解析几何中的定点问题

解析几何中的定点问题

解析几何中的定点问题是高考命题的一个热点，也是解析几何问

题中的一个难点，在求解过程中往往伴随复杂的运算。提高解决此类问题的效率，对学生思维的深度，做题的专注度，以及基本运算能力的培养，都有非常积极的意义。解析几何中的定点问题的求解，实质就是等式恒成立问题的求解。 一.直线中的定点问题

例1. 已知a ∈R ，直线l ：(1)230a x ay -++=，求直线l 经过的定点的坐标

解：由()(2)30a x y x ++-=，R a ∈∀知，

20

30x y x +=⎧⎨-=⎩，解得：⎪⎩

⎪⎨⎧-==233

y x

所以直线l 经过定点)2

3

,3-（

变式：已知实数,,a b c 满足2b c a +=，直线l ：0ax by c ++=，过点()

2,3P 作直线l 的垂线，垂足为M ，O 为坐标原点，求线段OM 的最大值 解： 因为2b c a +=，0ax by c ++= 所以0)2(=+-+c y c a ax ，

即，

（0)1()2=+-++y c y x a R c a ∈∀, 所以⎩⎨⎧=+-=+0102y y x ，解得⎩

⎨⎧=-=12

y x

所以直线l 经过定点Q ()2,1-，点M 在以PQ 为直径的圆()2

225x y +-=上，

由几何性质知OM

的最大值为2．

二.圆中的定点问题

例2.已知)0,1(F 椭圆1C 的右焦点且F 为双曲线2C 的右顶点，椭圆1C 与

双曲线2C 的一个交点是

M ．[]若点P 是双曲线右支上的动点，直线PF 交y 轴于点Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否恒过定点？

证明你的结论．

解：由题意设椭圆1C 的方程是22

22111x y a b +=，双曲线2C 的方程是

2

2

22

1y x b -=，

则1122a MF MF =

+=

，

∴1a =11b =，椭圆1C 的方程是2

212

x y +=，

由点M 在双曲线上得：22

41

133b -=，得221b =，所以双曲线2C 的方程是

221x y -=，

010010111

F P x y F Q y x =+=--u u u r u u u r （，），（，），

∴以线段PQ 为直径的圆恒过定点)01(1，

-F ． 变式1：已知圆22:(1)4C x y ++=，O 为坐标原点，A 为平面内一定点，对于圆C 上任意一点P ，都有2PA PO = 求点A 的坐标

解：设),(),,(y x P n m A ,由2PA PO =，得2222()()4()x m y n x y -+-=+，

化简得：222233220x y mx ny m n +++--=，又因为22230x y x ++-=， 所以22(26)290m x ny m n -++--=，因为对任意的x,y 恒成立， 所以0,3==n m . 所以)03(，A

变式2：已知圆1)1(:221=++y x C ，圆14)3(:2

22=-+

-）（y x C ，若动圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的周长，则动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由。 解：设圆心),y x C （，由题意得：21CC CC =,

即2222)4()3()1(-+-=++y x y x 整理得：03=-+y x 即圆心在直线03=-+y x 上运动. 设)3,(m m C -

则动圆的半径为：2221),3()1(1)1m m CC -+++=+（

所以动圆C 的方程为：2222)3()1(1)3()(m m m y m x -+++=+-+- 即R m y x m y y x ∈∀=+----+,0)1(22622

由⎩⎨⎧=--+=+-0260122y y x y x 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22322231y x 或⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧-=-=22

322231y x 即动圆C 过定点），（22322231++，），（2

2322231--

三.圆锥曲线中的定点问题（常化归为直线中定点问题） （一）椭圆中相关定点问题

例3. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为,2

1

以原点O 为圆心，

椭圆的短半轴长为半径的圆与直线06=+-y x 相切。设P （4，0），B A ,是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明：直线AE 与x 轴交于定点Q 。 解：由题意知,2

1

==a c e [来源:ZXXK]

故椭圆C 的方程为.13

42

2=+y x 由题意知直线PB 的斜率存在，设直线

PB 的方程为).4(-=x k y

设点).,(),,(),,(112211y x A y x E y x B -则 直线AE 的方程为21

2221

().y y y y x x x x +-=-- 整理，得8

)

(42212121-++-=

x x x x x x x ②

由①得3

412

64,343222212221+-=+=+k k x x k k x x 代入②

整理，得1=x .

所以直线AE 与x 轴相交于定点Q （1，0）.

变式1：已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点

)20(，M 是椭圆的一个顶点，21MF F ∆是等腰直角三角形．过点M 分别作