2020-2021学年四川省九市高三(上)一诊数学试卷(理科)

2020-2021学年四川省广安市、眉山市、遂宁市、雅安市、资阳市、乐山市、广元市、自贡市、内江市九市高三（上）一诊数
学试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合{|24}x A x =<，{|(4)(1)0}B x x x =--<，则()(U A B = )
A ．{|12}x x <<
B ．{|24}x x <<
C ．{|24}x x <
D ．{|2x x <或4}x
2．若22(,)1a i b a b R i
+=∈-，则复数a bi +在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3．若sin 2sin()2
πθθ=+，则2cos (θ= ) A ．15 B ．13 C ．35 D ．45
4．已知直线l 是圆2225x y +=在点(3,4)-处的切线，则直线l 的方程为( )
A ．34250x y +-=
B ．3470x y ++=
C ．3470x y +-=
D ．34250x y -+= 5．如图，在ABC ∆中，D 为线段BC 上异于，C 的任意一点，
E 为AD 的中点，若
AE AB AC λμ=+，则(λμ+= )
A ．23
B ．12
C ．13
D ．16
6．居民消费价格指数(Consumer Price Index ，简称)CPI 是根据与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，它是进行经济分析和决策、价格总水平监测和调控及国民经济核算的重要指标．根据下面给出的我国2019年9月2020-年9月的居民消费价格指数的同比（将上一年同月作为基期进行对比的价格指数）增长和环比（将上月作为基期进行对比的价格指数）增长情况的折线图，以下结论正确的是( )
A ．2020年1月到9月的居民消费价格指数在逐月增大
B ．2019年9月到2020年9月的居民消费价格指数在逐月减小
C ．2020年1月到9月的居民消费价格指数分别低于2019年同期水平
D ．2020年7月过后，居民消费价格指数的涨幅有回落趋势
7．2020年北京冬季奥运会组委会招聘了5名志愿者，分别参与冰壶、冰球、花样滑冰、自由式滑雪、越野滑雪五项比赛项目的前期准备工作．若每个人只能担任其中一项工作，且志愿者甲不能在越野滑雪项目，则不同的派遣方法种数共有( )
A ．120
B ．96
C ．48
D ．24
8．函数||2()||x f x e x x =--的大致图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知双曲线2222:1(0)6x y C a a a
-=>+的离心率为5，则双曲线C 的一个焦点F 到它的一条渐近线的距离为( ) A ．42 B ．22 C ．2 D ．2
10．将函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的图象向右平移4
π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 的图象的一条对称轴是直线4x π=-
，则ω的最小值为( ) A ．32 B ．2 C ．3 D ．72
11．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)12()f x f x +=+，则(2021)(f = )
A ．3-或4
B ．4-或3
C ．3
D ．4
12．如图，已知四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，平面ABCD ⊥平面APB ，G 为PC 上一点，且BG ⊥平面APC ，2AB =，则三棱锥P ABC -体积最大值为( )
A ．23
B 22
C ．43
D ．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若x ，y 满足约束条件2210x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩
，则12z x y =+的最大值为 ．
14．2021年第31届世界大学生夏季运动会将在成都举行．为营造“爱成都迎大运”全民运动和全民健身活动氛围，某社区组织甲、乙两队进行一场足球比赛，根据以往的经验知，甲队获胜的概率是25，两队打平的概率是110
，则这次比赛乙队不输的概率是 ． 15．给出下列命题：
①同时垂直于一条直线的两个平面互相平行；
②一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直； ③设α，β，γ为平面，若αβ⊥，βγ⊥，则αγ⊥；
④设α，β，γ为平面，若//αβ，//βγ，则//αγ．
其中所有正确命题的序号为 ．
16．设函数2()2f x lnx mx x =-+，若存在唯一的整数0x ．使得0()0f x >，则实数m 的取值范围是 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.
