结构力学第12章超静定结构总论
9-1超静定结构的概念及超静定次数的确定
缺点
要求熟练掌握静定结构的构 造特点，否则易错。 基本结构与超静定次数判别 完全脱离，需另外选择。
最适用范围
构造相对简单 的结构 构造相对复杂 的结构
具体应用中建议先采用物理方法判别超静定次数，然后采用数学方法校 核。
注意的问题
超静定结构解除多余约束的方法有多种，对应的静定结构有多种形式，
但作为力法基本结构的静定结构必须几何不变。
§9-1 超静定次数和力法基本结构
超静定次数的判别
切断一个单刚结点（相当于去掉两个线位移约束和一个角位移约束）
X1 切断一个单刚 X2
X3
原结构
基本结构
数学方法：计算结构体系的自由度，如果自由度小于零，说明体系是
超静定结构，超静定次数为自由度的绝对值。 按平面链杆体系计算自由度： 结点数量8；链杆数量16；支杆数量3。 自由度W=2× (结点数)－(链杆数+支杆数) =2×8－(16+3)=－3 三次超静定。
Strucural Analysis School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§9-1 超静定次数和力法基本结构
超静定次数
力法基本未知量和基本结构是相互对应的。
若选择静定结构作为基本结构，那么基本未知量就是多余约束力，故， 基本未知量的数量就是多余约束的数量。 多余约束的个数称为超静定次数。若一个结构有n个多余约束，则称其 为n次超静定结构。 几次超静定?
§9-1超静定结构的概念、超静定次数的确定
§9-1 超静定结构的概念
• 超静定结构的几何特征和静力特征
几何特征：有多余约束的几何不变体系。 静力特征：仅由静力平衡方程不能求出所有内力和反力。 与静定结构相比的优点：内力分布均匀；能够内力重分布，抵抗破坏的能
结构力学第12章
43.4 3.5 －46.5 EB 1.6 0.1 1.7
E
－4.7
－0.2 －4.9
μBE=3/10=0.3
F
μBA=3/10=0.3
μBC=4/10=0.4
2
μCB=4/9=0.445 μCD=3/9=0.333
μCF=2/9=0.222
mBA
ql ql 41.7 kN .m mCB=41.7kN.m 40kN .m mBc 12 8
C
M远
M近
传递系数仅与远端支承有关
土木工程学院
5SAB=4iFra bibliotek远端支承 1 固定 铰支 1 定向支座
2i 转动刚度 C=1/2 4i － 3i i C= i －1
SAB=3i
1
传递系数
SAB=i
SAB=0
C=0
0 －1
1/2 0
土木工程学院
3、单结点结构在集中结点力偶作用下的力矩分配法 S iA M M MiA=4iθ=SiAθ B S i
3
远端看支承（远端支承不同，转动刚度不同）。
下列那种情况的杆端弯矩MAB=SAB MAB MAB ① ② θ
MAB 1
√
1 1
MAB
1
③ ）
④
转动刚度SAB=4i是（
A
i i
A
B
A
B
4i>SAB>3i
√ √ √
① ②
A
③
④
A
i i
B
B
i ⑤
B
i
Δ
土木工程学院
1、转动刚度S： 表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上=仅使杆 端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。 SAB=4i SAB=3i 0 2i
结构力学-渐近法和超静定影响线
M
18 / 57
第十二章 渐近法和超静定影响线
练习：用力矩分配法求图示结构弯矩图。
40 kN
q = 10 kN/m
A EI
4m
μ
MF
分 配 传 递
M
B
4m
EI C
6m
19 / 57
第十二章 渐近法和超静定影响线
例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图(EI=常
数) 。q
结点 B A
1
C
B
1
C
2ql
l
Al
k
M1A 传递系数
∑ M 1i =
S1i S1k
M
= μ1i M
=
M
μ 1i
传递弯矩
k
M
C i1
=
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1i
M
μ 1i
分配弯矩
9 / 57
第十二章 渐近法和超静定影响线 第二节 力矩分配法基本运算
注 意：
① 结点集中力偶M按指定方向为正。 ② 分配系数表示近端承担结点外力偶的比率，它等于该
杆近端的转动刚度与交与结点1的各杆转动刚度之和 的比值。 ③ 只有分配弯矩才能向远端传递。 ④ 分配弯矩是杆端转动时产生的近端弯矩，传递弯矩是 杆件近端转动时产生的远端弯矩。
10 / 57
第十二章 渐近法和超静定影响线 第二节 力矩分配法基本运算
2、单结点结构在跨间荷载作用下的计算
