7第七讲(等直圆杆变形和梁约束力)解析

T
GI
dx
p
Tl
GI
p
扭转变形
材料力学教案
扭转变形和梁的约束力
例题：图示等直杆，已知直径d=40mm，a=400mm，
材料的弹性模量G=80GPa，DB=1°。试求： 扭转角 CA。
M
D
2M B a 2a
3M A
C a
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材料力学教案
一、作扭矩图
扭转变形和梁的约束力
M
2M
1 g d x d y d z 1 d Vε d W 2 vε g dV dV d xd yd z 2
由剪切胡克定律 =Gg，该应变能密度的表达式可写为
vε
2
2G
G 2 或 vε g 2
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应变能
材料力学教案
扭转变形和梁的约束力
Vε vε d V vε d A d x


D
4
32Tmax 180 1 15 π [j ] Gπ 16 32 9.56103 N m 180 1 3 125 . 5 10 m 15 π 0.3 ( ) / m 9 8010 P a π 16

4
3. 空心圆截面轴所需外直径为D≥125.5 mm(由刚度条件 控制)，内直径则根据 = d/D = 0.5知


D
3
16Tmax 15 π [ ] 16
3
16 9.56103 N m 109103 m 15 π 40106 Pa 16
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材料力学教案
2. 按刚度条件求所需外直径D
第三章 扭转 扭转变形和梁的约束力
4 Tmax 180 πD 4 π D 15 4 因 Ip 1 , 由 [j ] 有 32 32 16 GIp π
材料力学教案 上一讲学到：
扭转变形和梁的约束力
（1）等直圆杆扭转的应力计算。 （ 2 ） 等直圆杆扭转的变形规律、 应力分布规律。 （3）等直圆杆扭转的强度问题。
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材料力学教案
扭转变形和梁的约束力
第七讲
1、等直圆杆扭转变成和刚度问题 2、梁的约束力计算(静力学复习)
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二、表示扭转角 DB
D C B
3M
A
DB DC CB
2 M a M a 180 ( ) GI P GI P 3Ma 1 GI P
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a
2M
a
2a
3M
M
+
材料力学教案
三、计算扭转角 DB
扭转变形和梁的约束力
CA CB BA
1 1 d W d z d y g d x g d x d y d z 2 2
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应变能
材料力学教案
扭转变形和梁的约束力
单元体内蓄积的应变能dVε数值上等于单元体上外力所
作功dW，即dVε=dW 。单元体单位体积内的应变能，亦即
纯剪切应力状态下的应变能密度为
G= 80 GPa。轴的横截面上扭矩的最大者为Tmax = 9.56 kN· m， 轴的许可单位长度扭转角[j']=0.3 (°)/m。试选择轴的直径。
解: 1. 按强度条件求所需外直径D
3 Tmax πD3 π D 15 4 因Wp 1 , 由 max [ ]有 16 16 16 Wp
长度为 l 范围内的应变能亦可如下求得：
1 Vε W Tj 2 1 T 2l 2 GIp
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应变能
材料力学教案 弯曲的基本概念
扭转变形和梁的约束力
1.弯曲：杆的轴线在变形后成为曲线，这种变形称为弯曲
2.梁：以弯曲为主要变形的杆件称为梁。 3. 弯曲的基本特征: 具有纵向对称面(xoy平面） 外力都作用在此面内
d 62.75 mm
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材料力学教案 扭转应变能密度
扭转变形和梁的约束力
为计算其上的外力所作功dW可使左侧面不动，此时的切应力 仅发生在竖直平面内而只有右侧面上的外力 dydz在相应的位 移g dx上作功。 三峡大学 工程力学系
应变能
材料力学教案
扭转变形和梁的约束力
于是，当材料在线弹性范围内工作时( ≤p，见图b)，有
V l A
等直圆杆在扭转时积蓄的应变能
在扭矩T为常量时，长度为 l 的等直圆杆所蓄积的应
变能为
T 1 dA Vε d Ad x d x l A 2G A I 2G l p

2
2
2 l T2 T l 2 2 d A 2G I p A 2GI p
Tmax
180 [j ] GIp π
对于精密机器的轴[j']≈0.15~0.30 (°)/m； 对于一般的传动轴[j']≈2 (°)/m。
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刚度条件
材料力学教案
扭转变形和梁的约束力
例题: 由45号 钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比
= 0.5 。已知材料的许用切应力[ ] = 40 MPa，切变模量
D
M
2M
3M
C
B
A
3m 2a m a 180 ( ) GI P GI P 7m a 7 DB 2.33 GI P 3
a
2M
a
2a
3M
M
ห้องสมุดไป่ตู้
+
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材料力学教案
扭转变形和梁的约束力
[j ] jmax
刚度条件
式中的许可单位长度扭转角[j']的常用单位是(°)/m。此时， 等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：
材料力学教案 扭转变形
Me
扭转变形和梁的约束力
Me
g
A D BC
j
1、圆轴扭转时的变形是用相对扭转角 来度量的
d dx
T
GI
p
其中 d 代表相距为 dx 的两横截面间的相对扭转角。 长为 l 的一段杆两端面间的相对扭转角 可按下式计算
l d l
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Tl 由j 可知，亦有 GI p GI p 2 Vε j 2l
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应变能
材料力学教案
积的应变能为
扭转变形和梁的约束力
当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时，整个杆内蓄
Ti 2li Vε , i 1 2GI p
n
亦即 Vε
i 1
n
GIp 2li
ji2
在线弹性范围内工作的等直圆杆在扭矩T为常量，其