高数课件6.4复合函数求导法则

2
∂f 2′ ∂f 2′ ∂u ∂f 2′ ∂v ′′ ′′ = f 21 + xyf 22 ; = ⋅ + ⋅ ∂u ∂z ∂v ∂z ∂z ∂ 2w ′′ ′′ ′′ ′′ = f11 + xyf12 + yf 2′+ yz( f 21 + xyf 22 ) 于是 ∂x∂z
′′ ′′ ′′ = f11 + y( x + z ) f12 + xy 2 zf 22 + yf 2′.
z = f (u , v), u = u ( x, y ), v = v( y ), 则
∂z ∂f ∂u = ∂x ∂u ∂x ∂z ∂f ∂u ∂f dv = + ∂y ∂u ∂y ∂v dy
特别一: 特别一 z = f ( u, x , y ) 其中 u = φ ( x , y ) 即 z = f [φ ( x , y ), x , y ], 令 v = x ,
中
y
y
x
∂u ∂u . 例1 设u = f ( x , y , z ), z = x sin y , 求 , ∂ x ∂y
2
解
∂u ∂z = f x ( x , y, z ) + f z ( x , y, z ) ∂x ∂x
= f x ( x , y, z ) + fz ( x , y, z )2 x sin y, ∂u ∂z = f y ( x , y, z ) + f z ( x , y , z ) ∂y ∂y = f y ( x , y, z ) + fz ( x , y, z ) x 2 cos y.
dz = 2e 2 t cos t − e 2 t sin t dt
dz 例2 设z = uv + sin w, u = e , v = cos t , w = t , 求全导数 . dt
t 2
解法1 解法
dz ∂z du ∂z dv ∂z dw = ⋅ + ⋅ + ⋅ dt ∂u dt ∂v dt ∂w dt
dz ∂z du ∂z dv ． = + dt ∂u dt ∂v dt 单路全导 叉路偏导 单路全导,
证 设 t 获得增量 ∆t，
则 ∆u = φ ( t + ∆t ) − φ ( t ), ∆v = ψ ( t + ∆t ) − ψ ( t );
由于函数 z = f ( u , v ) 在点 ( u , v ) 有连续偏导数
∂ 2 f ( u, v ) ′′ , f12 = ∂ u∂ v ′′ f 22 .
同理有 f 2′,
∂ w ∂f ∂ u ∂ f ∂ v ⋅ + ⋅ = = f1′ + yz f 2′; ∂u ∂ x ∂ v ∂x ∂x
∂ ∂f1′ ∂f 2′ ∂ w ( f1′ + yzf 2′) = ; + yf 2′ + yz = ∂z ∂z ∂x∂z ∂z ∂f1′ ∂f1′ ∂u ∂f1′ ∂v ′′ ′′ ⋅ + ⋅ = f11 + xyf12 ; = ∂u ∂z ∂v ∂z ∂z
dz 例 1 设 z = u v ，而 u = e ， v = cos t ，求全导数 . dt 解法1 dz = ∂z ⋅ du + ∂z ⋅ dv 解法 dt ∂u dt ∂v dt
2
t
= 2uve − u sin t
t 2
= e 2 t (2cos t − sin t )
z = u2 v = e 2 t cos t 解法2 解法
= ve t + u( − sin t ) + cos w ⋅ 2t = e t (cos t − sin t ) + 2t sin t 2
解法2 解法
z = e t cos t + sin( t 2 )
dz 例3 z =f ( x , e ), f 可微,求 . dx
2 Hale Waihona Puke Baidux
情形三:中间变量既有一元函数 又有多元函数 情形三 中间变量既有一元函数,又有多元函数 中间变量既有一元函数
二、多元复合函数的高阶偏导数
例 1 设 w = f ( x + y + z , xyz )， f 具有二阶
∂w ∂ w 连续偏导数， 连续偏导数，求 和 . ∂x∂z ∂x 解 令 u = x + y + z , v = xyz;
2
记
∂f ( u , v ) f1′ = , ∂u ′′ f11 ,
dz 求全导数 . dt
解
dz ∂z du ∂z dv ∂z = ⋅ + ⋅ + dt ∂u dt ∂v dt ∂t
= ve − u sin t + cos t
t
= e cos t − e sin t + cos t
t t
= e t (cos t − sin t ) + cos t .