q
变形过程想象成两个阶段进行
B
1
C
固定+放松
A
q
R1P
• 固端弯矩引 B
1
起不平衡力
固定
C
矩R1P
结构力学教程——第12章 渐进法和超静定结构的影响线
性质，可得到柱子两端弯矩。
知识点 12.5-3
柱间有水平荷载作用时的计算
I=∞
A
C
q
i1 h1
B
i2 h2 D
I=∞
A
C
q
i1 h1
i2 h2
B
+
D
A
i1 h1 B
I=∞ C
i2 h2 D
P 单跨梁计算
P 力矩分配法
知识点
12.6 用机动法绘制连续梁的影响线
力法基本方程
11 Z1 1P 0
SBA 1 5
CBA 1
例2：作图示刚架的弯矩图
解 （1）固端弯矩
M
F AB
M
F BA
1 4 kN 3.3m 2
= 6.6kN m
M
F BC
M
F CB
1 (4 8.5)kN 3.6m 2
= 22.5kN m
（2）分配系数
SBA iBA 3.5 SBC iBC 5 SBE 3iBE 162
（http://structuremechanics/index1.htm）
1. 课程导入
连续梁桥
q
多跨连续梁
2. 结点力矩下单结点力矩分配
2.1 力矩分配法概念的提出 回顾位移法
例1：若梁线刚度 i 相同，求梁各杆端弯矩。
M
M
B
A
MBA MBC
M BA 4iB
B
θB
C
M AB 2iB
M BC 3iB
SCB 4 SCF 2 SCD 3
CB 0.445 CD 0.333 CF 0.222
解（1）转动刚度和分配系数
EI0=1
龙驭球《结构力学Ⅰ》(第三版)辅导系列-第12章 超静定结构总论【圣才出品】
第12章 超静定结构总论12.1 复习笔记一、广义基本结构、广义单元和子结构的应用1．力法中采用超静定基本结构（1）图12-1a 所示为一个三跨门式刚架，七次超静定，使用图12-1b 中所示的基本结构，包括三个超静定单元，基本未知力只有两个。
图12-1力法方程简化为（2）求系数和自由项时，必须使用超静定单元的内力公式和位移公式，可由有关设计手册查出。
（3）在力法中使用超静定的基本结构可以减少力法基本方程中的未知量个数。
2．位移法中采用复杂单元（1）位移法的基本思路是把结构分解成单元，再由单元的刚度公式装配成结构的刚度公式，建立位移法基本方程。
（2）通常作法的区别①减少了未知数的个数；②需要的单元种类增加不仅仅是等截面直杆。
（3）在选择这种基本结构时，必须先得出复杂单元的刚度方程，才能按基本结构进行位移法计算。
3．子结构的应用应用子结构进行分析的过程（1）将整个结构划分为几个子结构；（2）分别确定子结构的刚度或柔度特性；（3）将子结构进行整体分析。
二、分区混合法1．分区混合法的基本未知量——混合选用多余约束力和结点位移（1）分区混合法的特点把结构分为两部分，一部分是按力法分析，另一部分按位移法分析，兼有力法和位移法的双重优点。
（2）分区的基本未知量图12-2①a 区按照力法以多余约束力X 1为基本未知量；②b 区按照位移法以结点角位移△2作为基本未知量。
2．分区混合法的基本体系——a 区去多余约束，b 区附加约束（1）基本体系如图12-2b 所示①在a 区去掉与支座反力X 1相应的多余支杆，代以可任意变化的变量力X 1；②在b 区增设与结点转角△2相应的附加约束，使△2成为可任意变化的变量位移。
（2）图12-2b 中的基本结构兼备了力法基本结构和位移法基本结构的双重优点①a 区的各杆内力是静定的，可由平衡条件直接确定；②b 区的各杆都分隔成各自单独变形的直杆单元，单元杆端内力也可由转角位移方程和固端内力公式确定。
结构力学 力法计算超静定结构
子项目一 力法计算超静定结构
情景一 超静定结构的基本特征
学习能力目标
1. 能够解释力法的基本概念。 2. 能够确定超静定的次数，得到静定的基本结构。 3. 了解超静定结构的特点。
项目表述
试分析如图 3 – 1 所示超静定结构，确定它的超静定次数。
情景一 超静定结构的基本特征 学习进程
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
② 去掉一个固定铰支座（图 3 – 6a）或拆去一个单铰相当于去掉两个约束（图 3 – 6b），可用两个多余未知力代替。
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
③ 去掉一个固定支座（图 3 – 7b）或切断一刚性杆（图 3 – 7c），相当于去掉 三链接
