2020-2021学年四川省九市高三(上)一诊数学试卷(理科)

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2020-2021学年四川省广安市、眉山市、遂宁市、雅安市、资阳市、乐山市、广元市、自贡市、内江市九市高三(上)一诊数
学试卷(理科)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{|24}x A x =<,{|(4)(1)0}B x x x =--<,则()(U A B = )
A .{|12}x x <<
B .{|24}x x <<
C .{|24}x x <
D .{|2x x <或4}x
2.若22(,)1a i b a b R i
+=∈-,则复数a bi +在复平面内所对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限
3.若sin 2sin()2
πθθ=+,则2cos (θ= ) A .15 B .13 C .35 D .45
4.已知直线l 是圆2225x y +=在点(3,4)-处的切线,则直线l 的方程为( )
A .34250x y +-=
B .3470x y ++=
C .3470x y +-=
D .34250x y -+= 5.如图,在ABC ∆中,D 为线段BC 上异于,C 的任意一点,
E 为AD 的中点,若
AE AB AC λμ=+,则(λμ+= )
A .23
B .12
C .13
D .16
6.居民消费价格指数(Consumer Price Index ,简称)CPI 是根据与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标,它是进行经济分析和决策、价格总水平监测和调控及国民经济核算的重要指标.根据下面给出的我国2019年9月2020-年9月的居民消费价格指数的同比(将上一年同月作为基期进行对比的价格指数)增长和环比(将上月作为基期进行对比的价格指数)增长情况的折线图,以下结论正确的是( )
A .2020年1月到9月的居民消费价格指数在逐月增大
B .2019年9月到2020年9月的居民消费价格指数在逐月减小
C .2020年1月到9月的居民消费价格指数分别低于2019年同期水平
D .2020年7月过后,居民消费价格指数的涨幅有回落趋势
7.2020年北京冬季奥运会组委会招聘了5名志愿者,分别参与冰壶、冰球、花样滑冰、自由式滑雪、越野滑雪五项比赛项目的前期准备工作.若每个人只能担任其中一项工作,且志愿者甲不能在越野滑雪项目,则不同的派遣方法种数共有( )
A .120
B .96
C .48
D .24
8.函数||2()||x f x e x x =--的大致图象是( )
A .
B .
C .
D .
9.已知双曲线2222:1(0)6x y C a a a
-=>+的离心率为5,则双曲线C 的一个焦点F 到它的一条渐近线的距离为( ) A .42 B .22 C .2 D .2
10.将函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的图象向右平移4
π个单位长度后得到函数()g x 的图象,且()g x 的图象的一条对称轴是直线4x π=-
,则ω的最小值为( ) A .32 B .2 C .3 D .72
11.定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)12()f x f x +=+,则(2021)(f = )
A .3-或4
B .4-或3
C .3
D .4
12.如图,已知四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 为正方形,平面ABCD ⊥平面APB ,G 为PC 上一点,且BG ⊥平面APC ,2AB =,则三棱锥P ABC -体积最大值为( )
A .23
B 22
C .43
D .2
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.若x ,y 满足约束条件2210x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩
,则12z x y =+的最大值为 .
14.2021年第31届世界大学生夏季运动会将在成都举行.为营造“爱成都迎大运”全民运动和全民健身活动氛围,某社区组织甲、乙两队进行一场足球比赛,根据以往的经验知,甲队获胜的概率是25,两队打平的概率是110
,则这次比赛乙队不输的概率是 . 15.给出下列命题:
①同时垂直于一条直线的两个平面互相平行;
②一条直线平行于一个平面,另一条直线与这个平面垂直,则这两条直线互相垂直; ③设α,β,γ为平面,若αβ⊥,βγ⊥,则αγ⊥;
④设α,β,γ为平面,若//αβ,//βγ,则//αγ.
其中所有正确命题的序号为 .
16.设函数2()2f x lnx mx x =-+,若存在唯一的整数0x .使得0()0f x >,则实数m 的取值范围是 .
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生依据要求作答.
17.(12分)在数列{}n a 中,11a =,*121(2,)n n a a n n N -=+∈.
