线性离散系统的稳定性和稳态误差

（2）z域中离散系统稳定的充要条件
典型离散系统的特征方程：D( z) 1 GH ( z) 0
设特征方程的根为各不相同z1， ，zn。
由s域到z域的映射关系：
s左半平面映射为z平面上的单位圆内的区域； 对应稳定区域；
s平面上的虚轴，映射为z平面上的单位圆周； 对应临界稳定。
( x2 y 2 ) 1
对应于Z平 面单位圆外
Z平面
W平面
结论 由特征方程1+GH(z)=0所有根都在单位圆内转换为特征方 程1+GH(w)＝0所有根都在左w平面。 根据w域，可直接应用劳思判据判断离散系统的稳定性。
闭环脉冲传递函数为: ( z )
G( z) 1 G( z)
闭环特征方程为:1+G ( z )=z 2 (0.632 K 1.368) z 0.368 0 w 1 待入，整理得： 0.632w2 1.26w (2.736 0.632 K ) 0 w 1 列出Rauth表， 令z w2 w1 w0 0.632 K 1.264 2.736 0.632 K 2.736 0.632 K 0 0
例7-27:设离散系统如图所示，其中G(s) 10 / s(s 1), H (s) 1, T 1, 试分析系统的稳定性。
r * (t ) R( z )
r (t )

e(t )
e* (t )
c* (t ) C ( z)

T
E( z)
G (s)
c (t )
H (s)
系统开环脉冲传递函数为 10(1 e1 ) z G( z ) ( z 1)( z e1 )
z 2 4.952 z 0.368 0
z1 0.076, z2 4.876
zi 1 ， 不稳定。
10(1 e1 ) z 闭环特征方程1 G( z ) 1 0 1 ( z 1)( z e )
3、离散系统的稳定性判据 （1）w变换与劳思稳定判据 双线性变换法
为保证系统稳定，劳思表第一列大于零 则得系统稳定K的取值为0 K 4.33
例8—12 设控制系统如下图所示
R( s )
E * ( s)

