数学建模读书笔记培训资料

数学建模是通过对实际问题进行抽象、简化，反复探索，构件一个能够刻划客观原形的本质特征的数学模型，并用来分析、研究和解决实际问题的一种创新活动过程。

数学建模的几个过程:

模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。

模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。

模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。（尽量用简单的数学工具）

模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。

模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。

模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，在次重复建模过程。

模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异

数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程，数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。

数学模型的分类

（1）按模型的应用领域分类：

生物数学模型，医学数学模型，地质数学模型，数量经济学模型，数学社会学模型等。（2）按是否考虑随机因素分类：

确定性模型与随机性模型

（3）按是否考虑模型的变化分类：

静态模型与动态模型

（4）按应用离散方法或连续方法分类：

离散模型与连续模型

（5）按建立模型的数学方法分类：

几何模型，微分方程模型，图论模型，规划论模型，马氏链模型等。

（6）按人们对是物发展过程的了解程度分类：

白箱模型：指那些内部规律比较清楚的模型。如力学、热学、电学以及相关的工程技术问题。灰箱模型：指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做的问题。如气象学、生态学经济学等领域的模型。

黑箱模型：指一些其内部规律还很少为人们所知的现象。如生命科学、社会科学等方面的问题。但由于因素众多、关系复杂，也可简化为灰箱模型来研究。

数学建模方法

（一）、机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型。

1. 比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。

2. 代数方法--求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。

3. 逻辑方法--是数学理论研究的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。

4. 常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立"瞬时变化率"的表达式。

5. 偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。

（二）、数据分析法从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型。

1. 回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。

2. 时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。

3. 回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。

4. 时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。

（三）、仿真和其他方法

1. 计算机仿真（模拟）--实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。①离散系统仿真--有一组状态变量。②连续系统仿真--有解析表达式或系统结构图。

2. 因子试验法--在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构。

3. 人工现实法--基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统。

微分方程模型

微分方程是表达事物发展过程的一种很有用的工具，它能更全面、更深刻地揭示实际事物内在的动态关系。建立起这样的模型，可以帮助我们去解释各种有关的现象，做出相应的决策或者对未来的发展进行某种预测。建立数学模型的第一步，是把对一个实际问题的描述翻译成数学语言，翻译的过程同中学时解“应用题”的过程很相似，根据问题中给出的已知条件和要求达到的目的，设定若干变量，有时还需要添加或补充一些假设

条件，由此推导并建立起变量间的用等式描述的关系。所不同的是，微分方程中的等式关系是微观的、瞬时的关系。

建立微分方程模型的一般过程 我们知道解应用题是没有通用法则可循的，必须具体问题具体分析，建立微分方程模型也是如此。下面只是列出在建模过程中通常需要注

意的一些地方。在刚开始学习构造微分方程模型时，总是习惯地用代数方程来思考 ，

仅仅考虑问题中各个量之间的静态关系，而不注意它们与其变化率之间的关系 ．

事实上，需要特别关注实际问题中表示“导数”的常用词，如物理问题中的“速率”、生物学或人口学问题中的“增长率”、放射性问题中的“衰变率”等一些涉及变化率的词 ， 或者“在单位时间里，某个量改变了多少”一类的字样。围绕这些变化的量。设法利用所涉及的原则或现有的物理定律，或者根据问题中给出的条件推导出合适的关系式。在多数一阶微分方程的建模问题中，往往可以套用这样一种模式 ：变化率=输入率 －输出率 ，其中变化率一般表示成导数的符号 X ′。这个微分方程应该是在每一时刻都成立的瞬时表达式，而等号右边的输入率和输出率则是需要根据题意写出的 X 和 T 的函数 ． 方程中的每一项都应该有相同的物理量纲，以保证等式的合理性。以方程（１唱３）为例，X D ／T D 的单位是个／秒、个／年等，表示单位时间里群体变化的数量，一般是瞬时值，0R 的单位为 １／S ，１／A 等，是单位时间单一个体的增长率（生殖率 －死亡率）；而１ － X ／XM 是无量纲的，纯粹是一个比率。这样，这个方程两边的单位相同。在建模时，除了建立瞬时表达式外我们还需要知道一些有关特定时刻的额外信息，它们与微分方程无关，但可用来帮助确定微分方程中的系数和解中的积分常数。这些参数也是数学模型中不可缺少的部分，合理地选择这些参数是建模成功的关键之

一。额外信息是通过有关问题的背景领域的专业知识、相关的实验数据或者我们的日常经验等提取出来的。再用这些信息来推导、选择方程中的参数，并从不同的方面加以验证。用数学语言描述实际问题，或者说将实际问题翻译成数学语言， 必须有合理的符合实际的假设，以假设的方式给出所涉及的物理定律或有关领域的某些规律 ． 但是实际世界往往十分复杂，互相影响的量相当多，或者所研究的问题还没有现成的规律可依（往往对非物理领域的问题）。在实际的翻译中免不了要有一定的近似，需要对问题有一定的简化，因此，提出合理的假设是建好数学模型的首要关键 ， 它是整个建模过程的基础，必须引起足够的重视。一方面，我们要求假设符合实际情况，能够反映所研究的问题的基本特征和基本行为。在前面的例子中，各种假设尽可能地满足生物生态学上的具体要求。对所作的假设必须有足够的根据，应做出定性或者定量的分析。如果假设条件太严格，就使得推导出来的数学模型描述的对象过分简单，与实际情况相去甚远，或者解决的问题范围十分狭窄， 计算结果的误差太大。但是，如果假设条件过分宽松，往往得不出数学描述，即使能得到也因为太复杂而使数学处理非常困难。因此另一方面，我们还要作一些简化假设，如消除次要项、把某些变量限制为常数或者线性化等。数学模型是实际世界的一种近似，建模目的不同，或者感兴趣的方面不同，就有不同的简化假设，比如为了预测变化的未来时刻的状态，为了解释某种现象的发生机理或者为了优化、控制某个动态系统，等等。在不同的精度要求下，也会有不同的简化，我们必须审慎取舍，在这两个方面采取一种合适的折中办法，才能得出准确而实用的数学模型。只