(1)证明:数列{1}n a +为等比数列,并求数列{}n a 的通项公式;
(2)若(1)n n b n a =+,求数列{}n b 的前n 项和n S .
18.(12分)在新冠肺炎疫情得到有效控制后,某公司迅速复工复产,为扩大销售额,提升产品品质,现随机选取了100名顾客到公司体验产品,并对体验的满意度进行评分.体验结束后,该公司将评分制作成如图所示的直方图.
(1)将评分低于80分的为“良”,80分及以上的为“优”.根据已知条件完成下面22⨯列0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关.
[50,60)和[90,100]的顾客中用分层抽样的方法选取了6名顾客发放优惠卡.若在这6名顾客中,随机选取4名再发放纪念品,记体验评分为[50,60)的顾客获得纪念品数为随机变量X ,求X 的分布列和数学期望.
附表及公式:22
()n ad bc K -=. 0
2.072
19.(12分)如图,在平面五边形ABCDE 中,12AE =,43CE =,33CD =,60ABC ∠=︒,
120AED ∠=︒,2sin 3
CDE ∠=. (1)求AC 的值;
(2)求ABC ∆面积的最大值.
20.(12分)如图,在四棱锥M ABCD -中,AB AD ⊥,AM ⊥平面ABCD ,
2AB AM AD ===.
(1)证明:BDM ∆是正三角形;
(2)若//CD 平面ABM ,2CD AB =,求二面角C BM D --的余弦值.
21.(12分)已知函数()()2222()x f x x e a lnx ln a R =--+-∈.
(1)当2a =时,若()f x 的一条切线垂直于y 轴,证明:该切线为x 轴.
(2)若()0f x ,求a 的取值范围.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.在平面直角坐标系中,曲线C 的参数方程为2(sin x y ααα
⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数),以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标为2cos()4π
ρθ+=. (1)求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程;
(2)设直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,点P 的坐标为(2,0),证明:直线PA ,PB 关于x 轴对称.
[选修4-5:不等式选讲]
23.(10分)已知函数()|22||1|f x x x =-++.
(1)解不等式()4f x ;
(2)令()f x 的最小值为M ,正数a ,b ,c 满足a b c M ++=,求证:11194
a b b c c a +++++.
2020-2021学年四川省广安市、眉山市、遂宁市、雅安市、资阳市、乐山市、广元市、自贡市、内江市九市高三(上)一诊数
学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{|24}x A x =<,{|(4)(1)0}B x x x =--<,则()
(U A B = ) A .{|12}x x <<
B .{|24}x x <<
C .{|24}x x <
D .{|2x x <或4}x 【思路分析】可求出集合A ,B ,然后进行交集和补集的运算即可. 【解析】:
{|2}A x x =<,{|14}B x x =<<, {|2}U A x x ∴=,()
{|24}U A B x x =<. 故选:C .
【归纳与总结】本题考查了描述法的定义,指数函数的单调性,一元二次不等式的解法,交集和补集的运算,考查了计算能力,属于基础题.
2.若22(,)1a i b a b R i
+=∈-,则复数a bi +在复平面内所对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限
【思路分析】直接由已知的复数进行化简,然后根据复数相等条件求出a ,b ,得到其在复平面内对应点的坐标得答案.
【解析】:若22(,)1a i b a b R i
+=∈-, 则22(1)22a i b i b bi +=-=-,
根据复数相等的条件得,2a b =,22b -=,
所以1b =-,2a =-,
复数2a bi i +=--在复平面内所对应的点(2,1)--位于第三象限.
故选:C .
【归纳与总结】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,还考查了复数相等条件,是基础题.
3.若sin 2sin()2
πθθ=+,则2cos (θ= ) A .15 B .13 C .35
D .45 【思路分析】利用诱导公式,同角三角函数基本关系式即可求解.
【解析】:因为sin 2sin()2
π
θθ=+, 可得sin 2cos θθ=,可得tan 2θ=, 则22
2222111cos 1215
cos sin cos tan θθθθθ====+++. 故选:A .
【归纳与总结】本题考查诱导公式,同角三角函数间的基本关系,考查运算能力,属于基础题.
