第二章组合投资理论

1 T
5-14
公式 5.8 年化百分比利率
• 年化百分比利率: 年度化的简单利率
1 EAR APR
T
T
1
5-15
表 5.1 有效年利率与年化百分比利率
历史收益率：分布
1) 均值 : 最可能取值 2) 方差或标准差 3) 偏度 4）峰度 * 正态分布：一、二阶矩
期望收益
E (r ) p s r s
E(无风险资产)=5
(风险资产)= (风险资产) =0
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风险偏好与效用函数
1、投机与赌博 投机是指承担一定的风险来获得相应的报酬，其目的是 获得风险溢价。缔约方具有“异质预期”。 赌博是指为不确定的结果打赌，其承担风险的目的是获 得乐趣。缔约方对事件结果发生的概率认识相同。 公平游戏：预期收益为零
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单一资产的收益与风险
一个例子：
p = .6 W = 100 1-p = .4 W2 = 80 Profit = -20 W1 = 150 Profit = 50
E(W) = pW1 + (1-p)W2 = 6 (150) + .4(80) = 122
2 = p[W1 - E(W)]2 + (1-p) [W2 - E(W)]2 =
6-57
效用函数
U = 效用值 E ( r ) = 某一资产或 资产组合的期望收 益 A = 风险厌恶系数 = 收益的方差 ½ = 一个约定俗成的 数值
.6 (150-122)2 + .4(80=122)2 = 1,176,000

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单一资产的收益与风险
一般地，风险的计算公式为：
收益率 概率
ri
r1
r2
r3 p3
r4
p4
… …
rn
pn
pi
p1
p2
n
(r )
2
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r
5-24
收益波动性（夏普）比率
• 投资组合的夏普比率:
风险溢价 超额收益率的标准差
5-25
正态分布
• 如果收益率的分布可以用正态分布来近似 拟合的话，投资管理将变得更加容易。
– 当风险收益对称时，标准差是一个很好的衡量 标准。 – 如果各个资产的收益具有正态分布，那么其组 成的投资组合的收益也服从正态分布。 – 可以仅使用均值和标准差来估计未来的情境。
单一资产的收益与风险
单一资产的收益 1、一般投资收益率 • 任何一项投资的结果都可用收益率来衡量，通常收益率 的计算公式为： 收益率（%）=（收入—支出）/支出×100% • 投资期限一般用年来表示，如果期限不是整数，则转换 为年。
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单一资产的收益与风险
2、期望收益率 • 在通常情况下，收益率受许多不确定因素的影响，因而 是一个随机变量。 • 未来不确定因素的影响使得投资者不可能对未来一定时 期内的收益率作出准确判断。 • 投资者可以对收益率介于某个范围(或者某个值)的可能 性作出估计，得到关于收益率的某种概率分布。
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风险偏好与效用函数
2、风险偏好的类型：
风险厌恶： 要求正的风险溢价，即承担风险要求获得风险报酬。 不会参与公平游戏或赌博。 风险中立：不关心风险，只以收益作为决策的依据。 风险爱好：不要求正的风险溢价，以承担风险本身来获得满足。 会参与公平游戏或赌博。
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– 从业者通常估计 5% 的在险价值 , 它表示 当收益率从高到低排列时，有95%的收益率 都将大于该值。
5-32
预期尾部损失 (ES)
• 也叫做条件尾部期望 (CTE) • 对下行风险的衡量比在险价值更加保守
– 在险价值是最差情形下的最好收益率 – 预期尾部损失是最差情形下的平均收益率
5-33
峰度 • 公式 5.20
_ 4 R R 峰度 ^ 的平均值 3 4
5-29
图5.5A 正态和偏度分布
5-30
图5.5B 正态和肥尾分布 (均值= .1, 标准差 =.2)
5-31
在险价值 (VaR)
• 度量一定概率下发生极端负收益所造成 的损失。 • 在险价值是一个概率分布小于q%的分位 数。
• 连续复利率
5-11
比较不同持有期的收益率
零息债券, 面值 = $100, T=持有期, P=价格, rf(T)=无风险收益率
100 r f (T ) 1 P (T )
5-12
例 5.2 年化收益率
5-13
公式 5.7 有效年利率
• 有效年利率的定义: 一年期投资价值增长百 分比
1 EAR 1 rf T
5-26
图5.4 正态分布
5-27
偏离正态分布和风险度量
• 如果超额收益偏离了正态分布怎么办?
– 标准差不再是一个衡量风险的完美度量工具 – 夏普比率不再是证券表现的完美度量工具 – 需要考虑偏度和峰度
5-28
偏度和峰度
偏度 公式 5.19
_ 3 R R 偏度 ^ 的平均值 3
下偏标准差 (LPSD)与索提诺比率
• 问题:
– 需要独立的考察收益率为负的结果 – 需要考察收益对无风险利率的偏离
• 下偏标准差: 类似于普通标准差，但只使 用相对于无风险收益率rf负偏的那些收益 率。 • 索提诺比率是夏普比率的变形。
5-34
风险组合的历史收益
• 收益呈现正态分布 • 在最近的半个周期收益很低 (1968-2009) • 小公司股票的标准差变得很小; 长期债券的标准 差变得很大。
5-42
图5.12 部分大盘股组合的财富指数 和短期国库券组合的财富指数
第二节 风险与风险厌恶
资产的风险与收益 风险偏好与效用函数
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6-44
风险资产配置
• 投资者一般会规避风险除非风险意味 着更高的收益。 • 用效用模型可以得出风险组合和无风 险组合之间的资本最优配置。
i 1
i
E (r ) pi
2
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单一资产的收益与风险
比较：
p = .6 风险资产 100 1-p = .4 无风险资产 W2 = 80 Profit = -20 Profit = 5 W1 = 150 Profit = 50
E(风险资产)=22
风险溢价 = 17
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连续复利终值
•当一项资产每一期的复利都服从同一正态 分布时，其有效收益率将服从对数正态分 布。 •终值将是:
e
1 2 g 20 1 gT e 20 T
2
[1 E (r )]
T
T
5-40
图 5.10 按年复利累计，25年持有期收益率
5-41
图 5.11 按年复利累计，25年持有期收益率
收益的方差或离散
p s r s E r
2 s


