大学中常用的不等式

大学中常用不等式,放缩技巧

一：一些重要恒等式

ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6

ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2

Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sina

ⅳ: e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0

cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)-sin(α-β)]

sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]

sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)

sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)

cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)

cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)

tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC

cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1

tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1 sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC

ⅵ:欧拉等式 e∏i=-1 (i是虚数，∏是pai)

ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word编）二重要不等式

1:绝对值不等式

︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用) 2：伯努利不等式（11）（1+x2）…（1+x n）≥1+x1+x2+…+x n(x i符号相同且大于-1)

3：柯西不等式

(∑ a i b i)2≤∑a i2∑b i2

4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱

5; (a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)

(a+b)p≤ap+ bp (0

(a+b)p≥ap+ bp (p>1)

6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)

7:切比雪夫不等式

若a1≤a2≤…≤a n, b1≤b2≤…≤b n

∑a i b i≥(1/n)∑a i∑b i

若a1≤a2≤…≤a n, b1≥b2≥…≥b n

∑a i b i≤(1/n)∑a i∑b i

三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)

1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)；

2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;

3：n！<【(n+1/2)】n

4：n n+1>(n+1)n n！≥2n-1

5：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n

6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x 7：(2/∏)x≤sinx≤x

8：（1+1/n）n<4