③ 超静定结构的内力和各杆的刚度比有关，而静定结构则不然。在计算超静定 结构时，除了用静力平衡条件外，还要用到结构的变形条件建立补充方程。而 结构的变形条件与各杆的刚度有关，在各杆的刚度比值发生变化时，结构各部 分的变形也相应变化，从而影响各杆的内力重新分布。利用在超静定结构中， 刚度大的部分将产生较大的内力，刚度较小的部分内力也较小的特点，可以通 过改变杆件刚度的方法来达到调整内力数值的目的。 ④ 在局部荷载作用下，超静定结构与静定结构相比，具有内力分布范围大，内 力分布较均匀，峰值小，且变形小、刚度大的特点。如图 3 – 9a 所示是三跨连 续梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线，由于梁的连续性，两边跨也产生内 力和变形，最大弯矩在跨中为 0.175Fl。图 3 – 9b 所示是多跨静定梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线，由于铰的作用，两边跨不产生内力和变形，最大 弯矩在跨中为 0.25Fl，约为前者的 1.4 倍。
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
结构力学超静定结构的内力和位移计算PPT课件
第5页/共29页
力法方程中的柔度系数与自由项，都是力法基本结构在已知力作用下的位 移，相应的计算公式为
dii
M
2 i
ds
EI
FN2i ds EA
kFS2i ds GA
dij d ji
MiM j ds EI
FNi FNj ds EA
kFSi FSj ds GA
FNitl
Dt h
M i ds
13
第13页/共29页
例题5-7. 图示刚架，外侧温度升高20oC，内侧温度升高30oC，试用力法求解并作出M图。已 知杆件横截面为矩形截面，高度h=l/10，EI=常数，材料线膨胀系数为。
原结构
力法基本结构
FN1
M1
M图
d11 X1 D1t 0
d11
1 EI
(1 l 2
d n1 X1 d n2 X 2 d nn X n DnP Dn 0
对于力法典型方程，应注意理解与掌握以下几点： (1) 力法典型方程的物理意义，是多余约束处的位移方程； (2) dij称为结构的柔度系数，其定义是j方向的单位力引起的i方向的位移，第1个下标表示 发生位移的位置，第2个下标表示产生位移的原因。位移互等定理，dij=dji。主柔度系数必 为正，即dii>0。副柔度系数dij可为正、负或0。柔度系数为结构的固有特性，与荷载等外 界因素无关； (3) 自由项DiP的物理意义是，荷载单独作用在力法基本结构上产生的沿Xi方向的位移，可 为正、负或0； (4) 力法方程也称为柔度方程，力法也称为柔度法；
D1P
X1 2d EA
FN
若将上弦杆DE去掉，其基本结构如示。此时，在X1与荷载共同作用下，D、E两点沿轴方向的相对线位移不
龙驭球《结构力学Ⅱ》(第3版)章节题库-第十一章至第十八章【圣才出品】
（2）利用已知（a）作弯矩图。MP， M 1 如图 12-3
图 12-3 （3）图乘法计算系数和常数
5 / 52
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
（4）确定基本未知量 （5）作最后弯矩图如 12-4。
图 12-4 3．对图 12-5a 所示刚架选择计算方法，并作 M 图。
分配系数为
“固端弯矩”为杆 CE、BD 因其两端有相对线位移△1＝1 所产生的杆端弯矩，即
力矩分配计算（过程略）可得 图，如图 12-5c 所示。由杆端弯矩求得杆端剪力为
由此求得
7 / 52
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
（4）求自由项 F1p 用力矩分配法求荷载作用下图 12-5b 所示基本结构的 Mp 图，分 配系数同上。固端弯矩为
3 / 52
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
第 12 章 超静定结构总论
1．图 12-1 所示结构各杆 EI 均为常数。试问求图示结构内力时采用什么计算方法最简 便？（各小题均可简化到只有一个基本未知量。）
图 12-1
解：（a）力法；（b）半结构，位移法（或力矩分配法）；（c）分解荷载，半结构，力法： （d）半结构，位移法（或力矩分配法）；（e）q 作用下，取半结构，位移法；FP 分解，在 反对称分量下取半结构，无剪力分配法；（f）取 结构，力法。
图 12-5
6 / 52
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
解：（1）分析可知，若仅用力法或位移法求解，基本未知量过多。又因结点 D 有竖向 线位移，不能单独用力矩分配法，可运用位移法与力矩分配法联合求解。
结构力学各章节思考习题