T
G (s)
C (s)
K1 G ( s ) 其中, s( s 4) 采样周期为 T 0.25 s
求能使系统稳定的K1取值范围。
解:
系统开环脉冲传递函数
整理得差分方程的特征方程： 0 a1 1
an n 0
设有n个不同的特征根1 ,
当 i 1，有 lim c(k ) 0
k
,n An nl
则差分方程的通解：c(k ) A11l
系统稳定的充要条件为： 当且仅当差分方程所有特征根的模 i 1, 则系统是稳定的。
5 离散系统的型别与静态误差系数
Fra Baidu bibliotek
1 、离散系统稳定的充分必要条件
定义:
若离散系统在有界输入序列作用下，其输出序列也是有界 的，则称该离散系统是稳定的。 线性定常离散系统稳定的充分必要条件： •时域中稳定的充要条件（差分方程） •Z域中稳定的充要条件（脉冲传递函数）
（1）时域中离散系统稳定的充要条件
* 1 1
前提：极点全部位于z平面的单位圆内容，即离散系统稳定。
6、离散系统的型别与静态误差系数
z eTs s 0对应z 1
连续系统中开环传递函数G( s) 具有s 0的极点数为系统类别号；
离散系统中开环脉冲传递函数G( z ) 具有z 1的极点数为系统类别号。
4T 4T
系统闭环脉冲传递函数
特征方程
C ( z) G( z) R( z ) 1 G ( z )
1 G ( z ) z 1 z e 4T
K1 1 e 4T z 4
w 1 w 1 1 K1 1 w 1 1 e 1 e 0 w 1 w 1 w 1 4
s右半平面映射为z平面上的单位圆外的区域； 对应不稳定区域；
在z域中，线性定常离散系统稳定的充分必要条件： 当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在z平面的单位圆内， 或者所有特征根的模均小于1，即（ zi 1 ） , 则相应的线性定常离散 系统是稳定的。
例7-26:设一离散系统可用下列差分方程描述：
(3)单位加速度输入时的加速度误差系数和稳态误差
r (t ) t / 2
2
T 2 z ( z 1) R( z ) 2( z 1)3
T 2 ( z 1) T2 e() lim lim z 1 2( z 1) 2 1 G( z ) z 1 ( z 1) 2 G( z )
对应于 Z 平 ( x y ) 1 0 面单位圆
2 2
（2）W平面的左半平面
( x2 y 2 ) 1 u 0 2 2 ( x 1) y
(x y ) 1
2 2
对应于Z平 面单位圆内
（3）W平面的左半平面
( x2 y 2 ) 1 u 0 2 2 ( x 1) y
c(n 1)－ac(n) br (n),
试分析系统稳定性的充分必要条件。
解：给定系统相应的奇次方程为
c(0) 0
c(n 1)－ac(n) 0
利用迭代法，可求出通解 c(n 1) a n1c(0)
c(0) 0, a 1 lim c(n) 0
n
系统稳定的充要条件 a 1
w 1 z w 1
z 1 则，w z 1
z x jy Z和W均为复变 量 ( x2 y 2 ) 1 2y w u jv j 2 2 ( x 1) y ( x 1) 2 y 2
w u jv
讨论：
（1）W平面的虚轴
( x2 y 2 ) 1 u 0 2 2 ( x 1) y
相应的称为0型，I型，II型离散系统。
(1)单位阶跃输入时的位置误差系数和稳态误差
z r (t ) 1(t ) R( z ) z 1 ( z 1) R( z ) 1 e() lim lim z 1 z 1 G ( z ) z 1 1 G ( z )
K P lim[1 G( z )]
第七章 线性离散采样的 分析和校正
7-1 7-2 7-3 7-4 7-5 7-6 离散系统的基本概念 信号的采样及保持 Z变换理论 离散系统的数学模型 离散系统的稳定性与稳态误差 离散系统的动态性能分析
7-7
离散系统的数字校正
7-5 离散系统的稳定性与稳态误差
1 离散系统稳定的充分必要条件 2 离散系统的稳定性判据 3 采样周期与开环增益对稳定性的影响 4 离散系统的稳态误差
齐次差分方程：c(k ) ai c(k i) 0
i 1 n
设通解为A l，待入齐次方程得： A l a1 A l 1
即： n a1 n1
an A l n 0 A l ( 0 a1 1
an 0
an n ) 0
采样周期和开环增益对系统的影响： （1）T一定，K越大，离散系统的稳定性越差。甚至不稳定。
（2）K一定，T越长，离散系统的稳定性和动态性均越差，甚 至不稳定。
5、离散系统的稳态误差
一、稳态误差终值的计算
E( z) 1 系统误差传递函数： e ( z) R( z ) 1 G ( z ) z变换终值定理： R( z ) e() lim e (t ) lim(1 z ) E ( z ) lim(1 z ) t t t 1 G( z)


整理可得: 列写劳斯表
0.158K1w2 1.264w 2.736 0.158K1 0
w2 w1 w0
0.158K1 0 2.736 0.158K1
0.158K1 1.264
2.736 0.158K1 0
2.736 0.158K1
0 K1 17.3
4 、采样周期与开环增益对稳定性的影响
Ka lim( z 1)2 G( z )
z 1
T2 e() Ka
结论：
0型和I型系统在采样瞬间存在无穷大加速度误差； II型系统在单位加速度作用下存在加速度误差 III型以上的系统无加速度误差。
Tz r (t ) t R( z ) ( z 1)2 T T e() lim lim z 1 ( z 1) 1 G ( z ) z 1 ( z 1)G ( z )
Kv lim( z 1)G( z )
z 1
T e() Kv
结论：
0型离散系统在采样瞬间存在无穷大速度误差；故0型系统不能承受单位斜 坡作用； I型系统在采样瞬间存在速度误差； II型以上系统在单位斜坡作用下无速度误差。
z 1
1 e() KP
K P lim(1 G ( z ))
z 1
当采样系统为Ⅰ型系统时 当采样系统为Ⅱ型系统时
K P lim(1 G ( z ))
z 1
结论： 0型离散系统在采样瞬间存在位置误差； I型以上的离散系统在采样瞬间无位置误差
(2)单位速度输入时的速度误差系数和稳态误差
K1 K1 1 1 G ( z ) Z G ( s ) Z Z 4 s s 4 s ( s 4) K1 z z 4 z 1 z e4T K1 4
1 e z z 1 z e