大学中常用的不等式

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4:nn+1>(n+1)nn!≥2n-1
5:2!4!…(2n)!>{(n+1)!}n
6:对数不等式(重要)x/(1+x)≤㏑(1+x)≤x
7:(2/∏)x≤sinx≤x
8:(1+1/n)n<4
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
ⅵ:欧拉等式 e∏i=-1 (i是虚数,∏是pai)
ⅶ:组合恒等式(你们自己弄吧,我不知怎样用word编)
二 重要不等式
1:绝对值不等式
︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单,常用)
2:伯努利不等式(11)(1+x2)…(1+xn)≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1)
3:柯西不等式
(∑ aibi)2≤∑ai2∑bi2
4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱
5; (a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)
(a+b)p≤ap+ bp (0<p<1)
(a+b)p≥ap+ bp (p>1)
6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)
7:切比雪夫不等式
若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn
大学中常用不等式,放缩技巧
一: 一些重要恒等式
ⅰ:12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2
Ⅲ:cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a/2n+1sina
ⅳ: e=2+1/2!+1/3!+…+1/n!+a/(n!n) (0<a<1)
ⅴ:三角中的等式(在大学中很有用)
cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)-sin(α-β)]
sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)
∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi
若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn
∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi
三:常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)
1:1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1);
2:1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;
3:n!<【(n+1/2)】n
sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-/2)sin(θ/2-φ/2)
tan+tanB+tanC=tanAtanBtanC
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1
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