不等式恒成立问题的几种求解策略(老师用)

常见不等式恒成立问题的几种求解策略

不等式恒成立问题是近几年高考以及各种考试中经常出现，它综合考查函数、方程和不等式的主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连，结合解题教学实践举例说明几种常见不等式恒成立问题的求解策略。 1 变量转换策略

例 1 已知对于任意的a ∈[-1,1]，函数

f (x )=ax 2+(2a -4)x +3-a >0 恒成立，求x 的取值范围.

解析 本题按常规思路是分a =0时f (x )是一次函数，a ≠0时是二次函数两种情况讨论，不容易求

x 的取值范围。因此，我们不能总是把x 看成是变量，

把a 看成常参数，我们可以通过变量转换，把a 看成变量，x 看成常参数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求解。令g (a )=(x 2

+2x -1)a -4x+3在

a ∈[-1,1]时，g (a )>0恒成立，则

⎩⎨

⎧>>-0

)1(0

)1(g g ，得

13

3133+-<<--x .

点评 对于含有两个参数，且已知一参数的取

值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。

2 零点分布策略

例2 已知a ax x x f -++=3)(2，若0)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求

a 的取值范围.

解析 本题可以考虑f (x )的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即Δ≤0或

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥--≤->∆0

)2(0)2(22

0f f a 或

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥-≥->∆0

)2(0)2(22

f f a ，即

a 的取值范围为[-7，2].

点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x 轴的上方或在x 轴上就行了.

3 函数最值策略

例3 已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.

解析 本题可以化归为求函数f (x )在闭区间上的最值问题,只要对于任意2)(],2,2[m in ≥-∈x f x .若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立

⇔2)(],2,2[m in

≥-∈∀x f x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥-=-=-≤-2

37)2()(2

2

m in a f x f a

或⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≥--=-=≤-≤-243)2()(2222

m in a a a f x f a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥+==>-27)2()(22m in a f x f a ， 即a 的取值范围为]222,5[+--.

点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用m x f >)(恒成立m x f >⇔m in )(；m x f <)(恒成立m x f <⇔m ax )(.本题也可以用零点分布策略求解.

4 变量分离策略

例4 已知函数|54|)(2--=x x x f ，若在区间]5,1[-上，k kx y 3+=的图象位于函数f (x )的上方，求k 的取值范围.

解析 本题等价于一个不等式恒成立问题,即对于543],5,1[2++->+-∈∀x x k kx x 恒成立,式子中有两个变量,可以通过变量分离化归为求函数的最值问题. 对于543],5,1[2

++->+-∈∀x x k kx x 恒成立3

5

42+++->⇔x x x k 对于]5,1[-∈∀x 恒成立,令

]5,1[,3

5

42-∈+++-=x x x x y ,设]8,2[,3∈=+t t x ,则],8,2[,10)16(∈++-=t t t y 4=∴t 当,即x =1

时2m ax =y , ∴k 的取值范围是k >2.

变式 若本题中将k kx y 3+=改为2)3(+=x k y ，其余条件不变，则也可以用变量分离法解.

由题意得，对于54)3(],5,1[2

2

++->+-∈∀x x x k x 恒成立2

2)

3(54+++->

⇔x x x k 对于

]5,1[-∈∀x 恒成立,令]5,1[,)3(542

2-∈+++-=

x x x x y ,设]8,2[,3∈=+t t x ,则

,169)454(1101622

+--=-+-

=t t t y ]8,2[∈t ， 时即当

5

1,454==∴x t ,169max =y , ∴k 的取值范围是k >169.

点评 本题通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，本题构造的函数求最值对学生来说有些难度，但通过换元后巧妙地转化为“对勾函数”，从而求得最值. 变式题中构造的函数通过换元后转化为“二次函数型”，从而求得最值.本题也可以用零点分布策略和函数最值策略求解. 练习：

在∆ABC 中，已知2|)(|,2cos )2

4

(sin sin 4)(2<-++

=m B f B B

B B f 且π

恒成立，求实数m 的范围。 解析：由

]1,0(sin ,0,1sin 22cos )2

4(

sin sin 4)(2∈∴<<+=++

=B B B B B

B B f ππ

，]3,1()(∈B f ，2|)(|<-m B f 恒成立，2)(2<-<-∴m B f ，

即⎩⎨⎧+<->2

)(2)(B f m B f m 恒成立，]3,1(∈∴m

5 数形结合策略

例5 已知恒成立有时当2

1)(,)1,1(,)(,1,02<-∈-=≠>x f x a x x f a a x

，求实数

a 的取值范围。

解析：由x x a x a x x f <-<-=2

121)(22，得，在同一直角坐标系中做出两

个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由

1222

1

)1(211-=--=-a a 及得到a 分别等于2和0.5，并作出函数

x x y y )21(2==及的图象，所以，要想使函数x a x <-2

1

2在区间)1,1(-∈x 中