随机模拟分析方法研究

题目：随机模拟方法研究

学生姓名吴含

学院名称建筑工程学院

专业水工结构工程

学号2014205151

随机模拟方法研究

摘要随机模拟方法，也称为蒙特·卡罗（MonteCarlo）方法。它的基本思想是：为了求解数学、物理、工程技术以及生产管理等方面的问题，首先建立一个概率模型或随机过程，使它的参数等于问题的解；然后通过对模型或过程的观察或抽样试验来计算所求参数的统计特征，最后给出所求解的近似值。所谓随机模拟，是指根据收集的信息，人工合成反映变量Z(u)空间分布的模型，且该模型是可选的、高精度的和等概率的。本文根据文献及相关数据查阅，简单描述总结了随机模拟方法在地质建模、风险分析、水文随机模拟等领域中的一些应用。

1.随机模拟方法的起源及思想

随机模拟方法，或称蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，是一种基于“随机数”的计算方法。二十世纪四十年代中期，由于科学技术的发展和电子计算机的发明，蒙特卡罗方法作为一种独立的方法被提出来，这一方法源于美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。

Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、

快速地模拟这样的试验成为可能。

考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点，有M个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N。

可用民意测验来作一个不严格的比喻。民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见，而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者。其基本思想是一样的。

科技计算中的问题比这要复杂得多。比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”(Course Dimensionality)，传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。Monte Carlo方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量。为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。

另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础不同的方法—“拟蒙特卡罗方法”(Quasi-Monte Carlo方法)—近年来也获得迅速发展。我国数学家华罗庚、王元提出的“华—王”方法即是其中的一例。这种方法的基本思想是“用确定性的超均匀分布序列(数学上称为Low Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法中的随机数序列。对某些问题该方法的实际速度一般可比Monte Carlo方法提出高数百倍，并可计算精确度。

蒙特卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。

2随机模拟方法介绍

2.1随机模拟方法基本原理

由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可以认为该事件的发生频率即为其概率。因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构是否失效，最后从中求得结构的失效概率。蒙特卡罗法正是基于此思路进行分析的。

X(i=1，2，3，…，k)，它们对应的概率密度设有统计独立的随机变量

i

函数分别为1()f x ，2()f x ，…，()k f x ，功能函数式为Z=g(1x ，2x ，…，k x )。

首先根据各随机变量的相应分布，产生N 组随机数1x ，2x ，…，k x 值，

计算功能函数值i Z =g(1x ，2x ，…，k x ) (i =1，2，…，N)，若其中有L 组随

机数对应的功能函数值i Z ≤0，则当N→∞时，根据伯努利大数定理及正态

随机变量的特性有：结构失效概率，可靠指标。

从蒙特卡罗方法的思路可看出，该方法回避了结构可靠度分析中的数学困难，不管状态函数是否非线性、随机变量是否非正态，只要模拟的次数足够多，就可得到一个比较精确的失效概率和可靠度指标。特别在岩土体分析中，变异系数往往较大，与JC 法计算的可靠指标相比，结果更为精确，并且由于思路简单易于编制程序。

2.2随机模拟方法特点

蒙特卡洛方法的特点有很多，主要优点如下：

（1）能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程。从这个意义上讲，蒙特卡罗方法可以部分代替物理实验，甚至可以得到物理实验难以得到的结果。用蒙特卡罗方法解决实际问题，可以直接从实际问题本身出发，而不从方程或数学表达式出发。它有直观、形象的特点。

（2）受几何条件限制小。在计算s 维空间中的任一区域D s 上的积分

s s D dx dx dx x x x g g s 21

21),,,(⎰⎰=

时，无论区域D s 的形状多么特殊，只要能给出描述D s 的几何特征的条件，就可

以从D s 中均匀产生N 个点

),,,()()(2)(1i s i i x x x ，得到积分的近似值。 ∑==N i i s i i s

N x x x g N D g 1)()(2)(1),,,(

其中D s 为区域D s 的体积。这是数值方法难以作到的。

另外，在具有随机性质的问题中，如考虑的系统形状很复杂，难以用一般数值方法求解，而使用蒙特卡罗方法，不会有原则上的困难。

（3）收敛速度与问题的维数无关由误差定义可知，在给定置信水平情况下，蒙

特卡罗方法的收敛速度为

)(2/1-N O ，与问题本身的维数无关。维数的变化，只引起抽样时间及估计量计算时间的变化，不影响误差。也就是说，使用蒙特卡罗方