积分573 帖子477 2012-5-31 22:02平面体系的几何组成分析：1、确定计算自由度W 时应注意些什么？2、如何理解三刚片六链杆的的几何不变体系？3、在几何组成分析中，装置能否重复利用？4、在几何组成分析中，瞬铰在无穷远时如何下结论？5、体系内部作构造等效变换时，会改变其几何组成特性？6、瞬变体系为何不能用作结构？其特点是什么？7、如何区分瞬变体系和常变体系？8、当体系不能用三角形规则进行几何组成分析时怎么处理？9、对体系如何进行运动分析？一切坏的刚刚好！！！积分573 帖子477 2012-5-31 22:15静定结构的受力分析：1、如何理解用分段叠加法作弯矩图？2、在竖向荷载作用下斜梁内力有什么特点？3、求静定结构反力和内力时，外力偶可以随意移动？4、如何快速作出静定刚架的弯矩图？5、仅仅已知静定梁的弯矩图，能否求得与其相应的荷载？6、如何利用对称性进行静定结构内力分析？7、在荷载作用下曲杆内力图有何特点？8、任意荷载下拱形结构都存在合理拱轴线？9、静定组合结构在受力上有何优点？10、什么叫做复杂桁架？如何求其内力？11、如何选择静定桁架的合理外形与腹杆布置？12、如何证明静定结构约束力解答唯一性原理？一切坏的刚刚好！！！积分573 帖子477 2012-6-2 07:58虚功原理与结构位移计算：1、利用刚体系虚位移原理求静定结构约束力的优缺点何在？计算虚位移有哪些方法？2、利用刚体系虚位移原理能否同时计算多个约束力？3、怎样利用刚体系虚位移原理建立静定梁和刚架的弯矩方程？4、在变形体虚功原理中，两个状态的变形体是否必须为同一体系？5、为什么说荷载作用下的位移计算公式：Δ＝∑∫（MMp/EI）ds＋∑∫（NNp/EA）ds＋∑∫（kQQp/GA）ds对曲杆来说是近似的？6、如何计算静定结构在荷载作用下某点的全量线位移？7、计算平面刚架的位移时，忽略剪切变形和轴向变形引起的误差有多大？8、用图乘法求位移时哪些情况容易出错？9、增加各杆刚度就一定能减小位移吗？10、有应力就一定有应变，有应变就一定有应力，这种说法对吗？11、功的互等定理中，体系的两种状态应具备什么条件？12、在位移互等定理中，为什么线位移与角位移可以互等？在反力—位移互等定理中，为什么反力与位移可以互等？互等后的两个量的量纲是否相同？一切坏的刚刚好！！！积分573 帖子477 2012-6-2 08:17力法：1、在力法中为什么可以采用切断链杆后的体系作为基本体系？2、对力法的基本结构有何要求？3、在力法计算中，可否利用超静定结构作为基本结构？4、在超静定桁架和组合结构中，切开或撤去多余链杆的基本体系，两者的力法方程有何异同？5、应用力法时，对超静定结构做了什么假定？他们在力法求解过程中起什么作用？6、用力法计算超静定结构的解是唯一的吗？7、满足力法方程能使基本体系与原结构在所有截面的对应位移都相同吗？8、超静定结构发生支座位移时，选择不同基本体系，力法方程有何不同？9、在力法计算中利用组合未知力有何优点？组合未知力能否任意选择？10、求力法方程中的系数与自由项时，单位未知力与荷载可否加与不同的基本体系？11、用变形条件校核超静定结构内力计算结果时应注意什么？12、支座位移产生的自内力如何校核？13、温度变化引起的自内力如何校核？14、在力法计算中，什么情况下可用刚度的相对值？为什么？一切坏的刚刚好！！！积分573 帖子477 2012-6-2 13:10位移法：1、位移法是怎样体现结构力学应满足的三方面条件？（平衡条件、几何条件、物理条件）2、在弯曲杆件刚度方程中，什么情况下可以由杆件内力确定杆端位移？3、铰接端角位移和滑动支承端线位移为什么不作为位移法的基本未知量？4、固端力表中三类杆件的固端力之间有何关系？5、固铰化法确定结点独立线位移时应注意些什么？6、弹性支座处杆端位移是否应为位移法基本未知量？7、什么情况下独立结点线位移可以不作为位移法基本未知量？8、非结点处的截面位移可作为位移法的基本位置量吗？9、位移法的两种计算方法的基本方程是否相同？它们的关系是什么？10、位移法可否求解静定结构？11、具有刚性杆件的结构用位移法计算时应注意什么问题？一切坏的刚刚好！！！积分573 帖子477 2012-6-2 14:27渐近法与近似法：1、力矩分配法和位移法有何异同？2、连续梁端部若带有静定伸臂部分，用力矩分配法计算时怎样处理？应注意什么？3、力矩分配法的计算过程收敛于真实解吗？4、怎样估算力矩分配法的计算误差？5、用力矩分配法计算时如何处理结点力偶荷载？6、用力矩分配法求出杆端弯矩后，怎样求结点角位移？7、柱的侧移刚度和侧移柔度有什么关系？对于各柱并联的刚性横梁刚架怎样由各柱的侧移刚度和总侧移柔度？8、各柱串联的刚性横梁多层刚度顶端的总侧移刚度与单柱侧移刚度是什么关系？刚架总侧移柔度与单柱侧移柔度又是什么关系？9、什么是复式刚架？刚架顶部的总侧移刚度如何计算？一切坏的刚刚好！！！xiaotao_10积分0帖子1 #82012-6-2 21:49⊙﹏⊙b汗0 分积分573 帖子477 2012-6-2 22:15超静定结构总论：1、超静定结构在荷载作用下的内力分布随各部分刚度比值变化的规律是什么？