定积分求平面图形的面积
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1.求曲线y 1x2与x 轴所围成的图形面积。
2．求曲线 y x2与直线 x=-１,x =1及x轴所围成的图形面 积.
3.求曲线y x2与 y 2- x2 所围成的图形面积。
1 4.求曲线 y 1 与直线y=x,x=2所围成的图形面积。
4 2 x
得交点 (0, 0) , (1, 1)
dA x x2d x
1
A
xx2 dx
0
23 x2
1x3
1
3 30
1 3
y
1y2 x (1,1)
2y x2
ox 1 x
4x d x
分析，归纳解题步骤： 0 0 1 1 0 0 1 0 11 .0 画1 0 草1 1 0 图1 ，0 0 求0 1 出0 1 曲0 0 线1 0 的1 1 交点坐标．
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
定积分的应用-----求平面图形面积
41 2
引入
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
1.复习定积分的定义及其几何意义
41 2 2.如何用定积分求平面图形的面积？
一、微元法
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
设曲线 y f (x) ( 0) 与直线 x a , x b (a b) 及 x 轴所围曲
边梯形面积为 A , 则
dA f (x)dx
2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积． 3.根据图形特点选择适当的积分变量 4．确定被积函数和积分区间，计算定积分，求出面
41 2 积。
y2 2x
y x4
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
y2 2x
y x4 (2, 2) , (8, 4)
b
A a f (x) dx
其中 dAf(x)dx为面积元素，
y y f (x)
oa
x
x
b
dx
x
41 2
若曲线 y f(x) 与 yg(x) 及x=a,x=b 所 围成的图形为如图：
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
y
y f(x)
oa
y g(x)
x xdx
b
面积A，
b
Aa[f(x)g(x)]d
x
4 21
x
0 0 1 1 0 设0 1 曲0 1 线0 1 0 1 y 1 0 1 0 f1 0 (0 x 1 )0 与 1 0 y 0 1 0 1 f1 2(x)与直线
x a , x b (a b) 及 x 轴所围曲
边梯形面积为 A , 则
b
A a f1(x) f2 (x) dx
y y f1(x) y f2 (x)
41 2 o axxdx b x
例1 计算两条抛物线 y2 x , y x2在第一象限
所围图形的面积 .
0 0 1 1 解0 0 1 :0 由1 0 1 0 yy1 1 20 1 x0 2x0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
y
y2 2x
yd y
(8, 4)
y
1 为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
dA(y41 2y2)dy
2 4
A 2(y41 2y2)dy
o
yx4 x
(2, ห้องสมุดไป่ตู้2)
4 1 2y 4 y 2 1 6y 3
4
2
18
训练
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
2．求曲线 y x2与直线 x=-１,x =1及x轴所围成的图形面 积.
3.求曲线y x2与 y 2- x2 所围成的图形面积。
1 4.求曲线 y 1 与直线y=x,x=2所围成的图形面积。
4 2 x
得交点 (0, 0) , (1, 1)
dA x x2d x
1
A
xx2 dx
0
23 x2
1x3
1
3 30
1 3
y
1y2 x (1,1)
2y x2
ox 1 x
4x d x
分析，归纳解题步骤： 0 0 1 1 0 0 1 0 11 .0 画1 0 草1 1 0 图1 ，0 0 求0 1 出0 1 曲0 0 线1 0 的1 1 交点坐标．
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
定积分的应用-----求平面图形面积
41 2
引入
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
1.复习定积分的定义及其几何意义
41 2 2.如何用定积分求平面图形的面积？
一、微元法
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
设曲线 y f (x) ( 0) 与直线 x a , x b (a b) 及 x 轴所围曲
边梯形面积为 A , 则
dA f (x)dx
2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积． 3.根据图形特点选择适当的积分变量 4．确定被积函数和积分区间，计算定积分，求出面
41 2 积。
y2 2x
y x4
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
y2 2x
y x4 (2, 2) , (8, 4)
b
A a f (x) dx
其中 dAf(x)dx为面积元素，
y y f (x)
oa
x
x
b
dx
x
41 2
若曲线 y f(x) 与 yg(x) 及x=a,x=b 所 围成的图形为如图：
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
y
y f(x)
oa
y g(x)
x xdx
b
面积A，
b
Aa[f(x)g(x)]d
x
4 21
x
0 0 1 1 0 设0 1 曲0 1 线0 1 0 1 y 1 0 1 0 f1 0 (0 x 1 )0 与 1 0 y 0 1 0 1 f1 2(x)与直线
x a , x b (a b) 及 x 轴所围曲
边梯形面积为 A , 则
b
A a f1(x) f2 (x) dx
y y f1(x) y f2 (x)
41 2 o axxdx b x
例1 计算两条抛物线 y2 x , y x2在第一象限
所围图形的面积 .
0 0 1 1 解0 0 1 :0 由1 0 1 0 yy1 1 20 1 x0 2x0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
y
y2 2x
yd y
(8, 4)
y
1 为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
dA(y41 2y2)dy
2 4
A 2(y41 2y2)dy
o
yx4 x
(2, ห้องสมุดไป่ตู้2)
4 1 2y 4 y 2 1 6y 3
4
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训练
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1