17．（12分）在数列{}n a 中，11a =，*121(2,)n n a a n n N -=+∈．
（1）证明：数列{1}n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）若(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
18．（12分）在新冠肺炎疫情得到有效控制后，某公司迅速复工复产，为扩大销售额，提升产品品质，现随机选取了100名顾客到公司体验产品，并对体验的满意度进行评分．体验结束后，该公司将评分制作成如图所示的直方图．
（1）将评分低于80分的为“良”，80分及以上的为“优”．根据已知条件完成下面22⨯列0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关．
[50，60)和[90，100]的顾客中用分层抽样的方法选取了6名顾客发放优惠卡．若在这6名顾客中，随机选取4名再发放纪念品，记体验评分为[50，60)的顾客获得纪念品数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．
附表及公式：22
()n ad bc K -=． 0
2.072
19．（12分）如图，在平面五边形ABCDE 中，12AE =，43CE =，33CD =，60ABC ∠=︒，
120AED ∠=︒，2sin 3
CDE ∠=． （1）求AC 的值；
（2）求ABC ∆面积的最大值．
20．（12分）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，AM ⊥平面ABCD ，
2AB AM AD ===．
（1）证明：BDM ∆是正三角形；
（2）若//CD 平面ABM ，2CD AB =，求二面角C BM D --的余弦值．
21．（12分）已知函数()()2222()x f x x e a lnx ln a R =--+-∈．
（1）当2a =时，若()f x 的一条切线垂直于y 轴，证明：该切线为x 轴．
（2）若()0f x ，求a 的取值范围．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为2(sin x y ααα
⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标为2cos()4π
ρθ+=． （1）求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(2,0)，证明：直线PA ，PB 关于x 轴对称．
[选修4-5：不等式选讲]
23．（10分）已知函数()|22||1|f x x x =-++．
（1）解不等式()4f x ；
（2）令()f x 的最小值为M ，正数a ，b ，c 满足a b c M ++=，求证：11194
a b b c c a +++++．
2020-2021学年四川省广安市、眉山市、遂宁市、雅安市、资阳市、乐山市、广元市、自贡市、内江市九市高三（上）一诊数
学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合{|24}x A x =<，{|(4)(1)0}B x x x =--<，则()
(U A B = ) A ．{|12}x x <<
B ．{|24}x x <<
C ．{|24}x x <
D ．{|2x x <或4}x 【思路分析】可求出集合A ，B ，然后进行交集和补集的运算即可． 【解析】：
{|2}A x x =<，{|14}B x x =<<， {|2}U A x x ∴=，()
{|24}U A B x x =<． 故选：C ．
【归纳与总结】本题考查了描述法的定义，指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．若22(,)1a i b a b R i
+=∈-，则复数a bi +在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【思路分析】直接由已知的复数进行化简，然后根据复数相等条件求出a ，b ，得到其在复平面内对应点的坐标得答案．
【解析】：若22(,)1a i b a b R i
+=∈-， 则22(1)22a i b i b bi +=-=-，
根据复数相等的条件得，2a b =，22b -=，
所以1b =-，2a =-，
复数2a bi i +=--在复平面内所对应的点(2,1)--位于第三象限．
故选：C ．
【归纳与总结】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，还考查了复数相等条件，是基础题．
3．若sin 2sin()2
πθθ=+，则2cos (θ= ) A ．15 B ．13 C ．35
D ．45 【思路分析】利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
【解析】：因为sin 2sin()2
π
θθ=+， 可得sin 2cos θθ=，可得tan 2θ=， 则22
2222111cos 1215
cos sin cos tan θθθθθ====+++． 故选：A ．
【归纳与总结】本题考查诱导公式，同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，属于基础题．
4．已知直线l 是圆2225x y +=在点(3,4)-处的切线，则直线l 的方程为( )
A ．34250x y +-=
B ．3470x y ++=
C ．3470x y +-=
D ．34250x y -+=
【思路分析】设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解．．
【解析】：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =-，