4.已知直线l 是圆2225x y +=在点(3,4)-处的切线,则直线l 的方程为( )
A .34250x y +-=
B .3470x y ++=
C .3470x y +-=
D .34250x y -+=
【思路分析】设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径即可求解..
【解析】:当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为3x =-,
圆2225x y +=的圆心坐标为(0,0),半径为5,
圆心到直线l 的距离为35<,此时直线l 与圆相交,不符合题意;
当直线l 的斜率存在时,设切线l 的方程为4(3)y x -=+,即340x y -++=, 圆2225x y +=的圆心坐标为(0,0),半径为5,
所以圆心到直线l 的距离等于半径,即251=+, 解得34
=, 所以直线l 的方程为3334044
x y -+⨯+=,即34250x y -+=. 故选:D .
【归纳与总结】本题主要考查圆的切线方程,属于基础题.
5.如图,在ABC ∆中,D 为线段BC 上异于B ,C 的任意一点,E 为AD 的中点,若AE AB AC λμ=+,则(λμ+= )
A .23
B .12
C .13
D .16
【思路分析】由题意得,222AD AE AB AC λμ==+,结合B ,D ,C 三点共线及向量共线定理柯桥区.
【解析】:因为E 为AD 中点,且AE AB AC λμ=+,
则222AD AE AB AC λμ==+,
由题意得,B ,D ,C 三点共线,
所以221λμ+=即12
λμ+=. 故选:B .
【归纳与总结】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量共线定理的应用,属于基础题.
6.居民消费价格指数(Consumer Price Index ,简称)CPI 是根据与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标,它是进行经济分析和决策、价格总水平监测和调控及国民经济核算的重要指标.根据下面给出的我国2019年9月2020-年9月的居民消费价格指数的同比(将上一年同月作为基期进行对比的价格指数)增长和环比(将上月作为基期进行对比的价格指数)增长情况的折线图,以下结论正确的是(
)
A .2020年1月到9月的居民消费价格指数在逐月增大
B .2019年9月到2020年9月的居民消费价格指数在逐月减小
C .2020年1月到9月的居民消费价格指数分别低于2019年同期水平
D .2020年7月过后,居民消费价格指数的涨幅有回落趋势 【思路分析】根据全国居民消费价格指数增长率折线图,逐一判断各选项即可.
【解析】:由消费价格增长率折线图知,2020年1月到3月是降低,3月到7月升高,7月到9月降低,
所以不是逐月增大,选项A 错误;
2019年9月到2020年9月的居民消费价格指数先增大后减小,所以B 错误;
2019年1月到5月的居民消费价格指数高于2020年1月到5月居民消费价格指数,所以C 错误;
2020年7月过后,居民消费价格指数的涨幅有回落趋势,所以D 正确.
故选:D .
【归纳与总结】本题主要考查了统计图表等基本知识,也考查了数据处理能力和应用意识,属基础题.
7.2020年北京冬季奥运会组委会招聘了5名志愿者,分别参与冰壶、冰球、花样滑冰、自由式滑雪、越野滑雪五项比赛项目的前期准备工作.若每个人只能担任其中一项工作,且志愿者甲不能在越野滑雪项目,则不同的派遣方法种数共有( )
A .120
B .96
C .48
D .24
【思路分析】先安排甲,再安排其他4人,根据分步计数原理可得.
【解析】:甲担任冰壶、冰球、花样滑冰、自由式滑雪中的一项工作,其他4人任意安排,
故有144
496A A =种, 故选:B .
【归纳与总结】本题考查排列组合的应用,涉及分类计数原理的应用,属于基础题.
8.函数||2()||x f x e x x =--的大致图象是( )
A .
B .
C .
D . 【思路分析】判断函数的奇偶性,结合对称性,函数单调性和导数之间的关系进行判断排除
即可. 【解析】:函数是偶函数,函数关于y 轴对称,排除A ,B ,
当0x >时,2()x f x e x x =--,()21x f x e x '=--,f '(1)30e =-<,f '(2)250e =->, 则存在0(1,2)x ∈,使得()0f x '=,
故选:C .
