柱的纵向受力变形分析

长柱临界压力公式的统一形式
由以上的推理和类比法,可知虽然长柱 的两端的约束条件各不相同,但是其欧拉公 式是基本相同的,差别只是在一个常系数上, 于是得到长柱临界压力公式的统一形式:
P=n* ^2EI/L^2
其中n便是不同束缚条件下的常系数，其值 可以用挠曲线微分方程推理或者查表得到。
长柱的临界应力公式
将临界压力P除以长柱的横截面面积A 求得的应力，称为长柱的临界压力： σ=n* ^2EI/A*L^2 将I=k^2*A带入，并记 λ^2=n(k/L)^2,则得到σ= (λ)^2*E 其中λ为一无量纲参数，称为长柱的柔度或c 长细比，反映了长柱长度、约束条件、截 面形状和尺寸对临界应力的影响。 因注意的是欧拉公式只有在临界压力不超过 材料的比例极限时才是正确的。
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其它端点条件长柱的临界压力
对于端点束缚为其它条件的长柱临界压力 除了可以采用之前挠曲线微分方程来推导以为， 大部分还可以采用类比的方法来得到。例如一 端固定，一端自由的长柱(a)，其挠曲线形状和 长度为2L两端圆端的长柱(b)上 A A 半段AC相同则根据前面的推理 L (a)所示长为L长柱的临界压力和 C C 2L (a) (b)所示长为2L的长柱临界压力 相同，将2L带入其欧拉公式得到： B P= ^2EI/4L^2 (b)
短柱— 短柱—承受轴向力之变形
短柱（即L/d较小时）承受轴向外力或 负载时，仅仅会表现出压缩的变形，如下图， 横截面面积为A的短柱此时的压缩应力很容 易得到。 P
f=P/A
短柱—承受偏心外力的变形 短柱—承受偏心外力的变形
当短柱受到偏心距离e的外力或负载作 用时，不仅有压缩的变形，还会弯曲。这 是在分析应力是就应该是两者之和。 e
在工程中，构件除了因为强度或刚度不够而发 生断裂、变形过大而无法正常工作时，还存在另外 一种破坏形式，即构件丧失稳定性而失去承载能力。 例如一条长钢锯，横截面为10mm^2,钢的许用应力 为300MPa，则此钢锯能承受的轴向压力为3KN。 但在轴向压力不到30N时，锯条就会被明显压弯而 无法正常工作。 由此可见，长柱即细长压杆的承载能力并不取 决于轴向抗压强度，而取决于长柱受压时是否能保 持直线形态的平衡。若将外加压力考虑成与轴线重 合的理想长柱力学模型，则将长柱由直线稳定平衡 转化为不平衡时所受到的轴向压力的极限值称为临 界压力。
长柱的临界压力分析
现在以两端圆端的长柱为例来推导临界压 力的计算公式。 P
x w L
x 方向的弯矩方程为M=-Pw(w为挠度，符号与M相反) 当为小变形时，根据挠曲线的近似微分方程, 记i^2=P/EI,则有
后一个微分方程通解为：w=Asinix+Bcosix 根据长柱边界条件：x=0和x=L时，w=0可得B=0,Asanix=0 即iL=n，i=n/L,得到P=n^2^2EI/L^2,当n=1时，得到最小的压力 即临界压力P= ^2EI/L^2，即此类长柱的欧拉公式。 其中I为横截面最小的二次矩。
提高长柱稳定性的措施
2.改变长柱的约束条件和合理选择长柱 从欧拉公式看，长柱的支座和约束条件可以影 响其系数n的大小，当合理选择约束条件使n较 大时，稳定性明显提高，比如两端固定的长柱 的临界压力就比两端圆端的长柱提高了4倍。 3.合理选择材料 由公式可知，在材料弹性模量E较大时，长柱 的稳定性明显提高。但对于各种钢材其E值大 致相等，所以对于受到轴向外力的长柱，选择 优质钢材和低碳钢差别不大。
提高长柱稳定性的措施
1.选择合理的截面 从欧拉公式看，截面的二次矩I越大，即回 转半径k越大，临界压力P就越大。即增加 截面面积，或者在截面面积不变的情况下 仅可能把材料放在离截面形心较远的地方， 可以提高其稳定性。例如在截面面积不变 的情况下，空心环形截面就比实心圆型截 面更加合理。当然也不能一味增加其环形 截面而并减小其壁厚，这有可能将造成局 部失稳。
剖面等值分布应力为f0=P/A y 剖面弯曲应力fb=P*e*y/I 则距离y,y1,y2各层的合成应力分别为 f=f0+fb;f1=P/A+P*e*y1/I=f0(1+e*y1/k^2) y1 y2 f2=f0(1-e*y2/k^2) 上几式中I=k^2A,其中I为剖面二次矩，k为回转半 径
P
长柱的稳定性概念、 长柱的稳定性概念、 临界压力