双曲线及其标准方程(第一课时)

高中数学选修1-1第2章
圆锥曲线与方程

§2.2.1双曲线及其标准标程

开封市第二实验高中：李歌

2012年开封市优质
课比赛41号
双曲线及其标准方程

一 教学目标
知识目标：1熟练掌握双曲线的定义。
2熟练掌握双曲线的标准方程，会根据所给的条件画出双曲线的
草图并确定双曲线的标准方程。

能力目标：1重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养。
2启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问
题和创造地解决问题。

3通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维
能力。

二 教学重难点
1重点：
双曲线的定义及标准方程
2难点：双曲线的定义及标准方程的推导
三 教学方法
直观发现
四 教学手段
采用多媒体辅助教学，用flash动画演示画双曲线。引导学生进行
思考，调动学生学习的积极性。

五 教学过程
（一） 复习引入
1椭圆的定义：与两个定点距离的和为非零常数（大于两个定点的距离）的点
的轨迹是椭圆。那么，与两个定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？

2演示双曲线的形成。请同学们观察分析双曲线的特征，给出定义。
（二） 双曲线的概念
1定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于21FF）的
点的轨迹叫做双曲线。
2这两个定点, F1,F2叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离21FF叫做焦距。
3说明，常数小于21FF，并思考常数等于21FF是什么轨迹，小于21FF是什么
轨迹，当常数等于零时，是什么轨迹。
（三） 双曲线的标准方程
1（1）建系：以2,FF所在的直线为X轴，以2,FF的中点为坐标原点建立直角
坐标系。
（2）设点： 设M（x,y）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是c2（c>0）.
则：)0,(),0,(21cFcF，又设M与F1,F2距离之差的绝对值等于a2（常数）
（3）列式

aMFMFPP221
221)(ycxMF，222)(ycxMF

aycxycx2)()(2222
，
（4）化简
)()(22222222acayaxac
，由定义ca22，022ac 令222bac

代入，得：222222bayaxb，两边同除22ba得12222byax，此即为双曲线的
标准方程。
它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是)0,(),0,(21cFcF，其中222bac
若坐标系的选取不同，可得到双曲线不同的方程
若焦点在y轴上，则 焦点是)0,(),0,(21cFcF，将x,y互换得到12222bxay，
此也是双曲线的标准方程。
2总结双曲线的标准方程及特点
看22,yx的系数那个为正，焦点就在那个轴上
3双曲线与椭圆的区别
椭圆 双曲线
定 义
aMFMF221
aMFMF221

方 程

焦 点
)0,(cF ),0(cF )0,(cF
),0(cF

a.b.c的关系
0ba
222
cba

0a,0b
,但a不一定

大于b

222
bac

（四） 例题讲解与练习
1例1(参考课本P47 例 )已知两定点1(5,0)F,2(5,0)F，动点P满足
12
6PFPF
,求动点P的轨迹方程.

22
22
1(0)yxabab

22
22
1(0,0)xyabab

22
22
1(0,0)yxabab

22
22
1(0)xyabab
66102121PFPFFF，解：因
,有双曲线的定义知102,62ca
1(5,0)F2
(5,0)F
可设双曲线的方程为12222byax
102,62ca,5,3ca
所以点P的轨迹方程为221916xy
2 练习 见课本48页1题2题
（五） 课堂小结
1．定义：平面内与两定点21,FF的距离的差的绝对值等于常数(小于21FF)
的点的轨迹．

2标准方程 12222byax )0,0(ba，12222bxay)0,0(ba
3.焦点：)0,(),0,(21cFcF ),0(),,0(21cFcF
4．cba,,的关系：222bac
（六） 作业布置
课本54页第2题
板书设计
2.2.1 双曲线及其标准方程
1定义 3例题讲解
2双曲线的标准方程
（1） 推导
（2） 对比