2、在荷载作用下，当超静定结构各部分刚度比值变化时，内力分布是否必定随之变化？3、刚架计算中什么情况下需要考虑轴向变形的影响？决定轴向变形影响大小的主要因素是什么？4、刚架计算中什么情况下需要考虑剪切变形的影响？决定剪切变形影响大小的主要因素是什么？5、荷载作用下超静定梁和刚架的变形图怎样绘制？6、当支座移动时，超静定梁和刚架的变形图怎样绘制？7、当温度变化时，超静定梁和刚架的变形图怎样绘制？一切坏的刚刚好！！！积分573 帖子477 2012-6-3 08:00影响线及其应用：1、如何绘制移动的单位力偶作用下静定结构内力的影响线？2、机动法绘制间接荷载作用下的影响线应注意什么？3、如何求静定结构位移影响线？4、静定结构位移影响线和超静定结构内力影响线都是由曲线组成的吗？5、在行列荷载作用下，确定与其某截面剪力极大（小）值对应的荷载临界位置时，如何应用判别式？6、当左右微动荷载∑Rtanα均为正值（或负值）时，荷载应怎样移动才能得到临界位置。
李廉锟《结构力学》(第5版)(下册)课后习题-第12章 结构动力学【圣才出品】
第12章 结构动力学复习思考题1．怎样区别动力荷载与静力荷载？动力计算与静力计算的主要差别是什么？答：（1）静力荷载：指施力过程缓慢，不致使结构产生显著的加速度，因而可以略去惯性力影响的荷载；动力荷载：指将使结构产生不容忽视的加速度，因而必须考虑惯性力的影响的荷载。
主要差别在于是否考虑惯性力的影响。
（2）计算上的差别：①计算式中是否加入惯性力的数值；②静力计算时，结构处于平衡状态，荷载的大小、方向、作用点及由它引起的结构的内力、位移等各种量值都不随时间而变化；而动力计算时，结构将发生振动，各种量值均随时间而变化；③动力分析方法常与荷载类型有关，而静力分析方法与荷载类型无关。
2．何谓结构的振动自由度？它与机动分析中的自由度有何异同？如何确定结构的振动自由度？答：（1）结构振动的自由度是指结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独立参数的数目。
（2）机动分析中的自由度简称静力自由度（又称动力自由度）。
①两者相同点：在数学意义上是一致的，都是强调体系空间质量所需的几何参量的个数。
②不同点：静力自由度是机构移动即刚体位移，排除了各个组成部件的变形运动；而动力自由度是变形位移导致机构位置改变，即体系变形过程质量的运动自由度。
（3）确定结构振动自由度的两种方法：①直接由确定质点位置所需的独立参数数目来判定；②加入最少数量的链杆以限制刚架上所有质点的位置，则该刚架的振动自由度数目即等于所加入链杆的数目。
3．建立振动微分方程有哪两种基本方法？每种方法所建立的方程代表什么条件？答：（1）建立振动微分方程的两种基本方法：刚度法和柔度法。
（2）刚度法代表力的平衡条件，柔度法代表变形协调条件。
4．为什么说结构的自振频率和周期是结构的固有性质？怎样改变它们？答：（1）自振频率和周期是结构的固有性质的原因：结构的自振频率和周期只取决于结构自身的质量和刚度，反映着结构固有的动力特性，而外部干扰力只能影响振幅和初相角的大小并不能改变结构的自振频率。
结构力学期末超静定总复习
３．利用叠加法求Ｍ图 M AC M 1 X 1 M 2 X 2 M P
（右侧受拉）
（试题）（同作业） 用力法计算图示结构，并绘出M图。EI=常数。（20分） 解: 1) 选 取基本结构，确定基本未知量x1、x2。 2) 列力法方程 11x1 12 x2 1 p 0
10KN 4m
X1 1
2m 2m
21xi 22 x2 2 p 0
3)绘 M 1
X1 X2
M2
和
Mp 图
10KN
4) 求系数和自由项
11
1 1 64 ( 4 4 4) EI 3 3EI
2
M1
基本结构
4
10KN
22 12
1 1 256 ( 4 4 4 4 4 4) EI 3 3EI 1 1 32 21 ( 4 4 4) EI 2 EI
iP 实质上是计算静定结构的位移，对梁和刚架可采用“图乘法”计算。 y0 图乘法计算公式 基线同侧图乘为正，反之为负。 EI 2
主系数 ii
Mi ds EI
M
i
图自乘，恒为正。
副系数 ij 自由项
Mi M j EI
ds
M
i
图与 M j 图图乘，有正、负、零的可能。
1 hl 3
1 hl 2
举例：1.指出以下结构的超静定次数。
复铰
6次 4次
2.判断或选择 ⑴ 静定结构的内力计算，可不考虑变形条件。（√）
4次
通过静力平衡条件能 求出静定结构的全部 反力及内力。
⑵ 力法只能用于线形变形体系。
结构力学计算超静定梁结构力学PPT学习教案
Δ1 =0
(a)
第6页/共61页
等式左端表示基本结构在作用点的竖向线位移(沿方向 等式左端表示基本结构在作用点的竖向线位移(沿方向的