圆2225x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径为5，
圆心到直线l 的距离为35<，此时直线l 与圆相交，不符合题意；
当直线l 的斜率存在时，设切线l 的方程为4(3)y x -=+，即340x y -++=， 圆2225x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径为5，
所以圆心到直线l 的距离等于半径，即251=+， 解得34
=， 所以直线l 的方程为3334044
x y -+⨯+=，即34250x y -+=． 故选：D ．
【归纳与总结】本题主要考查圆的切线方程，属于基础题．
5．如图，在ABC ∆中，D 为线段BC 上异于B ，C 的任意一点，E 为AD 的中点，若AE AB AC λμ=+，则(λμ+= )
A ．23
B ．12
C ．13
D ．16
【思路分析】由题意得，222AD AE AB AC λμ==+，结合B ，D ，C 三点共线及向量共线定理柯桥区．
【解析】：因为E 为AD 中点，且AE AB AC λμ=+，
则222AD AE AB AC λμ==+，
由题意得，B ，D ，C 三点共线，
所以221λμ+=即12
λμ+=． 故选：B ．
【归纳与总结】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量共线定理的应用，属于基础题．
6．居民消费价格指数(Consumer Price Index ，简称)CPI 是根据与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，它是进行经济分析和决策、价格总水平监测和调控及国民经济核算的重要指标．根据下面给出的我国2019年9月2020-年9月的居民消费价格指数的同比（将上一年同月作为基期进行对比的价格指数）增长和环比（将上月作为基期进行对比的价格指数）增长情况的折线图，以下结论正确的是(
)
A ．2020年1月到9月的居民消费价格指数在逐月增大
B ．2019年9月到2020年9月的居民消费价格指数在逐月减小
C ．2020年1月到9月的居民消费价格指数分别低于2019年同期水平
D ．2020年7月过后，居民消费价格指数的涨幅有回落趋势 【思路分析】根据全国居民消费价格指数增长率折线图，逐一判断各选项即可．
【解析】：由消费价格增长率折线图知，2020年1月到3月是降低，3月到7月升高，7月到9月降低，
所以不是逐月增大，选项A 错误；
2019年9月到2020年9月的居民消费价格指数先增大后减小，所以B 错误；
2019年1月到5月的居民消费价格指数高于2020年1月到5月居民消费价格指数，所以C 错误；
2020年7月过后，居民消费价格指数的涨幅有回落趋势，所以D 正确．
故选：D ．
【归纳与总结】本题主要考查了统计图表等基本知识，也考查了数据处理能力和应用意识，属基础题．
7．2020年北京冬季奥运会组委会招聘了5名志愿者，分别参与冰壶、冰球、花样滑冰、自由式滑雪、越野滑雪五项比赛项目的前期准备工作．若每个人只能担任其中一项工作，且志愿者甲不能在越野滑雪项目，则不同的派遣方法种数共有( )
A ．120
B ．96
C ．48
D ．24
【思路分析】先安排甲，再安排其他4人，根据分步计数原理可得．
【解析】：甲担任冰壶、冰球、花样滑冰、自由式滑雪中的一项工作，其他4人任意安排，
故有144
496A A =种， 故选：B ．
【归纳与总结】本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
8．函数||2()||x f x e x x =--的大致图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ． 【思路分析】判断函数的奇偶性，结合对称性，函数单调性和导数之间的关系进行判断排除
即可． 【解析】：函数是偶函数，函数关于y 轴对称，排除A ，B ，
当0x >时，2()x f x e x x =--，()21x f x e x '=--，f '（1）30e =-<，f '（2）250e =->， 则存在0(1,2)x ∈，使得()0f x '=，
故选：C ．
【归纳与总结】本题主要考查函数图象和性质等基本知识，考查逻辑推理能力及其应用，考查数形结合，化归与转化等思想．
9．已知双曲线2222:1(0)6
x y C a a a -=>+5，则双曲线C 的一个焦点F 到它的一条渐近线的距离为( )
A ．42
B ．2
C 2
D ．2 【思路分析】利用双曲线的离心率求解a ，然后求解双曲线C 的一个焦点F 到它的一条渐
近线的距离． 【解析】：双曲线2222:1(0)6
x y C a a a -=>+5， 2265a +=2a = 所以22128
x y -=， 所以双曲线C 的一个焦点F 到它的一条渐近线的距离为：22b =
故选：B ．
【归纳与总结】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
10．将函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的图象向右平移4
π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 的图象的一条对称轴是直线4x π=-
，则ω的最小值为( ) A ．32 B ．2 C ．3 D ．72
【思路分析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得ω的最小值．
【解析】：将函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的图象向右平移4
π个单位长度后， 得到函数()sin()44g x x ωππ
ω=-+的图象， ()g x 的图象的一条对称轴是直线4x π
=-，
()4442πωπππωπ∴⨯--+=+，Z ∈，即122ω=--， 令1=-，可得ω的最小值为32
