高一数学必修5不等式

高一数学必修5不等式与不等关系总复习学案(教师版)

编写:邓军民

一,复习

1.不等关系:参考教材73页的8个性质;

2.一元二次不等式2

0(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2

(0)y ax bx c a =++>、相应的方程2

0(0)ax bx c a ++=>之间的关系：

判别式

ac b 42-=∆

0>∆

0=∆ 0<∆

二次函数

c

bx ax y ++=2

（0>a ）的图象

一元二次方程

()的根

00

2

>=++a c bx ax

有两相异实根 )(,2121x x x x <

有两相等实根

a

b x x 221-

== 无实根

的解集

)0(02>>++a c bx ax

{}2

1

x x x x x ><或

⎭⎬⎫⎩

⎨⎧-≠a b x x 2

R

的解集

)0(02><++a c bx ax

{}21

x x x

x <<

∅

∅

3.一元二次不等式恒成立情况小结：

20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立⇔0

0a >⎧⎨∆<⎩．

2

0ax bx c ++<（0a ≠）恒成立⇔00a <⎧⎨∆<⎩

．

4.一般地，直线y kx b =+把平面分成两个区域（如图）：

y kx b >+表示直线上方的平面区域；y kx b <+表示直线下方的平面区域． 说明：（1）y kx b ≥+表示直线及直线上方的平面区域；

y kx b ≤+表示直线及直线下方的平面区域．

（2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．

5.基本不等式：

(1).如果R b a ∈,，那么ab b a 22

2

≥+．

≤

2

a b

+(0,0)a b >>． （当且仅当b a =时取“=”）

二.例题与练习

例１． 解下列不等式：

(1)27120x x -+>； (2)2

230x x --+≥； (3)2210x x -+<； (4)2

220x x -+<．

解：(1)方程2

7120x x -+=的解为123,4x x ==．根据2

712y x x =-+的图象，可

得原不等式2

7120x x -+>的解集是{|34}x x x <>或． (2)不等式两边同乘以1-，原不等式可化为2

230x x +-≤． 方程2

230x x +-=的解为123,1x x =-=．

根据2

23y x x =+-的图象，可得原不等式2

230x x --+≥的解集是

{|31}x x -≤≤．

(3)方程2

210x x -+=有两个相同的解121x x ==．

根据2

21y x x =-+的图象，可得原不等式2

210x x -+<的解集为∅．

(4)因为0∆<，所以方程2

220x x -+=无实数解，根据2

22y x x =-+的图象，可

得原不等式2

220x x -+<的解集为∅． 练习1.（1）解不等式

073

<+-x x ；（若改为307

x x -≤+呢？） （2）解不等式

23

17

x x -<+；

解:(1)原不等式⎩

⎨⎧>-<+⎩⎨⎧<->+⇔03,

0703,07x x x x 或{|73}x x ∴-<<

(该题后的答案:{|73}x x -<≤).

(2)10

07

x x -<+即{|710}x x ∴-<<. 例2.已知关于x 的不等式2

0x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤，某数,m n 之值．

解：

不等式2

0x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤

∴125,1x x =-=是20x mx n -+=的两个实数根，

∴由韦达定理知：5151m n -+=⎧⎨-⨯=⎩∴4

5m n =-⎧⎨=-⎩．

练习2．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<求不等式2

cx bx a -+>的解集．

解：由题意 23230

b a

c a a ⎧

+=-⎪⎪

⎪

⨯=⎨⎪

<⎪⎪⎩

， 即560b a c a a =-⎧⎪=⎨⎪<⎩．

代入不等式2

0cx bx a -+>得： 2650(0)ax ax a a ++><．

即2

6510x x ++<，∴所求不等式的解集为11{|}32x x -<<-．

例3．设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪

+≤⎨⎪≥⎩

，求z 的最大值和最小值．

解：由题意，变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当0,0x y ==时，

20z x y =+=，即点(0,0)在直线0l ：20x y +=上，

作一组平行于0l 的直线l ：2x y t +=，t R ∈，

可知：当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>，即0t >， 而且，直线l 往右平移时，t 随之增大． 由图象可知， 当直线l 经过点(5,2)A 时，对应的t 最大， 当直线l 经过点(1,1)B 时，对应的t 最小，

所以，max 25212z =⨯+=，min 2113z =⨯+=．

O y x A C

B 430x y -+= 1x = 35250x y +-=