位移)，等号右端表示原结构在B点的 竖向线 位移。 设、分 别表示基本结构在及荷载单独作用时 ，作用 点沿方 向的位
移，其符号都以沿假定的方向为正， 见图7-4(c)、(d)，根 据 叠加原理，变形协调条件式(a)可写为
图7-5
由于虚拟状态的 M 图与 M 1 图相同，故
11
M 1 M ds 1 (1 l l 2 l) l3
EI
EI 2
3
3EI
1P
M 1M P ds EI
1 [1 l (2 l Fl l Pl )]
EI 6 2
2 22
5Fl 3
48EI
(5) 解力法方程。
X1
q
C X1
"基本体系"
在力法中把原超静定结构称 (c) A
为原结构，去掉多余联系后
11
B
C
X1
的静定结构称为基本结构。
q
(d)
所去掉的多余联系，则以相 A
B
C
ip
应的多余未知力X1来代替。
图7-
第5页/共61页
4
这样，基本结构就同时承受着荷载和多余未知力X1的作用， 基本结构在原有荷载和多余未知力X1共同作用下的体系称为 力法的基本体系。现在分析一下如何计算X1 。对原结构讲它 代表B支座反力，是一个被动力，而对基本结构来讲它是一
链杆不是多余约束。
(a)
(b)
(c)
(d)
A
B
A
B X1
结构力学李廉锟 第12章_结构极限
Fu l Mu 4
求得极限荷载为
Mu Fu l
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载
超静定梁：具有多余联系，只有出现足够多的塑性铰，才能 使其成为破坏机构。 图(a)所示等截面梁，梁在弹性阶 段的弯矩图如图b，截面A的弯矩最大。 荷载增大到一定值时，A先出现塑 性铰。如图c，A端弯矩为Mu，变成静 定的问题。此时梁未破坏，承载能力未 达到极限。 荷载继续增大，跨中截面C的弯矩 达到Mu，C截面变成塑性铰。如图d， 此时梁成为几何可变的机构，达到极限 状态。
§12-7 刚架的极限荷载
刚架极限荷载计算时忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。
穷举法
图a所示刚架，各杆分别为等截面 杆，由弯矩图的形状可知，塑性铰只可 能在A、B、C（下侧）、E（下侧）、 D五个截面出现。 此刚架为3次超静定，只要出现4个 塑性铰或一直杆上出现3个塑性铰即成 为破坏机构。可能的机构形式有 机构1（图b）：横梁上出现3个塑性铰， 又称“梁机构” Mu F 3 2Fa M u 2M u 2 M u a
§12-2 极限弯矩和塑性铰· 破坏机构· 静定 梁的计算
由图(e)可推得 M u SWS WS—塑性截面系数，受压和受拉部分面积对等分截面轴的静矩之和。
bh2 当截面为bh的矩形时 WS 4
2 bh 弹性截面系数为 W 6
bh2 故 Mu S 4
bh2 屈服弯矩为 M S S 6
Mu MC 2 F 2a 2M u Fa 2.29 M u 2 4 M C 0.42M u M u
满足内力局限条件，此机构即为 极限状态，极限荷载为
Mu Fu 2.29 a
§12-8 矩阵位移法求刚架极限荷载的概念
自考结构力学_超静定结构的内力和位移
取C结点，如图6.12c所示，由∑y=0 得： 4 NCA = QCB = ql 7
取结点B，由∑X=0 ，已知 3 得 NBC = ql 7
3 x2 = ql 7
图6.12 求各杆轴力及剪力
三、力法典型方程
支座移动时的计算
X1
d11 X 1 d12 X 2 D1c = 0 h d 21 X 1 d 22 X 2 D 2c =
1、力法基本未知量 结构的多余约束中产生的多余未知力（简称多 余力）。
2、力法基本体系 力法基本结构，是原结构拆除多余约束后得到的 静定结构；力法基本体系，是原结构拆除多余约束 后得到的基本结构在荷载（原有各种因素）和多余 力共同作用的体系。
3、力法基本方程 力法基本体系在多余力位置及方向与原结构位移 一致的条件。 方程中的系数和自由项均是静定结构的位移计算 问题，显然，超静定转化为静定问题。
1 (d 11 ) k 25 X 1 = ql ( ) 32 5 X 1 = ql ( ) (c) 4
？
基 本 体 系
M图由M = M1 X1 M P 作出：
温度内力的计算
画出 M 1 , M 2 , N1 , N 2 图 计算
t1 t1 t2 t1 X1
t1 t2
梁刚架： 系 数 桁 架：
d d
d
M i yi = i ds= ii EI EI j yi Mi M j ds = ij = EI EI 2 N l = i ii EA
2
自由项
梁刚架：
桁 架：
d ij = EA M M ds D iP = EI
Ni N jl
d11 X1 d12 X 2 D1P = 0 d 21 X1 d 22 X 2 D2 P = 0
结构力学之超静定总论
例14-2 用反 弯点法计算图 示结构,并画弯
矩图.