【归纳与总结】本题主要考查函数图象和性质等基本知识,考查逻辑推理能力及其应用,考查数形结合,化归与转化等思想.
9.已知双曲线2222:1(0)6
x y C a a a -=>+5,则双曲线C 的一个焦点F 到它的一条渐近线的距离为( )
A .42
B .2
C 2
D .2 【思路分析】利用双曲线的离心率求解a ,然后求解双曲线C 的一个焦点F 到它的一条渐
近线的距离. 【解析】:双曲线2222:1(0)6
x y C a a a -=>+5, 2265a +=2a = 所以22128
x y -=, 所以双曲线C 的一个焦点F 到它的一条渐近线的距离为:22b =
故选:B .
【归纳与总结】本题考查双曲线的简单性质的应用,是基础题.
10.将函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的图象向右平移4
π个单位长度后得到函数()g x 的图象,且()g x 的图象的一条对称轴是直线4x π=-
,则ω的最小值为( ) A .32 B .2 C .3 D .72
【思路分析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,求得ω的最小值.
【解析】:将函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的图象向右平移4
π个单位长度后, 得到函数()sin()44g x x ωππ
ω=-+的图象, ()g x 的图象的一条对称轴是直线4x π
=-,
()4442πωπππωπ∴⨯--+=+,Z ∈,即122ω=--, 令1=-,可得ω的最小值为32
, 故选:A .
【归纳与总结】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,属于基础题.
11.定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)12()f x f x +=+,则(2021)(f = )
A .3-或4
B .4-或3
C .3
D .4
【思路分析】根据题意,利用特殊值分析可得f (1)12(1)f =+,解可得f (1)的值,结合函数的奇偶性可得12()12()f x f x +-=+,则有(2)(2)f x f x +=-,变形可得
(4)()f x f x +=,即可得函数的周期性,则有(2021)(12020)f f f =+=(1)
,即可得答案. 【解析】:根据题意,偶函数()f x 满足(2)12()f x f x +=+,则()0f x , 若1x =-,则f (1)12(1)12(1)f f =+-=+,解可得f (1)4=或3-, 又由()0f x ,则()4f x =,
()f x 为偶函数,则12()12()f x f x +-=+,则有(2)(2)f x f x +=-,变形可得(4)()f x f x +=,
则函数()f x 是周期为4的周期函数,则(2021)(12020)f f f =+=(1)4=, 故选:D .
【归纳与总结】本题考查抽象函数的求值,注意分析函数的周期性,属于中档题.
12.如图,已知四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 为正方形,平面ABCD ⊥平面APB ,G 为PC 上一点,且BG ⊥平面APC ,2AB =,则三棱锥P ABC -体积最大值为( )
A .23
B 22
C .43
D .2 【思路分析】推导出BC AB ⊥,BC ⊥平面ABP ,AP BC ⊥,AP BG ⊥,
从而AP ⊥平面PBC ,BP AP ⊥,进而111323
P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯,令PA m =,PB n =,则224m n +=,进而221123323
P ABC m n V mn -+=⨯=,由此能求出三棱锥P ABC -体积最大值. 【解析】:四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 为正方形,BC AB ∴⊥, 平面ABCD ⊥平面APB ,平面ABCD ⋂平面APB AB =,
BC ∴⊥平面ABP ,
AP ⊂平面ABP ,AP BC ∴⊥, G 为PC 上一点,且BG ⊥平面APC ,AP ⊂平面ABP ,AP BG ∴⊥, BC BG B =,BC ⊂平面PBC ,BG ⊂平面PBC ,
AP ∴⊥平面PBC ,BP ⊂平面PBC ,BP AP ∴⊥,
111
323
P ABC C APB V V PA PB
BC PA PB --∴==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯,
令PA m =,PB n =,则224m n +=, ∴22112
3323
P ABC m n V mn -+=⨯=,
当且仅当2m n ==时,取“=”,
∴三棱锥P ABC -体积最大值为2
3

故选:A .
【归纳与总结】本题考查线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积、基本不等式等基础知识,考查空间想象能力、逻辑推理能力和创新意识,考查化归与转化等数学思想. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若x ,y 满足约束条件2
210
x y x y y +⎧⎪
-⎨⎪⎩
,则12z x y =+的最大值为 32 .