小结：（多元复合函数求偏导数——链式 小结：（多元复合函数求偏导数 ：（多元复合函数求偏导数 链式 法则，应注意以下几点） 法则，应注意以下几点）
（1）先要搞清复合关系，哪些是自变量，哪些 ）先要搞清复合关系，哪些是自变量， 是中间变量，要画结构图； 是中间变量，要画结构图； （2）对某个自变量求偏导数时，要经过一切与 ）对某个自变量求偏导数时， 其有关的中间变量，最后归结到该自变量。 其有关的中间变量，最后归结到该自变量。 （3）求抽象函数的二阶偏导数时要注意，对一 ）求抽象函数的二阶偏导数时要注意， 切一阶偏导数来说其结构图仍与原来函数的结 构图相同。 构图相同。
dz ∂ z du ∂ z dv ∂ z dw = + + dt ∂ u dt ∂ v dt ∂ w dt
z
dz 全导数. 以上公式中的导数 称为全导数. dt
u v w
t
另证: 另证 设 t 取增量△t ,则相应中间变量 有增量△u ,△v , ∂z ∂z ∆z = ∆u + ∆v + o ( ρ ) ∂u ∂v ∆z ∂z ∆u ∂z ∆v o( ρ ) 2 2 ( ρ = (∆u) + (∆v) ) = + + ∆t ∂u ∆t ∂v ∆t ∆t
导数存在， 导数存在，且可用下列公式计算 存在
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂z ∂u ∂ z ∂v = + = + ， . ∂y ∂ u ∂y ∂v ∂y ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
链式法则如图示
u
x
z
v
y
按线相乘, 按线相乘 分线相加
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂z ∂z ∆ z = ∆ u + ∆ v + ε 1 ∆ u + ε 2 ∆v , ∂u ∂v
当 ∆u → 0 ， ∆v → 0 时， ε 1 → 0 ，ε 2 → 0
∆ z ∂z ∆ u ∂z ∆ v ∆u ∆v = ⋅ + ⋅ + ε1 + ε2 ∆ t ∂u ∆ t ∂v ∆ t ∆t ∆t
x ∂z ∂z (2) 例 设 = f (x + y , ), f ∈C , 求 2 , 2 z . y ∂x ∂x∂y
2 2 2 2
例3
z = y f ( x + y, x y) , f ∈C
2
(2)
∂z ∂z ∂ z ,求 , , . ∂x ∂y ∂x∂y
当 ∆t → 0时， ∆u → 0 ，∆v → 0
∆u du → , dt ∆t
dv ∆v → , dt ∆t
dz ∆z ∂z du ∂z dv = lim = ⋅ + ⋅ . dt ∆t →0 ∆t ∂u dt ∂v dt
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况 如
u 例 1 设 z = e sin v ，而 u = xy ， v = x + y ，
∂ z ∂z 求 和 . ∂ x ∂y
解
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
= e u sin v ⋅ y + e u cos v ⋅ 1 = eu ( y sin v + cos v) = L ,
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y u u u = e sin v ⋅ x + e cos v ⋅ 1= e ( x sin v + cos v) =L.
例2 z = ( x + y )
2
2 sin( x + 3 y )
∂z ∂z ,求 和 . ∂x ∂y
x ∂z ∂z 例3 z = f ( xy, ), f 可微,求 和 . y ∂x ∂y
特别二 : z = f (u ), u = φ ( x, y ), ∂z df ∂u ∂z df ∂u 则 = , = ∂x du ∂x ∂y du ∂y
x ∂z ∂z 例2 z = sin ,求 和 . y ∂x ∂y
例 3 设 z = uv + sin t ，而 u = e t ， v = cos t ，
则 ∆u →0, ∆v →0, 有 ∆u du ∆v dv → , → ∆t dt ∆t dt
z
∆u du → , ∆t dt
=
∆v dv → ∆t dt
u
v
o( ρ )
t
t
ρ
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
d z ∂z d u ∂z dv = ⋅ + ⋅ d t ∂u d t ∂v d t
( 全导数公式 )
第四节 复合函数的求导法则
------链式法则 链式法则
回顾： 回顾：一元复合函数的求导法则
定理 如果函数 u = ϕ( x) 在点 x0 可导, 而 y = f (u)
在点 u0 = ϕ( x0 ) 可导, 则复合函数 y = f [ϕ( x)] 在点 x0 可导, 且其导数为
dy dx
x= x0
= f ′(u0 ) ⋅ ϕ′( x0 ).
因变量对自变量求导, 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) .(链式法则 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
情形一: 情形一 中间变量为多元函数
z = f [φ(x, y),ψ (x, y)]
w = y,
∂v = 1, ∂x
∂w = 0, ∂x
∂v = 0, ∂y
∂w = 1. ∂y
区 别 类 似
∂ z ∂f ∂ u ∂ f = ⋅ + , ∂x ∂u ∂ x ∂ x
别
∂z ∂f ∂u ∂f = ⋅ + . ∂y ∂ u ∂ y ∂y
z = f ( u, x , y )
u x
z = f [φ ( x , y ), x , y ] 中
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ⋅ = + ⋅ . ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
标 准法则的特征： (1)由于函数z = f [ϕ(x, y),ψ (x, y)]有两 个自变量，所以 ∂z ∂z 法 则中包含 及 的两个偏导公式 . ∂x ∂y (2)由于函 数在复合过程中有 两个中间变量，所 以每一 ∂z ∂z 偏 导数公式都是两项 之和，这两项分别 含有 及 . ∂u ∂v 项的构成与一元复 合函数的链式法则 类似，即 (3)每一 . 函数 对中间变量的导数 再乘以中间变量对 自变量的导数
如果 u = φ ( x , y ) 及 v = ψ ( x , y ) 都在点( x , y ) 的偏导数， 具有对 x 和 y 的偏导数，且函数 z = f ( u, v )在对应 点( u, v )具有连续偏导数，则复合函数 具有连续偏导数，
z = f [φ ( x , y ),ψ ( x , y )]在对应点( x , y ) 的两个偏
类似地再推广， 类似地再推广，设u = φ ( x , y ) 、v = ψ ( x , y )、
w = w( x , y ) 都在点( x , y ) 具有对 x 和 y 的偏导数，复合 的偏导数，
函数 z = f [φ ( x , y ),ψ ( x , y ), w( x , y )]在对应点( x , y ) 两个偏导数存在，且可用下列公式计算 两个偏导数存在，
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w , = + + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x z ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w . = + + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y
u v w
x y
情形二:中间变量为一元函数 情形二 中间变量为一元函数
定理 定理 如果函数 u = φ (t ) 及 v = ψ (t ) 都在点t 可 导，函数 z = f (u, v ) 在对应点(u, v ) 具有连续偏 导数， 导数，则复合函数 z = f [φ (t ),ψ (t )]在对应点t 可 导，且其导数可用下列公式计算： 且其导数可用下列公式计算：