G
8kN
12
②
D
17kN
12
③
A
3.6m
H
③
E
④
B
83k.7N8
3.78
31.77k8N 17.28
13.5 5.64
EI 486.7
i
E-4C133.03
EI 4
64.B0A
2 -654.0
BE
3 586.7
C-8E 6.7
2 3
40EI iCD 8
C
D
40
1 3
MAB MBA q1l22
2082 106.7kN.m 86.712
M D C 6420240kN.m
40
MCD
3Pl 16
m 2
3100820130kN.m 16
实体梁代替屋架
h 柱高
l 跨度
l
上下柱截面形心连线不是一条直线。在计算简图上用一条 直线表示。如柱顶为刚结，取上柱轴线为柱的轴线，如柱顶为 铰结，取下柱轴线为柱的轴线。
2）以实体杆件代替格构式杆件。
N 屋架按桁架计算
3）杆件的刚度简化 如在计算刚架的位移时，忽略轴向变形的影响。 当刚架的横梁刚度远大于竖柱刚度且受水平荷载作用时，
5I
C
3I
3I
E
F
用力矩分配法，并 求出F1P、k11
k1 11F1P0
再叠加M图。
4I D
例题12-10 试用联合法求图示 刚架的弯矩图。
龙驭球《结构力学》笔记和课后习题(含真题)详解(超静定结构总论)【圣才出品】
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
图 12-12
实际结构
基本体系
图 12-8
1．分区混合法的基本未知量和基本体系
a 区：多余约束少，结点位秱多的部分——用力法分析，基本体系去除多余约束；
b 区：多余约束多，结点位秱少的部分——用位秱法分析，基本体系中附加约束。
2．混合法的基本方程（发形协调条件和平衡方程）
3．基本方程中的四类系数和两类自由项
图 12-9
代入方程组，解得： 叠加法绘制弨矩图
图 12-10 4．分区混合法的典型方程：
6 / 63
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
是 a 区不力 X 相应的柔度矩阵； K 是 b 区不位秱 相应的刚度矩阵；
' 是由位秱 引起的沿力 X 方向的位秱影响系数矩阵；
图 12-6
代入方程得； 利用弨矩叠加公式：
绘制弨矩图
图 12-7
二、分区混合法 混合法是指，在所叏的基本未知量中，即有位秱又有力，二者混杂在一起。混合法有两 种应用方式：分区混合法和全区混合法，这里只介绍前者。以图 12-8 为例迚行分析。
4 / 63
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
主系数11 ——此即力法中的柔度系数；
主系数 k 22 ——此即位秱法中的刚度系数；
副系数
' 12
——单位位秱
1
1 引起的位秱；
副系数 k1'2 ——单位位秱 X1 1 引起的约束力。
系数和自由项的求法：
5 / 63
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
结构力学超静定结构总论
110.3
由几何关系，得 12 7
由图乘法，得
D1P
1 3
5 160
3 4
3
1 3
41605 3400
§12-2 分区混合法
（4）求杆端弯矩
由杆件的刚度方程，得
M BA
4iAB2
4
3 4
2
32
M BC
4iBC2
4
1 4
2
2
由平衡条件，得
M BD 7 X1 160
故
42 7 X1 160 0
§12-4 结构计算简图续论
2 交叉体系的荷载传递方式及其简化 （1）矩形楼板的简化计算
矩形楼板
两个方向分别取1m 宽板带计算
§12-4 结构计算简图续论
短边方向的简图
长边方向的简图
根据两个简图跨中挠度相等的条件，得
q1 q2 l2 l1 4
§12-4 结构计算简图续论
故，实际工程中将板分成两类： ▲双向板：长短边之比＜2，板上的荷载沿两个方向传递。 ▲单向板：长短边之比≥2，板上的荷载沿短边方向传递。 （2）拱坝的简化计算
m2
FP EI
M M1X1 M22 MP
§12-2 分区混合法
4 混合分区的典型方程
k
k
X
DP FP
0 0
——a区与力X相应的柔度矩阵
k ——b区与位移Δ相应的刚度矩阵
——由位移Δ引起的沿力X方向的位移影响系数矩阵
k ——由力X 引起的沿位移Δ方向的约束力影响系数矩阵
EI
EA
GA
度改变内力分布
§12-3 超静定结构的特性
3 温度和沉陷等变形因素的影响
11 X1 12 X 2 L 1n X n 1t 1c 0 21 X1 22 X 2 L 2n X n 2t 2c 0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
11X1 122 D1P 0
k21X1 k222 F2P 0
§12-2 分区混合法
11 a
2
M1 a
144m3 ds
EI
EI
k216m, 126m
D 1P a
M 1a E IM Pads12 E m I3F P
k22
b
2
M2 b ds2EI
EI
MM1X1MP
M
图
P
M图
§12-1 广义基本结构、广义单元和子结构的应用
位移法求解：
k111F1P 0
M
图
1
基本结构
3 i k 11 24 i 7
k11475i F1P35q6l2 1F 1Pk1 1q l21 2 0 i
MM11MP
M
图
P
ql2 ql2 8 1 4 F 1P
M图
§12-2 分区混合法
和位移公式。
§12-1 广义基本结构、广义单元和子结构的应用
2 位移法中的复杂单元
与通常作法的区别：
▲减少了未知数的个数。
▲需要的单元种类增加了， 不仅仅是等截面直杆。
实际结构
需要的单元种类可以是：
基本结构
§12-1 广义基本结构、广义单元和子结构的应用
3 子结构的应用 应用子结构进行分析的过程：
M BA4iAB243 4232 M BC4iBC241 422
由平衡条件，得
MBD7X1160
故
427X11600
（5）解方程
X 1 3 0 .0 3 k N2 1 2 .5 5
§12-2 分区混合法
（6）作弯矩图 MM1X1MP
§12-3 超静定结构特性
1 多余约束的存在及其影响
（1）防护能力：超静定结构具有较强的防护能力。 （2）荷载作用范围和大小
预应力——典型例子
§12-4 结构计算简图续论
实际结构
1分区混合的基本未知量 和基本体系
多余约束少、结点位移多的部分
——用力法分析（a区） ； 多余约束力多、结点位移少的部分
——区用位移法分析（b） 。
基本体系
1. 2 混合分区的基本方程
2.