， 故选：A ．
【归纳与总结】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
11．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)12()f x f x +=+，则(2021)(f = )
A ．3-或4
B ．4-或3
C ．3
D ．4
【思路分析】根据题意，利用特殊值分析可得f （1）12(1)f =+，解可得f （1）的值，结合函数的奇偶性可得12()12()f x f x +-=+，则有(2)(2)f x f x +=-，变形可得
(4)()f x f x +=，即可得函数的周期性，则有(2021)(12020)f f f =+=（1）
，即可得答案． 【解析】：根据题意，偶函数()f x 满足(2)12()f x f x +=+，则()0f x ， 若1x =-，则f （1）12(1)12(1)f f =+-=+，解可得f （1）4=或3-， 又由()0f x ，则()4f x =，
()f x 为偶函数，则12()12()f x f x +-=+，则有(2)(2)f x f x +=-，变形可得(4)()f x f x +=，
则函数()f x 是周期为4的周期函数，则(2021)(12020)f f f =+=（1）4=， 故选：D ．
【归纳与总结】本题考查抽象函数的求值，注意分析函数的周期性，属于中档题．
12．如图，已知四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，平面ABCD ⊥平面APB ，G 为PC 上一点，且BG ⊥平面APC ，2AB =，则三棱锥P ABC -体积最大值为( )
A ．23
B 22
C ．43
D ．2 【思路分析】推导出BC AB ⊥，BC ⊥平面ABP ，AP BC ⊥，AP BG ⊥，
从而AP ⊥平面PBC ，BP AP ⊥，进而111323
P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，令PA m =，PB n =，则224m n +=，进而221123323
P ABC m n V mn -+=⨯=，由此能求出三棱锥P ABC -体积最大值． 【解析】：四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，BC AB ∴⊥， 平面ABCD ⊥平面APB ，平面ABCD ⋂平面APB AB =，
BC ∴⊥平面ABP ，
AP ⊂平面ABP ，AP BC ∴⊥， G 为PC 上一点，且BG ⊥平面APC ，AP ⊂平面ABP ，AP BG ∴⊥， BC BG B =，BC ⊂平面PBC ，BG ⊂平面PBC ，
AP ∴⊥平面PBC ，BP ⊂平面PBC ，BP AP ∴⊥，
111
323
P ABC C APB V V PA PB
BC PA PB --∴==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，
令PA m =，PB n =，则224m n +=， ∴22112
3323
P ABC m n V mn -+=⨯=，
当且仅当2m n ==时，取“=”，
∴三棱锥P ABC -体积最大值为2
3
．
故选：A ．
【归纳与总结】本题考查线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积、基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理能力和创新意识，考查化归与转化等数学思想． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若x ，y 满足约束条件2
210
x y x y y +⎧⎪
-⎨⎪⎩
，则12z x y =+的最大值为 32 ．
【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优
解，把最优解的坐标代入即可求得1
2
z x y =+的最大值．
【解析】：由约束条件2210x y x y y +⎧⎪
-⎨⎪⎩
作出可行域，
联立212x y x y -=⎧⎨+=⎩
，解得(1,1)A ，
化目标函数12z x y =+为1
2y x z =-+，由图可知，
当直线12y x z =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为3
2．
故答案为：3
2
．
【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题． 14．2021年第31届世界大学生夏季运动会将在成都举行．为营造“爱成都迎大运”全民运动和全民健身活动氛围，某社区组织甲、乙两队进行一场足球比赛，根据以往的经验知，
甲队获胜的概率是25，两队打平的概率是1
10
，则这次比赛乙队不输的概率是 35 ．
【思路分析】设事件A 为“这次比赛乙队不输”，则事件A 为“这次比赛甲队获胜”，利用对立事件概率公式能求出这次比赛乙队不输的概率．
【解析】：设事件A 为“这次比赛乙队不输”，则事件A 为“这次比赛甲队获胜”，
甲队获胜的概率是25，两队打平的概率是1
10
，
2
()5
P A ∴=，
∴这次比赛乙队不输的概率是：
P （A ）23
1()155
P A =-=-=．
故答案为：3
5
．
【归纳与总结】本题考查互斥事件概率等基础知识，考查运算求解能力和创新意识，考查化归与转化等数学思想． 15．给出下列命题：
①同时垂直于一条直线的两个平面互相平行；
②一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直； ③设α，β，γ为平面，若αβ⊥，βγ⊥，则αγ⊥； ④设α，β，γ为平面，若//αβ，//βγ，则//αγ． 其中所有正确命题的序号为 ①②④ ．
【思路分析】直接利用面面垂直和面面平行的判定和性质判定①②③④的结论．
