《椭圆及其标准方程》【公开课教学PPT课件】

(2) 两个焦点的距离是8,椭圆上一点P到两焦点距 离的和等于10;
(3) 两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2)并且
椭圆经过点

3 2
,
5 2

.
求椭圆标准方程的解题步骤：
（1）确定椭圆的标准方程的类型；
（2）用根据条件确定a、b的值;
（3）写出椭圆的标准方程.
变式
(1)若方程 x2 + y2 =1表示在x轴上的椭圆，则 k4 9k
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
相
定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于︱F1F2︱）的点的轨迹
同 点
a、b、c 的关系
a2 = b2 + c2
焦点位置的判断 长轴在哪，焦点就在那个轴上
1.
x2 52

y2 32
1,
焦点在
a2 c2 0, 设a 2 c2 b2 (b 0),
b2 x2 a2 y 2 a2b2
椭圆的标
两边除以 a 2b 2得
x2 a2

y2 b2
1(a b 0).
准方程
思考1: 下图中哪些线段的
长度恰为 a,b, c ?
A
思考2:
如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？
由椭圆的定义得，限制条件： | PF1 | | PF2 | 2a
由于 | PF1 | x2 ( y c)2 ,| PF2 | x2 ( y c)2
得方程
x2 ( y c)2 x2 ( y c)2 2a
（焦问点题在：x轴下 面 怎(x样 c化)2 简 y？2 ） (x c)2 y2 2a
几何画板
用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆. (1)到F1(2, 0), F2(2, 0) 的距离之和为6的点的轨迹. (2)到 F1(0, 2), F2(0, 2) 的距离之和为4的点的轨迹. (3)到F1(0, 2), F2(0, 2) 的距离之和为3的点的轨迹. (4)到F1(2, 0), F2(0, 2) 的距离之和为3的点的轨迹.
a2 cx a (x c)2 y2 B F1 0
F2 A x
两边再平方，得
D
a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2
整理得 (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 )
由椭圆定义可知 2a 2c,即a c, 所以
则k的取值范围是____(_1_23__,_9_)___.
（2）已知方程 x2 + y2 =1表示椭圆，则 k4 9k
k的取值范围是_(_4,_1_3_)___(_1_3_,_9_)__.
2
2
小结:
一个定义
椭圆定义：平面内与两个定点 F1, F2 的距离的和等
于常数2a (大于 F1F2 ,)的点的轨迹，叫做椭圆.
椭圆及其标准方程
动手实践 1 将一条细绳的两端分别固定在平面内的两个定点 F1, F2 上,用笔尖将细绳拉紧运动, 在纸上你得到了怎样的图形? 问题 在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？绳子长 度与两定点距离大小有怎样的关系？
椭圆的定义: 平面内到两个定点 F1, F2 的距离之和为 常数(大于| F1F2 |)的点的集合叫作椭圆.
y2 a2

x2 b2
1(a b 0).
x2 y2 a2 b2 1(a b 0).
椭圆的标准方程的比较：
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y P
不
图形
y
F2
P
同
F1 O F2
x
O
x
F1
点
焦点坐标
类比学习 推导方程
yy y
问题1 同学们能否依据椭圆图
y
形的几何特征建立直角坐标系? P
F1
O
O O OF2 x
xxx 原则： 对称、“简洁”
问题 2 同学们能否依据椭圆的定义,找到椭圆上的点满 足的几何条件? 设 P 与 F1,F2 距离之和等于 2a(2a 2c)
即 P P PF1 PF2 2a
类比学习 推导方程
设 P 与 F1,F2 距离之和等于 2a(2a 2c)
y
Ｐ(x , y)
即 P P PF1 PF2 2a
F1 0
F2 x
设 P(x, y) 是 椭 圆 上 任 意 一 点 , 椭 圆 的 焦 距
F1F2 2c(c 0) ,则 F1, F2 的坐标分别是 (c,0),(c,0)
这两个定点 F1，F2 叫做椭圆的焦点, 两个焦点 F1,F2 间的距离叫做椭圆的焦距.
我们常把常数设为 2a,椭圆的焦距设为 2c
动手实践2 细绳两端点 F1, F2 Nhomakorabea相对位置不变,如果调整 细绳的长度,猜想你所得的图形会发生怎样的变化?
当绳长＞ F1F2 时，图形是椭圆； 当绳长= F1F2 时，图形是线段 F1F2 ； 当绳长＜ F1F2 时，不存在.
x
b 3
轴上, a 5 , c 4 ,
x2 y2 2. 52 132 1, 焦点在
y
轴上, a
13
b 5 , c 12 ,
x2 y2
3.
5
1, 13
焦点在
y 轴上, a
13
b
5, c 2 2
例 求适合下列条件的椭圆的标准方程
(1) 两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0) 椭圆 上一点P到两焦点距离的和等于10;
两个方程
椭圆标准方程：
(1) 椭圆焦点在x轴上
(2) 椭圆焦点在y轴上 两种方法
x2 y2 1(a b 0). a2 b2
y2 a2

x2 b2
1(a
b 0).
待定系数法、数形结合思想方法
三种意识
求美意识 求简意识 前瞻意识
| PF1 | (x c)2 y2 ,| PF2 | (x c)2 y2
得方程 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
y
移项，再平方 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2aC Ｐ(x , y)
(x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2