无阻尼自由振动

Tmax Ts kA W kA 1.47 10 0.74 10
5 5
W
由于
动张力几乎是静张力的一半 2.21 105 ( N ) v kA k v km
0
为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度
13
固有频率计算的另一种方式：
m kx 0 x
x( ) x
令：
x( ) x
c1 b1 cos(0 ) b2 sin(0 ) c2 b1 sin(0 ) b2 cos(0 )
有：
x(t ) b1 cos0 (t ) b2 sin 0 (t )
b1 x
b2
能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振 动系统的固有频率来得更为简便的一种方法。
例1 图示系统。设轮子无侧向摆动，且轮子与绳子间
无滑动，不计绳子和弹簧的质量，轮子是均质的，半径为R，
质量为M，重物质量 m ，试列出系统微幅振动微分方程，
求出其固有频率。
解 ： 用机械能守恒定律 以x为广义坐标（取静平衡位置为原点） 1 Mx 2 1 MR 2 ( x ) 2 1 mx 2 T 2 2 2 R 2
1 1 2 2 U max k ( A st ) k st mgA 2 2 k st m g
1 2 U max kA 2
1 2 1 2 2 Tmax mx mA n 2 2
由 Tmax U max 1 1 2 2 2 m A n kA 2 2 k n m
0 k m x
31
例如：弹簧质量系统
0 x
设弹簧的动能:
k
mt m
系统最大动能：
1 Tt mt x 2 2
mt
弹簧等效质量
1 2 1 1 2 2 Tmax mxmax mt xmax (m mt ) xmax 2 2 2 1 2 系统最大势能： Vmax kx max 2
M
x
解：
M 由材料力学可知简支梁在 重物mg作用下的静变形为： m gl3 s 48EJ
x
故自由振动频率为： wn
g
s

48 EJ ml 3
以梁受重时平衡位置为坐标原点，以撞击时为0时候
x0 s， x0
则自由振动振幅为： A
2gh
s 2 2 gh
x0 2 x0 ( ) wn
x
T 2 / 0
初始条件的说明： 初始条件是外界能量转入的一 种方式，有初始位移即转入了 弹性势能，有初始速度即转入 了动能。
x0
0
A
0
t
10
例： 提升机系统
重物重 量 W 1.47105 N 钢丝绳的弹簧刚度
k 5.7810 N / cm
4
v
重物以 v 15m / min
弹簧原长位置
m
0

静平衡位置
k
I

k
x
m kx 0 x
0 k / m
I k 0
0 k / I
19
例：复摆
a
刚体质量 m 重心 C 对悬点的转动惯量 I 0
C
mg
0
I0
求： 复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率
20
解：
由牛顿定律 ：
I 0 mgasin 0
1 ( 3 M m) x 2 2 2
以平衡位置为计算势能的零位置， 并注意轮心位移x时，弹簧伸长2x
U k [( st 2 x) 2 st 2 ] ( M m) gx 2 2kx2 2k st x ( M m) gx
因平衡时
2k st x (M m) gx
0
x
8
时刻以后的自由振动解为：
xt x cos0 t
2.
0
x
sin 0 t
零时刻的初始条件：
x(0) x0
零初始条件下的自由振动：
x(0) x0
x(t ) x0 cos(0t )
x0 2 A x0 0
21
专题内容
•无阻尼自由振动 •能量法 •等效质量和等效刚度
22
2. 能量法： 无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。 当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统 动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势 能点）。 当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达 到最大值。 如：
单自由度系统自由振动
专题内容
•无阻尼自由振动 •能量法 •等效质量和等效刚度
2
运动过程中，总指向物体平衡位置的力称为恢复力。 物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位 置附近的振动称为无阻尼自由振动。 质量—弹簧系统：
单自由度系统自由振动
令x为位移，以质量块的静平衡位置 为坐标原点，当系统受干扰时，根据 牛顿第二定律，有：
例. 弹簧并联系统 和弹簧串联系统
并 联
串 联
的等效刚度
并联
st
F1 F2 , m g F1 F2 k1 k 2 mg , st k1 k 2
st st 1 st 2
mg mg 1 1 m g( ) k1 k2 k1 k 2 mg 1 1 m g( ) k eq k1 k 2 P
0
2
x0
sin( 0t ) A sin( 0t )
tg
1
x00 x0
9
结论：零初始条件下的自由振动：
x(t ) x0 cos(0t )
0
x0
sin( 0t ) A sin( 0t )
无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 0 为振动频率的简谐振动，并且永无休止。
m g (k1 k 2 ) st
根据定义据定义，等效 ：
ke P
st
ke


mg
st
k1 k 2


mg
st

k1k 2 k1 k 2
串联
ke k1 k 2
势能： U 1 k 2 x 2 1 k1 ( 1 x) 2 2 2 2
x
k2
m
1 1 (k 2 k1 ) x 2 2 4
29
解：
广义坐标：质量块的垂直位移 x
k1 R M
1 3 (m M ) x 2 2 8 1 1 势能： U (k 2 k1 ) x 2 2 4
动能： T
0

