上述方 法常用而已． 在计算行列式时， 要根据行列式自身 的特点选择待定的方法进行计算， 而且不仅仅局限 于某一种算法， 而是多种方法综合运用， 求出其值．
例 ３． 计算 ｎ 阶行列式
ｘ ｙ ０ …０ ０ ０ ｘ ｙ …０ ０ Ｄｎ ＝ … … … … … … ０ ０ ０ …ｘ ｙ ｙ ０ ０ …０ ｘ ． 解： 据行列式按行展开定理， 将 Ｄｎ 按第一行展 开， 则
ｘ ｙ …０ ０ ０ ｘ …０ ０ Ｄｎ ＝ｘ … … … … … － ０ ０ …ｘ ｙ ０ ０ …０ ｘ
１
． … １＋ａｎ
将第一行的（－ １）倍分别加到其它各行， 得
２００８ 年
王丽霞： Ｎ 阶行列式的几种常见的计算方法
·１３·
１ １ １ １ …１
－ １ ａ１ ０ ０ … ０
－１ Ｄｎ ＝ …
０ …
ａ２ …
０ …
… …
０ …
－１ ０ ０ ０ … ０ － １ ０ ０ ０ … ａｎ ．
（ 爪型行列式）
从 第 二 列 开 始 ， 将 各 列 的 １／ａｉ（ｉ＝１，２，…， ｎ）倍 加 到第一列得
Ｋｅｙ ｗｏｒ ｄｓ： ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ； ｔｒｉａｎｇｕｌａｉｒｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ； ｄｏｗｎ ｏｒｄｅｒ； ｒｅｃｕｒｓｉｏｎ； ｖａｎｄｅｒｍｏｎｄｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ
…… ………
２
ｎ
１ １＋ｘｎ １＋ｘｎ … １＋ｘｎ ．
将第一列的（ － １） 倍加到其它各列得
１ －１ －１ … －１
２
ｎ
１ ｘ１ ｘ１ … ｘ１
２
ｎ
Ｄｎ ＝ １ ｘ２ ｘ２ … ｘ２
…… ………
２
ｎ
１ ｘｎ ｘｎ … ｘｎ
将此行列式拆分为两项得
２ ０ ０ …０
１ Ｄｎｖ ＝ １
２
ｎ
ｘ１ ｘ１ … ｘ１
１ ｂ ｂ …ｂ １ ａ ｂ …ｂ ［ａ＋（ｎ－ １）ｂ］ １ ｂ ａ … ｂ …………… １ ｂ ｂ …ａ ．
第二行到第 ｎ 行都分别加上第一行的（－ １）倍，
收稿日期： ２００８－ ０１－ ０８ 作者简介： 王丽霞（ １９７９－ ） ， 女， 山西阳高人， 助教， 在读硕士， 研究方向： 高等代数．
Ａｂｓｔｒ ａｃｔ： Ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ｓｏｍｅ ｆｒｅｑｕｅｎｔｌｙ ｕｓｅｄ ａｎｄ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｎ－ ｏｒｄｅｒ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ ｂｙ ｍｅａｎｓ ｏｆ ｓｏｍｅ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅｓ， ｆｏｒ ｒｅａｄｅｒｓ＇ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎｌｙ．
２
ｎ
ｘ２ ｘ２ … ｘ２ －
……………
２
ｎ
１ ｘｎ ｘｎ … ｘｎ
１ １ １ …１
２
ｎ
１ ｘ１ ｘ１ … ｘ１
２
ｎ
１ ｘ２ ｘ２ … ｘ２ ＝
……………
２
ｎ
１ ｘｎ ｘｎ … ｘｎ
ｎ－ １
１ ｘ１ … ｘ１
ｎ－ １
２ｘ１ ｘ２ …ｘｎ
１ ｘ２ … ｘ２ ……… …
－
ｎ－ １
１ ｘｎ … ｘｎ
１０
０…０
Ｄｎ＝
１＋ １ ＋ １ ＋…＋ １
ａ１ ａ２
ａｎ
０
０
…
１ １ １ …１
ａ１ ０ ０ … ０ ０ ａ２ ０ … ０ ＝ ……………
０
０ ０ １ …０
０
０ ０ ０ … ａｎ
ａ１ａ２…ａｎ（１＋１／ａ１ ＋１／ａ２ ＋ … ＋１／ａｎ） ＝
ｎ
! ａ１ａ２…ａｎ（１＋ １／ａｉ）． ｉ＝１
６ 范德蒙行列式计算法