曲梁剪应力的积分方程解

式 （+） 中的 $ % 值必须用式 （*） 计算， 然而式 （ *） 的积 分包括未知函数#"% ， 故式 （ +） 是一个关于 #%" 的积分 方程 ’ 把式 （ (） 对 " 求导后和式 （ *） 一并代入式 （ +） ， 并利用式 （"） ， 有 /% $ % ( /%’ $ ’ & #%" # （ ） 2 %（ & ( %） 4
第 #! 卷第 * 期 !"") 年 * 月
同济大学学报 （自 然 科 学 版） （ U;9 :T;@ EMX,UM,） RS:TU;@ SV 9SUWRX :UXY,TEX9Z
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曲梁剪应力的积分方程解
虞爱民， 顾 欣
!"""(!） （同济大学 固体力学教育部重点实验室， 上海
摘要：直接对曲梁剪应力的积分方程求解， 导出了曲梁剪应力和径向应力的计算公式 + 这些公式不仅满足平衡方程， 而且满足曲梁上、 下表面处力的边界条件 + 将该理论用于研究悬臂曲梁在自由端受集中力作用的情况， 计算结果表 明， 与其他采用附加假设的近似解相比， 据此得到的应力解具有很高精度， 同弹性理论解和有限元解非常接近 + 关键词：曲梁；剪应力；径向应力；积分方程；有限元 中图分类号：9 : #!# + # 文献标识码：; 文章编号："!<# $ #’)= （!"")） "* $ &"&< $ "<
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把式 （.） 代入式 （ /） ， 然后将 2 " 对 . 微分， 再把 所得结果和式 （ 0） 一并代入式 （ 1） ， 利用式 （"） ， 得到 $ 6 "1"# 3
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曲梁截面上的内力求出后即可用文献 ［ #， 中 (］ 的公式计算正应力， 即 !" *’ &* ’ /% ( * %/%’ /%/ ’ ( ・ /% %’ ’ " ( %0 & % . " ( %0 & （%）
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第-期
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虞爱民， 等： 曲梁剪应力的积分方程解
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式中： -， & 是曲梁的横截面面积和曲率半径； /% ， /%’ ， / ’ 分别定义为下面的积分： /% #
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万方数据
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同济大学学报 （自 然 科 学 版）
第 #% 卷
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!" !" 为任意截面上的轴向力； 式中： !" $ %， $ ’ 为剪力； *%， * ’ 为弯矩； ) % 和 ) ’ 为单位弧长上外力在 % 和 ’ 方向的分量； & 为曲梁的曲率半径 + 本文沿用文献 ［#］ 的符号， 即图 "$ 中 ! " ， $ %， $ ’， * % 和 * ’ 均为 正方向 + " 为沿曲梁几何轴线量取的弧长， 与轴线相 切； , 是截面的形心； % 是指向梁轴线曲率中心的径 向坐标； 和 !（ ’ 的方向正交于杆件平面， !（ " %） % %） 则是横截面上的积分区域， 见图 "& ’
在国内外有关教材中， 对于曲梁的剪应力或忽 略不计， 或采用直梁公式， 对曲梁的径向应力则更少
［ &， !］ 述及 + 有些虽然导出了曲梁剪应力的积分方程，
直接对积分方程求解， 导出相应的计算公式 + 这种积 分方程解的形式在任何文献中未出现过 +
但 “为了避免对具有各种边界条件的这类方程求解 的复杂性” ， 均未直接对积分方程求解， 而是引入 某些未经检验的附加假设， 简化积分方程， 再通过简 单运算求出近似解 + 本文将研究具有一般截面形状 且在复杂受力情况下曲梁的剪应力和径向应力， 并
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图: "#$ % :
单元切片的平衡
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同理， 从面积 -1 的剪应力可以得到与横截面平 行的剪力 $ % 为 $% #
— —
Байду номын сангаас
!# ! -1 "%
（*）
这里， #"% ) #%" ’ 通过求该脱离体上各力在水平方向 的分力之和可得
［#］
=
曲梁的内力及正应力
如图 &， 对于具有一般截面形状且在复杂受力
情况下的等截面曲杆， 在忽略高阶微量的条件下， 由
［ #， )］ 微段梁的平衡条件可得
收稿日期：!""# $ "% $ &’ 作者简介：虞爱民 （&()* $ ） ， 男， 江苏江都人， 教授 + ,-./01： 203456 &%# + 78.
5% %"
设截面上与 ’ 轴平行的直线上， 各点 % 方向的 剪应力分量#%" 相等， 都只是 % 的函数 ’ 考察面积为 如图 % 所示 ’ 设 -1 上 -1 的一个梁单元切片的平衡， 距 ’ 轴为 % 处的截面宽度为 2 ， 它随 % 变化， 即 2) （ %） 2 ’ 从面积 -1 的正应力可得其法向力 万方数据
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( （-）
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曲梁的剪应力和径向应力
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（-） 是一个第二类 这里，4 ) /%/ ’ . / % %’ ’ 因 而 式 可以写成 /012344$ 型的积分方程， （ % ）( $ #%" !7 # #（ 7 ） ! 6（ % ，7 ）
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