【思路分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优
解,把最优解的坐标代入即可求得1
2
z x y =+的最大值.
【解析】:由约束条件2210x y x y y +⎧⎪
-⎨⎪⎩
作出可行域,
联立212x y x y -=⎧⎨+=⎩
,解得(1,1)A ,
化目标函数12z x y =+为1
2y x z =-+,由图可知,
当直线12y x z =-+过A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为3
2.
故答案为:3
2

【归纳与总结】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想,是中档题. 14.2021年第31届世界大学生夏季运动会将在成都举行.为营造“爱成都迎大运”全民运动和全民健身活动氛围,某社区组织甲、乙两队进行一场足球比赛,根据以往的经验知,
甲队获胜的概率是25,两队打平的概率是1
10
,则这次比赛乙队不输的概率是 35 .
【思路分析】设事件A 为“这次比赛乙队不输”,则事件A 为“这次比赛甲队获胜”,利用对立事件概率公式能求出这次比赛乙队不输的概率.
【解析】:设事件A 为“这次比赛乙队不输”,则事件A 为“这次比赛甲队获胜”,
甲队获胜的概率是25,两队打平的概率是1
10

2
()5
P A ∴=,
∴这次比赛乙队不输的概率是:
P (A )23
1()155
P A =-=-=.
故答案为:3
5

【归纳与总结】本题考查互斥事件概率等基础知识,考查运算求解能力和创新意识,考查化归与转化等数学思想. 15.给出下列命题:
①同时垂直于一条直线的两个平面互相平行;
②一条直线平行于一个平面,另一条直线与这个平面垂直,则这两条直线互相垂直; ③设α,β,γ为平面,若αβ⊥,βγ⊥,则αγ⊥; ④设α,β,γ为平面,若//αβ,//βγ,则//αγ. 其中所有正确命题的序号为 ①②④ .
【思路分析】直接利用面面垂直和面面平行的判定和性质判定①②③④的结论.
【解析】:对于①:根据线面垂直的性质:同时垂直于一条直线的两个平面互相平行,故①正确;
对于②:由线面平行的性质和线面垂直的性质:一条直线平行于一个平面,另一条直线与这个平面垂直,则这两条直线互相垂直,故②正确;
③设α,β,γ为平面,若αβ⊥,βγ⊥,由面面垂直的判定和性质,αγ⊥不一定成立,故③错误;
④设α,β,γ为平面,若//αβ,//βγ,根据面面平行的传递性,则//αγ,故④正确. 故答案为:①②④.
【归纳与总结】本题考查的知识要点:面面垂直和面面平行的判定和性质,主要考查学生的理解能力,属于基础题.
16.设函数2()2f x lnx mx x =-+,若存在唯一的整数0x .使得0()0f x >,则实数m 的取值
范围是 2
[14
ln +,2) .
【思路分析】讨论0m 时,不符合题意;当0m >时,利用导数,求得函数lnx
y x
=的单调
性与最值,作出函数函数lnx
y x
=和2y mx =-的大致图象,结合图象即可求得m 的取值范围.
【解析】:当0m 时,1
()220f x mx x
'=-+>,()f x 单调递增,存在无数个整数0x ,使得0()0f x >,不符合题意;
当0m >时,由于0x >,所以2lnx
mx x
>-, lnx y x =
,21lnx
y x
-'=,当0x e <<时,0y '>,当x e >时,0y '<, 所以函数lnx
y x =在(0,)e 上单调递增,在(,)e +∞上单调递减,
所以lnx y x =的极大值也是最大值为1
e
,且0x →时,y →-∞,x →+∞时,0y →,
所以作出函数lnx
y x
=和2y mx =-的大致图象,如图,
过点(0,2)-的直线2y mx =-介于(1,0),2
(2,)2
ln 之间时满足条件,
直线2y mx =-过点(1,0)时,m 的值为2,直线2y mx =-过点(2,f (2))时,m 的值为2
14
ln +, 由图可知,m 的取值范围是2
[14
ln +,2).