【解析】：对于①：根据线面垂直的性质：同时垂直于一条直线的两个平面互相平行，故①正确；
对于②：由线面平行的性质和线面垂直的性质：一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直，故②正确；
③设α，β，γ为平面，若αβ⊥，βγ⊥，由面面垂直的判定和性质，αγ⊥不一定成立，故③错误；
④设α，β，γ为平面，若//αβ，//βγ，根据面面平行的传递性，则//αγ，故④正确． 故答案为：①②④．
【归纳与总结】本题考查的知识要点：面面垂直和面面平行的判定和性质，主要考查学生的理解能力，属于基础题．
16．设函数2()2f x lnx mx x =-+，若存在唯一的整数0x ．使得0()0f x >，则实数m 的取值
范围是 2
[14
ln +，2) ．
【思路分析】讨论0m 时，不符合题意；当0m >时，利用导数，求得函数lnx
y x
=的单调
性与最值，作出函数函数lnx
y x
=和2y mx =-的大致图象，结合图象即可求得m 的取值范围．
【解析】：当0m 时，1
()220f x mx x
'=-+>，()f x 单调递增，存在无数个整数0x ，使得0()0f x >，不符合题意；
当0m >时，由于0x >，所以2lnx
mx x
>-， lnx y x =
，21lnx
y x
-'=，当0x e <<时，0y '>，当x e >时，0y '<， 所以函数lnx
y x =在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，
所以lnx y x =的极大值也是最大值为1
e
，且0x →时，y →-∞，x →+∞时，0y →，
所以作出函数lnx
y x
=和2y mx =-的大致图象，如图，
过点(0,2)-的直线2y mx =-介于(1,0)，2
(2,)2
ln 之间时满足条件，
直线2y mx =-过点(1,0)时，m 的值为2，直线2y mx =-过点(2，f （2）)时，m 的值为2
14
ln +， 由图可知，m 的取值范围是2
[14
ln +，2)．
故答案为：2
[14
ln +，2)．
【归纳与总结】本题主要考查函数图象和性质、导数的应用，考查化归与转化、数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答. 17．（12分）在数列{}n a 中，11a =，*121(2,)n n a a n n N -=+∈． （1）证明：数列{1}n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
【思路分析】（Ⅰ）直接利用等差数列的性质的应用求出数列的通项公式； （Ⅱ）利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．
【解答】证明：（1）因为*121(2,)n n a a n n N -=+∈，所以112(1)n n a a ++=+， 又1n a =，所以120n a +=≠，
所以数列{1}n a +是以2为首项，2为公比的等比数列． 所以11222n n n a -+=⋅=，
所以数列{}n a 的通项公式21n n a =-．
解：（2）由（1）得(1)2n n n b n a n =+=⋅， 所以231222322n n S n =⨯+⨯+⨯+⋯+⋅，①，
23412122232(1)22n n n S n n +=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅+⋅，② 由①-②得231122222n n n S n +-=⨯+++⋯+-⋅，
即1112(12)222212
n n n n n S n n +++--=-⋅=--⋅-，
所以1(1)22n n S n +=-⋅+．
【归纳与总结】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
18．（12分）在新冠肺炎疫情得到有效控制后，某公司迅速复工复产，为扩大销售额，提升产品品质，现随机选取了100名顾客到公司体验产品，并对体验的满意度进行评分．体验结束后，该公司将评分制作成如图所示的直方图．
（1）将评分低于80分的为“良”，80分及以上的为“优”．根据已知条件完成下面22⨯列0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关．
良 优 合计 男 40 女 40 合计
[50，60)和[90，100]的顾客中用分层抽样的方法选取了6名顾客发放优惠卡．若在这6名顾客中，随机选取4名再发放纪念品，记体验评分为[50，60)的顾客获得纪念品数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望． 附表及公式：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++．
2
()P K 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0
2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【思路分析】（1）根据频率分布直方图，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； （2）由题意知随机变量X 可能的取值有0，1，2，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望．
良 优 合计 男
20
20
40
女 20 40
60 合计
40
60
100
由题得，22
20)25
2.78 2.706406060409
K ==≈>⨯⨯⨯，
所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关．