a
因为微振动： 则有 ：
sin
C
I0
I 0 mga 0
mg
固有频率 ： 0 mga/ I 0 若已测出物体的固有频率 0 ，则可求出 理，可得物质绕质心的转动惯量：
I c ，再由移轴定
I c I 0 ma2
这是实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法
xmax 0 xmax
0
k m mt
若忽略 mt ，则0 增大
32
专题内容
•无阻尼自由振动
•能量法
•等效质量和等效刚度
33
2. 等效质量与等效刚度法：
另一种定义: 使系统在选定的坐标上产生单位位移而需 要在此坐标方向上施加的力,叫做系统在这个坐 标上的等效刚度 使系统在选定的坐标上产生单位加速度而 需要在此坐标方向上施加的力,叫做系统在这个 坐标上的等效质量
m
R M
确定系统微振动的固有频率
k2
28
解：
广义坐标：质量块的垂直位移 x
k1 R M
动能： T 1 mx 2 1 M ( 1 x) 2 1 ( 1 MR 2 )( x ) 2 2 2 2 2 2 2R 1 1 1 (m M M ) x 2 2 4 8 1 3 (m M ) x 2 2 8
U 2kx2
由 T+U= const 有：
1 3 ( M m) x 2 2kx 2 const 2 2
对时间 t 求导，再消去公因子 x ，得
3 ( M m) 4kx 0 x 2
例：铅垂平面内一个滑轮-质量弹簧系统
k1
滑轮为匀质圆柱 ，绳子不可伸 长，且与滑轮间无滑动，绳右下 端与地面固结。
Tmax U max ,
2 0
max 0max
x
m
2k1 8k 2 3M 8m
2k1 8k2 0 3M 8m
k2
30
利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑 了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动 能，因此算出的固有频率是实际值的上限。这种简化方法在 许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本 身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算 出的固有频率明显偏高。
Iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

k
x
m kx 0 x
0 k / m
I k 0
0 k / I
18
从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着 惯性元件和弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度 的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产 生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度 或扭转刚度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使固 有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。
二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 对于任何一个单自由度系统，以x 为广义坐标（从平衡位 置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是：
a cx 0 x
a, c是与系统的物理参数有关的常数。令
则自由振动的微分方程的标准形式：
2 n x 0 x
2 n c / a
梁的最大挠度为：
max A s
圆盘扭转振动（角度位移坐标与直线位移坐标）
圆盘转动惯量 I
k
I

k
为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘 产生单位转角所需的力矩 ( N m / rad )
在圆盘的静平衡位置上任意选一根 半径作为角位移的起点位置
由牛顿第二定律：
I k 0 2 0
静平衡位置
W
x
W
x(t )
v
0
sin(0t ) 1.28sin(19.6t ) (cm)
x(t ) x0 cos(0t )
0
x0
sin( 0t )
12
振动解：
x(t )
v
0
sin(0t ) 1.28sin(19.6t ) (cm)
v
绳中的最大张力等于静张力与因振动引起 的动张力之和 ：
的速度均匀下降 W
求： 绳的上端突然被卡住时，（1）重物的振动频率， （2）钢丝绳中的最大张力。
11
解：
gk 19.6rad / s 振动频率 0 W
重物匀速下降时处于静平衡位 置，若将坐标原点取在绳被卡 住瞬时重物所在位置 则 t=0 时，有： x0 0 振动解：
v
k
x0 v
0
扭振固有频率
0 k / I
17
由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与直线振 动的数学描述是完全相同的。如果在弹簧质量系统中将 m、 k 称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完 全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广 义的 。
弹簧原长位置
m
0

静平衡位置
k
在静平衡位置： 则有：
k 0 m
m
弹簧原长位置
0

静平衡位置
m g k
k
x
k g 0 m
，则
14
对于不易得到 m 和 k 的系统，若能测出静变形 用该式计算是较为方便的 。
注意单位是“米”
例 2.3 一个质量为m的物体从h高处自由落下， 与一根抗弯刚度为EJ、长L的简支梁作完全非弹 性碰撞，不计梁的质量，求梁的自由振动的频 率和最大挠度。
方程的通解解为：x A sin(nt )
或： C1，C2由初始条件决定 这里A和φ与C1和C2的关系为：
考虑系统在初始扰动下的自由振动
x(t ) c1 cos(0t ) c2 sin( 0t ) A sin( 0t )
1.
设
t
的初始位移和初始速度为：
m mg k (s x) x
在静平衡时有：
m g ks
振动微分方程为：
m mg k (s x) x
m kx x
令 n2 k / m g / s
方程的通解为：
n2 x 0 x
x A sin(nt )
x A sin(nt )