故答案为:2
[14
ln +,2).
【归纳与总结】本题主要考查函数图象和性质、导数的应用,考查化归与转化、数形结合、分类讨论的数学思想,属于中档题.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生依据要求作答. 17.(12分)在数列{}n a 中,11a =,*121(2,)n n a a n n N -=+∈. (1)证明:数列{1}n a +为等比数列,并求数列{}n a 的通项公式; (2)若(1)n n b n a =+,求数列{}n b 的前n 项和n S .
【思路分析】(Ⅰ)直接利用等差数列的性质的应用求出数列的通项公式; (Ⅱ)利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和.
【解答】证明:(1)因为*121(2,)n n a a n n N -=+∈,所以112(1)n n a a ++=+, 又1n a =,所以120n a +=≠,
所以数列{1}n a +是以2为首项,2为公比的等比数列. 所以11222n n n a -+=⋅=,
所以数列{}n a 的通项公式21n n a =-.
解:(2)由(1)得(1)2n n n b n a n =+=⋅, 所以231222322n n S n =⨯+⨯+⨯+⋯+⋅,①,
23412122232(1)22n n n S n n +=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅+⋅,② 由①-②得231122222n n n S n +-=⨯+++⋯+-⋅,
即1112(12)222212
n n n n n S n n +++--=-⋅=--⋅-,
所以1(1)22n n S n +=-⋅+.
【归纳与总结】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法,乘公比错位相减法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题.
18.(12分)在新冠肺炎疫情得到有效控制后,某公司迅速复工复产,为扩大销售额,提升产品品质,现随机选取了100名顾客到公司体验产品,并对体验的满意度进行评分.体验结束后,该公司将评分制作成如图所示的直方图.
(1)将评分低于80分的为“良”,80分及以上的为“优”.根据已知条件完成下面22⨯列0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关.
良 优 合计 男 40 女 40 合计
[50,60)和[90,100]的顾客中用分层抽样的方法选取了6名顾客发放优惠卡.若在这6名顾客中,随机选取4名再发放纪念品,记体验评分为[50,60)的顾客获得纪念品数为随机变量X ,求X 的分布列和数学期望. 附表及公式:22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++.
2
()P K 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0
2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【思路分析】(1)根据频率分布直方图,填写列联表,计算观测值,对照临界值得出结论; (2)由题意知随机变量X 可能的取值有0,1,2,计算对应的概率值,写出分布列,求出数学期望.
良 优 合计 男
20
20
40
女 20 40
60 合计
40
60
100
由题得,22
20)25
2.78 2.706406060409
K ==≈>⨯⨯⨯,
所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关.
(2)由已知得体验度评分为[50,60)和[90,100]的顾客分别有10人,20人, 则在随机抽取的6人中评分为[50,60)有2人,评分为[90,100]有4人. 则X 可能的取值有0,1,2,
44461
(0)15C P X C ===,
13244
68
(1)15C C P X C ⋅===, 2224466
(2)15
C C P X C ⋅===,
X 0 1 2
P
115 815 6
15 所以0121515153
EX =⨯+⨯+⨯=.
【归纳与总结】本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了独立性检验以及离散型随
机变量及其分布列,期望计算问题,是中档题.
19.(12分)如图,在平面五边形ABCDE 中,12AE =,43CE =,33CD =,60ABC ∠=︒,
120AED ∠=︒,2
sin 3
CDE ∠=.
(1)求AC 的值;
(2)求ABC ∆面积的最大值.
【思路分析】(1)在CDE ∆中,由正弦定理可得sin CED ∠的值,利用大边对大角可得CED ∠为锐角,进而可得CED ∠,利用三角形内角和定理可求AEC ∠的值,根据勾股定理可求AC 的值.
(2)在ABC ∆中,由余弦定理,基本不等式可求192AB BC ⋅,进而根据三角形的面积公式即可求解ABC ∆面积的最大值.
【解析】:(1)在CDE ∆中,由正弦定理可得
sin sin CE CD
CDE CED
=
∠∠,
所以
2
33
sin1
3
sin
2
43
CD
CDE
CED
CE


∠===,
因为CD CE
<,
所以CED
∠为锐角,所以30
CED
∠=︒,
所以1203090
AEC AED CED
∠=∠-∠=︒-︒=︒,
所以2222
12(43)83
AC AE CE
=+=+=.