（2）由已知得体验度评分为[50，60)和[90，100]的顾客分别有10人，20人， 则在随机抽取的6人中评分为[50，60)有2人，评分为[90，100]有4人． 则X 可能的取值有0，1，2，
44461
(0)15C P X C ===，
13244
68
(1)15C C P X C ⋅===， 2224466
(2)15
C C P X C ⋅===，
X 0 1 2
P
115 815 6
15 所以0121515153
EX =⨯+⨯+⨯=．
【归纳与总结】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了独立性检验以及离散型随
机变量及其分布列，期望计算问题，是中档题．
19．（12分）如图，在平面五边形ABCDE 中，12AE =，43CE =，33CD =，60ABC ∠=︒，
120AED ∠=︒，2
sin 3
CDE ∠=．
（1）求AC 的值；
（2）求ABC ∆面积的最大值．
【思路分析】（1）在CDE ∆中，由正弦定理可得sin CED ∠的值，利用大边对大角可得CED ∠为锐角，进而可得CED ∠，利用三角形内角和定理可求AEC ∠的值，根据勾股定理可求AC 的值．
（2）在ABC ∆中，由余弦定理，基本不等式可求192AB BC ⋅，进而根据三角形的面积公式即可求解ABC ∆面积的最大值．
【解析】：（1）在CDE ∆中，由正弦定理可得
sin sin CE CD
CDE CED
=
∠∠，
所以
2
33
sin1
3
sin
2
43
CD
CDE
CED
CE
⨯
∠
∠===，
因为CD CE
<，
所以CED
∠为锐角，所以30
CED
∠=︒，
所以1203090
AEC AED CED
∠=∠-∠=︒-︒=︒，
所以2222
12(43)83
AC AE CE
=+=+=．
（2）在ABC
∆中，由余弦定理可得2222cos60
AC AB BC AB BC
=+-⋅⋅︒，
即22
1922
AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC
=+-⋅⋅-⋅=⋅，当且仅当83
AB BC
==时等号成立，
所以192
AB BC
⋅，
所以113
sin60192483
22
ABC
S AB BC
∆
=⋅⋅︒⨯⨯=，ABC
∆面积的最大值是83．
【归纳与总结】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理，三角形的面积公式等基础知识的应用，考查了运算求解能力，推理论证能力与应用意识，考查了化归与转化思想，属于中档题．
20．（12分）如图，在四棱锥M ABCD
-中，AB AD
⊥，AM⊥平面ABCD，2
AB AM AD
===．
（1）证明：BDM
∆是正三角形；
（2）若//
CD平面ABM，2CD AB
=，求二面角C BM D
--的余弦值．
【思路分析】（1）通过求解2228
BD AB AD
=+=，2228
BM AB AM
=+=，2228
DM AD AM
=+=，即可证明BDM
∆是正三角形．
（2）以A为原点，直线AB，AD，AM分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．求出平面BDM的一个法向量，平面CBM的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可．
【解答】（1）证明：由已知，AM⊥平面ABCD，
所以，AM AB
⊥，AM AD
⊥．
又2
AB AM AD
===，AB AD
⊥，
所以，2228
BD AB AD
=+=，2228
BM AB AM
=+=，2228
DM AD AM
=+=，
则BD BM DM
==，
所以BDM
∆是正三角形．
（2）解：因为AB AD
⊥，AM⊥平面ABCD，
以A为原点，直线AB，AD，AM分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
由//CD 平面ABM ，易知//CD AB ，又2CD AB =，则(2B ，0，0)，(1C ，2，0)，(0D ，2，0)，(0M ，0，2)．
所以(2,2,0)BD =-，(2,0,2)BM =-． 设平面BDM 的一个法向量为(,,)m x y z =， 则220,220,
m BD x y m BM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取1x =，得(1,1,1)m =．
同理可求平面CBM 的一个法向量为(2,1,2)n =． 所以，||53
cos ,||||33m n m n m n ⋅<>=
==⋅
即二面角C BM D --53
． 【归纳与总结】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，勾股
定理的应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力． 21．（12分）已知函数()()2222()x f x x e a lnx ln a R =--+-∈．
（1）当2a =时，若()f x 的一条切线垂直于y 轴，证明：该切线为x 轴． （2）若()0f x ，求a 的取值范围．
【思路分析】（1）求导，设切点为0(x ，0())f x ，由题意可知0()0f x '=，可得002lnx ln x =-，计算0()0f x =即可得证；
（2）将不等式转化为2222x lnx ln a e x -+-
对于0x >恒成立，令2222
()x lnx ln h x e x
-+=-，
利用导数求得()h x 的最小值，即可求得a 的取值范围．
【解答】（1）证明：由题可知()(2)2222(0)x f x x e lnx ln x =--+->，
则22
()2(1)()x x x f x e xe x e x x
'=-+-=+-，
设切点为0(x ，0())f x ，则由0()0f x '=得002
x e x =，0()f x
则00
2
