双曲线及其标准方程(第一课时)

高中数学选修1-1第2章圆锥曲线与方程

§2.2.1双曲线及其标准标程

开封市第二实验高中：李歌

双曲线及其标准方程

一教学目标

知识目标：1熟练掌握双曲线的定义。

2熟练掌握双曲线的标准方程，会根据所给的条件画出双曲线的

草图并确定双曲线的标准方程。

能力目标：1重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养。

2启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问

题和创造地解决问题。

3通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维

能力。

二教学重难点

1重点：双曲线的定义及标准方程

2难点：双曲线的定义及标准方程的推导

三教学方法

直观发现

四教学手段

采用多媒体辅助教学，用flash动画演示画双曲线。引导学生进行

思考，调动学生学习的积极性。

五教学过程

（一）复习引入

1椭圆的定义：与两个定点距离的和为非零常数（大于两个定点的距离）的点的轨迹是椭圆。那么，与两个定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？

2演示双曲线的形成。请同学们观察分析双曲线的特征，给出定义。

（二） 双曲线的概念

1定义：平面内与两个定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线。

2这两个定点, F 1,F 2叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离21F F 叫做焦距。 3说明，常数小于21F F ，并思考常数等于21F F 是什么轨迹，小于21F F 是什么轨迹，当常数等于零时，是什么轨迹。 （三） 双曲线的标准方程

1（1）建系：以2,F F 所在的直线为X 轴，以2,F F 的中点为坐标原点建立直角坐标系。

（2）设点： 设M （x,y ）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是c 2（c>0）. 则：)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与F 1,F 2距离之差的绝对值等于a 2（常数）

（3）列式

{}

a MF MF P P 221±=-=

221)(y c x MF ++=，222)(y c x MF +-=

a y c x y c x 2)()(2222=+--++， （4）化简

)()(22222222a c a y a x a c -=--，由定义c a 22<，022>-∴a c 令222b a c =-

代入，得：2

2

2

2

2

2

b a y a x b =-，两边同除2

2b a 得122

22=-b

y a x ，此即为双曲线的

标准方程。

它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是)0,(),0,(21c F c F -，其中222b a c += 若坐标系的选取不同，可得到双曲线不同的方程

若焦点在y 轴上，则 焦点是)0,(),0,(21c F c F -，将x,y 互换得到122

22=-b

x a y ，

此也是双曲线的标准方程。 2总结双曲线的标准方程及特点

看22,y x 的系数那个为正，焦点就在那个轴上 3双曲线与椭圆的区别

（四） 例题讲解与练习

1例1(参考课本P 47 例 )已知两定点1(5,0)F -,2(5,0)F ，动点P 满足

126PF PF -=,求动点P 的轨迹方程.

66102121=->=PF PF F F ，解：因,有双曲线的定义知102,62==c a

1(5,0)F -2(5,0)F 可设双曲线的方程为122

22=-b

y a x

102,62==c a Θ,5,3==∴c a 所以点P 的轨迹方程为

22

1916

x y -= 2 练习 见课本48页1题2题 （五） 课堂小结

1．定义：平面内与两定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数(小于21F F )的点的轨迹．

2标准方程 12222=-b y a x )0,0(>>b a ，122

22=-b

x a y )0,0(>>b a

3.焦点：)0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F - 4．c b a ,,的关系：222b a c += （六） 作业布置

课本54页第2题 板书设计

2.2.1 双曲线及其标准方程

1定义 3例题讲解 2双曲线的标准方程 （1） 推导 （2） 对比