(2)在ABC
∆中,由余弦定理可得2222cos60
AC AB BC AB BC
=+-⋅⋅︒,
即22
1922
AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC
=+-⋅⋅-⋅=⋅,当且仅当83
AB BC
==时等号成立,
所以192
AB BC
⋅,
所以113
sin60192483
22
ABC
S AB BC

=⋅⋅︒⨯⨯=,ABC
∆面积的最大值是83.
【归纳与总结】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,勾股定理,三角形的面积公式等基础知识的应用,考查了运算求解能力,推理论证能力与应用意识,考查了化归与转化思想,属于中档题.
20.(12分)如图,在四棱锥M ABCD
-中,AB AD
⊥,AM⊥平面ABCD,2
AB AM AD
===.
(1)证明:BDM
∆是正三角形;
(2)若//
CD平面ABM,2CD AB
=,求二面角C BM D
--的余弦值.
【思路分析】(1)通过求解2228
BD AB AD
=+=,2228
BM AB AM
=+=,2228
DM AD AM
=+=,即可证明BDM
∆是正三角形.
(2)以A为原点,直线AB,AD,AM分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.求出平面BDM的一个法向量,平面CBM的一个法向量,利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可.
【解答】(1)证明:由已知,AM⊥平面ABCD,
所以,AM AB
⊥,AM AD
⊥.
又2
AB AM AD
===,AB AD
⊥,
所以,2228
BD AB AD
=+=,2228
BM AB AM
=+=,2228
DM AD AM
=+=,
则BD BM DM
==,
所以BDM
∆是正三角形.
(2)解:因为AB AD
⊥,AM⊥平面ABCD,
以A为原点,直线AB,AD,AM分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
由//CD 平面ABM ,易知//CD AB ,又2CD AB =,则(2B ,0,0),(1C ,2,0),(0D ,2,0),(0M ,0,2).
所以(2,2,0)BD =-,(2,0,2)BM =-. 设平面BDM 的一个法向量为(,,)m x y z =, 则220,220,
m BD x y m BM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取1x =,得(1,1,1)m =.
同理可求平面CBM 的一个法向量为(2,1,2)n =. 所以,||53
cos ,||||33m n m n m n ⋅<>=
==⋅
即二面角C BM D --53
. 【归纳与总结】本题考查二面角的平面角的求法,直线与平面垂直的判定定理的应用,勾股
定理的应用,考查空间想象能力,转化思想以及计算能力. 21.(12分)已知函数()()2222()x f x x e a lnx ln a R =--+-∈.
(1)当2a =时,若()f x 的一条切线垂直于y 轴,证明:该切线为x 轴. (2)若()0f x ,求a 的取值范围.
【思路分析】(1)求导,设切点为0(x ,0())f x ,由题意可知0()0f x '=,可得002lnx ln x =-,计算0()0f x =即可得证;
(2)将不等式转化为2222x lnx ln a e x -+-
对于0x >恒成立,令2222
()x lnx ln h x e x
-+=-,
利用导数求得()h x 的最小值,即可求得a 的取值范围.
【解答】(1)证明:由题可知()(2)2222(0)x f x x e lnx ln x =--+->,
则22
()2(1)()x x x f x e xe x e x x
'=-+-=+-,
设切点为0(x ,0())f x ,则由0()0f x '=得002
x e x =,0()f x
则00
2
x ln
x =,即002lnx ln x =-, 则有0000
2
()(
2)2(2)2220f x x ln x ln x =---+-=, 所以所求切线为0y =,即为x 轴.