x ln
x =，即002lnx ln x =-， 则有0000
2
()(
2)2(2)2220f x x ln x ln x =---+-=， 所以所求切线为0y =，即为x 轴．
（2）解：因为()()22220x f x x e a lnx ln =--+-，其中0x >，
则2222
x lnx ln a e x
-+-
对于0x >恒成立，
令2222()x lnx ln h x e x -+=-，则22
2(2222)222()x x
lnx ln lnx ln h x e e x x --+-+'=-=-
， 即22
222
()x x e lnx ln h x x +-'=，
令2()222x u x x e lnx ln =+-，则22
()(2)0x u x x x e x
'=++>，其中0x >，
则2()222x u x x e lnx ln =+-为(0,)+∞的增函数，
又因为u （1）22
0e ln =->，1()4202u ln <，
所以存在01
(,1)2x ∈，使得02000()2220x u x x e lnx ln =+-=，即020022x x e ln x =，
而0
02
22000000
22222ln x x x x e ln x e ln ln e x x x x =⇔==，
又由于()x v x xe =为(0,)+∞的增函数， 故002x ln x =，即00
2
x e x =，
又00x x <<，()0h x '<，()h x 为减函数；0x x >，()0h x '>，()h x 为增函数，
所以00000000002222222222()()2x x min x ln lnx ln x h x h x e e x x x x +-+-+==-=-=-=，
故a 的取值范围是(-∞，2]．
【归纳与总结】本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4
：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为(sin x y α
αα⎧=⎪⎨=⎪⎩
为参数），
以原点O 为极点，
x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标为cos()4
π
ρθ+
=
． （1）求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(2,0)，证明：直线PA ，PB 关于x 轴对称．
【思路分析】（1）直接把曲线C 的参数方程中的参数消去，可得曲线C 的普通方程，把直线l 的极坐标方程展开两角和的余弦，再由极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的直角坐标方程；
（2）联立直线l 与曲线C 的直角坐标方程，求得A ，B 的坐标，由PA 与PB 的斜率和为0，即可证明直线PA ，PB 关于
x 轴对称．
【解析】：（1）由曲线C 的参数方程为(sin x y α
αα⎧=⎪⎨=⎪⎩
为参数），
消去参数α，可得曲线C 的普通方程为2
212
x y +=．
直线l
的极坐标为cos()4πρθ+=
cos sin θθ=
， 又cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得直线l 的直角坐标方程为10x y --=；
证明：（2）由22
1012
x y x y --=⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消去y ，得2340x x -=． 可得A ，B 的坐标分别为(0,1)-，4(3，1
)3
，
直线PA ，PB 的斜率分别为111022-==-，210
134223
-=
=--， ∴1211
()022
+=+-=，
于是，直线PA ，PB 关于x 轴对称．
【归纳与总结】本题考查曲线的参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． [选修4-5：不等式选讲]
23．（10分）已知函数()|22||1|f x x x =-++． （1）解不等式()4f x ；
（2）令()f x 的最小值为M ，正数a ，b ，c 满足a b c M ++=，求证：1119
4
a b b c c a ++
+++． 【思路分析】（1）通过当1x -时，当11x -<时，当1x >时，去掉绝对值符号，求解不等
式即可．
（2）求出函数的最小值2M =．然后转化利用基本不等式，求解即可． 【解答】（1）解：当1x -时，()221314f x x x x =-+--=-+，得1x -； 当11x -<时，()22134f x x x x =-+++=-+，此时无解；
当1x >时，()221314f x x x x =-++=-，得5
3
x ．
所以，不等式的解集为5
(,1][,)3
-∞-+∞．
（2）证明：由（1），当1x -时，()314f x x =-+； 当11x -<时，()32f x x =-+；
当1x >时，()312f x x =->，则1x =时，()f x 的最小值为2，即2M =． 于是a ，b ，c 满足2a b c ++=
，
11111111111119
()()[()()()]()[3()][324444
b c a b b c c a c a a b a b c a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a b c a b c a ++++++++=++++=+++++++=+++++++=+++++++++++++++
当且仅当
b c a b a b b c ++=++且b c c a c a b c ++=++且c a a b
a b c a
++=
++即a b c ==时取“=”． 【归纳与总结】本题考查函数的最值的求法，不等式的证明，基本不等式的应用，考查转化
思想以及计算能力．。