2
前例： Var =[(.1)(-.05-.15)2+(.2)(.05- .15)2...+ .1(.35-.15)2] Var= .01199 S.D.= [ .01199] 1/2 = .1095
历史收益率的时间序列分析
5-7
税收与实际利率
• 税赋是基于名义收入的支出 – 假设税率为 (t) ，名义利率为 (R), 则税 后名义利率是:
R (1 t ) i (r i )(1 t ) i r (1 t ) it
• 税后实际利率随着通货膨胀率的上升而下 降。
持有期收益率: 单期
P 1 P0 D1 HPR P0
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单一资产的收益与风险
一般地，期望收益率的计算公式为：
收益率 概率
ri
r1
r2
r3 p3
n
r4
p4
1
… …
rn
pn
pi
p1
p2

P
i1
i
E (r )
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n
i1
ri p
i
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单一资产的收益与风险
（三）单一资产的风险 • 投资者的实际收益率与期望收益率的偏差就是风险。 • 可能的收益率越分散，它们与期望收益率的偏离程度就 越大，投资者承担的风险也就越大。 • 风险的大小由未来可能收益率与期望收益率的偏离程度 来反映。在数学上，这种偏离程度由方差或标准差来度 量。
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6-55
风险厌恶和效用价值
• 投资者将考虑:
– 无风险资产 – 有正的风险溢价的投资品源自文库
• 投资组合的吸引力随着期望收益的增加和 风险的减少而增加。 • 收益与风险同时增加是会怎么样呢？
6-56
表 6.1 可供选择的风险资产组合 (无风险利率 = 5%)
投资者会根据风险收益情况为每个资产组合 给出一个效用值分数。
HPR ：持有期收益 P0 ：期初价格 P1 ：期末价格 D1 ：期间股利
单期持有期收益：例子
期末价格 = 期初价格 = 股利 = 48 40 2
HPR = (48 - 40 + 2 )/ (40) = 25%
收益率计算：不同持有期
• 实际（有效）年利率：EAR
– 复利
• 年度百分率：APR
– 单利
第二章 投资组合理论与实践
从历史数据中学习收益与风险 风险与风险厌恶 优化风险投资组合：组合投资理论、
教材5-7章
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1
学习目标
学会测度单一资产及资产组合的收益与 风险，并理解风险-收益权衡、 “没有 免费午餐”的理念。 掌握组合可以降低风险的基本原理和推 导，理解投资者效用函数的构成，在此 基础上认识投资者如何构造最优投资组 合。
• 期望收益：从历史样本中计算 • 算术平均收益率
E
r

1 n

n
i 1
ri
• 几何平均收益
Er ( (1 ri ))
i 1
n
1
n
1
5-21
几何平均收益
TV n (1 r1 )(1 r2 )...( 1 rn )
TV = 终值
g TV
1/ n
1
g= 收益率的几何平均值
r R i
R i r 1 i
实际利率与名义利率
费雪效应：近似 名义利率 = 实际利率 + 通胀率 R = r + i or r = R - i 例子： r = 3%, i = 6% R = 9% = 3% + 6% or 3% = 9% - 6% 费雪效应：精确 r = (R - i) / (1 + i) 2.83% = (9%-6%) / (1.06) 实证关系： 通胀率与利率水平同步变动
5-35
风险组合的历史收益
• 好的多元化投资组合的夏普比率比较高。 • 负偏度
5-36
图 5.7 1900~2000年各国股票的 名义和实际收益率
5-37
图5.8 1900~2000年各国股票和债券 实际收益率的标准差
5-38
图 5.9 25年后投资回报的概率分布 服从对数正态分布
5-39
1
s
p(s) ：状态的概率 r(s) ：各状态下的收益 1-s种状态
期望收益：例子
State Prob. of State r in State .1 -.05 2 .2 .05 3 .4 .15 4 .2 .25 5 .1 .35 E(r) = (.1)(-.05) + (.2)(.05)...+ (.1)(.35) E(r) = .15
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2
第一节 从历史数据中学习收益与风险
利率水平的决定因素 不同持有期收益率的计算 风险与风险溢价 历史收益率数据的时间序列分析
利率水平的决定因素
• 供给 – 家庭部门 • 需求 – 企业 • 政府的净供给或净需求
5-5
实际利率和名义利率
• 名义利率: 资金量增 • 设名义利率为R, 实 际利率为r， 通货膨 长率 胀率为i，那么： • 实际利率: 购买力增 长率
5-22
方差和标准差公式
• 方差 = 离差平方的期望值
1 r s r n s 1
n
^ 2
_ 2
5-23
方差和标准差公式
• 当消除偏差时，方差和标准差的计算公式为:
1 r s r n 1 j 1
^ n
_ 2
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单一资产的收益与风险
一个例子：
p = .6 W = 100 1-p = .4 W2 = 80 Profit = -20 W1 = 150 Profit = 50
E(W) = pW1 + (1-p)W2 = 6 (150) + .4(80) = 122
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