(2)解:因为()()22220x f x x e a lnx ln =--+-,其中0x >,
则2222
x lnx ln a e x
-+-
对于0x >恒成立,
令2222()x lnx ln h x e x -+=-,则22
2(2222)222()x x
lnx ln lnx ln h x e e x x --+-+'=-=-
, 即22
222
()x x e lnx ln h x x +-'=,
令2()222x u x x e lnx ln =+-,则22
()(2)0x u x x x e x
'=++>,其中0x >,
则2()222x u x x e lnx ln =+-为(0,)+∞的增函数,
又因为u (1)22
0e ln =->,1()4202u ln <,
所以存在01
(,1)2x ∈,使得02000()2220x u x x e lnx ln =+-=,即020022x x e ln x =,
而0
02
22000000
22222ln x x x x e ln x e ln ln e x x x x =⇔==,
又由于()x v x xe =为(0,)+∞的增函数, 故002x ln x =,即00
2
x e x =,
又00x x <<,()0h x '<,()h x 为减函数;0x x >,()0h x '>,()h x 为增函数,
所以00000000002222222222()()2x x min x ln lnx ln x h x h x e e x x x x +-+-+==-=-=-=,
故a 的取值范围是(-∞,2].
【归纳与总结】本题主要考查导数的几何意义,利用导数研究函数的最值,考查转化思想与运算求解能力,属于难题.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4
:坐标系与参数方程]
22.在平面直角坐标系中,曲线C 的参数方程为(sin x y α
αα⎧=⎪⎨=⎪⎩
为参数),
以原点O 为极点,
x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标为cos()4
π
ρθ+
=
. (1)求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程;
(2)设直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,点P 的坐标为(2,0),证明:直线PA ,PB 关于x 轴对称.
【思路分析】(1)直接把曲线C 的参数方程中的参数消去,可得曲线C 的普通方程,把直线l 的极坐标方程展开两角和的余弦,再由极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的直角坐标方程;
(2)联立直线l 与曲线C 的直角坐标方程,求得A ,B 的坐标,由PA 与PB 的斜率和为0,即可证明直线PA ,PB 关于
x 轴对称.
【解析】:(1)由曲线C 的参数方程为(sin x y α
αα⎧=⎪⎨=⎪⎩
为参数),
消去参数α,可得曲线C 的普通方程为2
212
x y +=.
直线l
的极坐标为cos()4πρθ+=
cos sin θθ=
, 又cos x ρθ=,sin y ρθ=,可得直线l 的直角坐标方程为10x y --=;
证明:(2)由22
1012
x y x y --=⎧⎪
⎨+=⎪⎩,消去y ,得2340x x -=. 可得A ,B 的坐标分别为(0,1)-,4(3,1
)3

直线PA ,PB 的斜率分别为111022-==-,210
134223
-=
=--, ∴1211
()022
+=+-=,
于是,直线PA ,PB 关于x 轴对称.
【归纳与总结】本题考查曲线的参数方程、极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,是中档题. [选修4-5:不等式选讲]
23.(10分)已知函数()|22||1|f x x x =-++. (1)解不等式()4f x ;
(2)令()f x 的最小值为M ,正数a ,b ,c 满足a b c M ++=,求证:1119
4
a b b c c a ++
+++. 【思路分析】(1)通过当1x -时,当11x -<时,当1x >时,去掉绝对值符号,求解不等
式即可.
(2)求出函数的最小值2M =.然后转化利用基本不等式,求解即可. 【解答】(1)解:当1x -时,()221314f x x x x =-+--=-+,得1x -; 当11x -<时,()22134f x x x x =-+++=-+,此时无解;
当1x >时,()221314f x x x x =-++=-,得5
3
x .
所以,不等式的解集为5
(,1][,)3
-∞-+∞.
(2)证明:由(1),当1x -时,()314f x x =-+; 当11x -<时,()32f x x =-+;
当1x >时,()312f x x =->,则1x =时,()f x 的最小值为2,即2M =. 于是a ,b ,c 满足2a b c ++=

11111111111119
()()[()()()]()[3()][324444
b c a b b c c a c a a b a b c a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a b c a b c a ++++++++=++++=+++++++=+++++++=+++++++++++++++
当且仅当
b c a b a b b c ++=++且b c c a c a b c ++=++且c a a b
a b c a
++=
++即a b c ==时取“=”. 【归纳与总结】本题考查函数的最值的求法,不等式的证明,基本不等式的应用,考查转化
思想以及计算能力.。

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