——变形协调条件和平衡
条件
11X1 122 D1P 0
k21X1 k222 F2P 0
§12-2 分区混合法
首先，将整个结构划分为几个子结构； 然后，分别确定子结构的刚度或柔度特性； 最后，将子结构进行整体分析。
§12-1 广义基本结构、广义单元和子结构的应用
4 例题 已知：EI=常数。 求：连续梁内力。
力法求解：11X11P 0
11
5l 8EI
1P
ql3 16EI
M
图
1
X1
1P
11
ql2 10
MnXn FNnXn FQnXn
温度和沉陷等变形引起的内力一般与刚度的绝对值成正比
§12-3 超静定结构的特性
（1）设计时要注意防止、消除或减轻自内力的影响
▲地基的不均匀沉降是产生自内力、发生工程事故的 主要原因之一。 ▲上部结构温度变化会产生自内力，建筑物超过一定 长度时要设温度缝，将建筑物基础以上部分分开。 （2）主动利用自内力来调节超静定结构的内力。
§12-1 广义基本结构、广义单元和子结构的应用
对超静定结构分析作一综合性的回顾，并作一些补充 第一、对计算方法加以比较和引申。
将力法中静定的基本结构引申到超静定的基本结构； 将位移法中的简单单元引申到复杂单元、子结构。 第二、补充混合型解法——分区混合法。 第三、对超静定结构的力学特征加以归纳和总结 第四、对结构计算简图作进一步讨论 第五、对剪切变形对超静定结构的影响作进一步讨论
结构力学第12章超静定结构总 论
第12章 超静定结构总论
§12-1 广义基本结构、广义单元和子结构的应用 §12-2 分区混合法 §12-3 超静定结构特性 §12-4 结构计算简图续论 §12-5 支座简图与弹性支撑概念 §12-6 结点简图与次内力概念 §12-7 剪切变形对超静定结构的影响 §12-8 连续梁的最不利荷载分布及内力包络图 §12-9 小结
§12-2 分区混合法
4 混合分区的典型方程
k
kX D FPP00
——a区与力X相应的柔度矩阵
k ——b区与位移Δ相应的刚度矩阵 ——由位移Δ引起的沿力X方向的位移影响系数矩阵
k ——由力X 引起的沿位移Δ方向的约束力影响系数矩阵
§12-2 分区混合法
例题 试用混合法求解刚架。
解 （1）选取基本未知量 （2）建立混合法基本方程
超静定结构内力分布比静定结构均匀，内力峰值也要小些。
§12-3 超静定结构的特性
（3）刚度和稳定性
刚度和稳定性都比静定结构强。
§12-3 超静定结构的特性
2 各杆刚度改变时对内力的影响
ij
MiMj
dsFNiFNj
dskFQiFQj
ds
超静定结构的内力与各 杆刚度的相对值有关
EI
EA
GA
iP
m
F 2 P F 2 P a F 2 P b 2 m F P 2 m F P 4 m F P
§12-2 分区混合法
144m3
EI
12m3
X1 6m2 EI
FP 0
6mX1m2 EI2 4mFP 0
X1
4m 27
FP
2
14 9
m
2
FP EI
M M 1X 1M 2 2M P
基本体系
11X1122 D1P 0
MBA MBC MBD 0
§12-2 分区混合法
（3）求系数和自由项
11 12532131243273
12471237110.3 由几何关系，得 12 7
由图乘法，得
D1P 13516043313
416053400
§12-2 分区混合法
（4）求杆端弯矩
由杆件的刚度方程，得
第六、补充连续梁最不利荷载分布和内力包络图。
§12-1 广义基本结构、广义单元和子结构的应用
1 力法中的超静定基本结构 力法中的基本结构也可以是超静定的。
实际结构
力法方程：
11X1 12X2 1P 0 11X1 12X2 1P 0
基本结构
与静定基本结构的区别： ▲减少了未知数的个数。 ▲需要使用超静定单元的内力
MiMP dsFNiFNP dskFQiFQP ds 通过改变杆件的刚
EI
EA
GA
度改变内力分布
§12-3 超静定结构的特性
3 温度和沉陷等变形因素的影响
11X112X2 1nXn 1t 1c 0 21X122X2 2nXn 2t 2c 0
n1X1n2X2 nnXn nt nc 0
MM1X1M2X2 FN FN1X1FN2X2 FQ FQ1X1FQ2X2