解的存在唯一性定理证明

解的存在唯一性定理
利用逐次逼近法，来证明微分方程(,),dy
f x y dx =的初值问题00(,)()dy f x y dx y y x ==⎧⎨⎩
的解存在与唯一性定理。

一、【存在、唯一性定理叙述】 如果方程
(,),dy
f x y dx
=的右端函数(,)f x y 在闭矩形区域0000:,R x a x x a y b y y b -≤≤+-≤≤+上满足如下条件：
（1）、在R 上连续；
（2）、在R 上关于变量y 满足利普希茨条件，即存在常数N ，使对于R 上任何一点(),x y 和()
,x y 有以下不等式：()
|(,),|||f x y f x y N y y -≤-。

则初值问题00
(,)()dy
f x y dx y y x ==⎧⎨⎩
在区间0000x h x x h -≤≤+上存在唯一解00(),()y x x y ϕϕ==， 其中0(,)min ,
,max (,)x
y R b
h a M f x y M
∈⎛⎫
== ⎪⎝⎭
二、【证明】 逐步迫近法：
微分方程
(,)dy
f x y dx
=等价于积分方程0
0(,)x x y y f x y dx =+⎰。

取00()x y ϕ=，定义0
01()(,()),1,2,3, (x)
n n x x y f x x dx n ϕϕ-=+=⎰
可证明lim ()()n n x x ϕϕ→∞
=的()y x ϕ=满足积分方程。

通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。

命 题 1：先证积分方程与微分方程等价： 设()y x ϕ=是微分方程
(,)dy
f x y dx
=定义于区间0000x h x x h -≤≤+上满足初值条件
00()x y ϕ=的解，则()y x ϕ=是积分方程0
0(,),
x x y y f x y dx =+⎰定义于区间0000x h x x h -≤≤+上的连续解。

反之亦然。

证： 因()y x ϕ=是微分方程
(,)dy f x y dx =的解，有'()
()(,())d x x f x x dx
ϕϕϕ== 两边从0x 到x 取定积分，得：0
00000()()(,()),
x
x x x f x x dx x h x x h ϕϕϕ-=-≤≤+⎰
代入初值条件00()x y ϕ=得：0
00000()(,()),
x
x x y f x x dx x h x x h ϕϕ=+-≤≤+⎰
即()y x ϕ=是积分方程0
0(,)x
x y y f x y dx =+⎰定义于区间0000x h x x h -≤≤+上的连续解。

反之，则有0
00000()(,()),
x
x x y f x x dx x h x x h ϕϕ=+-≤≤+⎰
微分得：
()
(,())d x f x x dx
ϕϕ= 且当0x x =时有00()x y ϕ=。

即()y x ϕ=是微分方程(,)dy
f x y dx
=定义于区间0000x h x x h -≤≤+上满足初
值条件00()x y ϕ=的解。

现取00()x y ϕ=，代入积分方程0
0(,)x
x y y f x y dx =+⎰的右端，所得函数用1()x ϕ表示，则
100()(,)x x x y f x y dx ϕ=+⎰，再将1()x ϕ代入积分方程0
0(,)x
x y y f x y dx =+⎰的右端，所得函数用2()x ϕ表示，则
0201()(,())x
x x y f x x dx ϕϕ=+⎰，以上1()x ϕ称为1次近似, 2()x ϕ称为2次近似。

以此类推得到n 次近似
01()(,())x
n n x x y f x x dx ϕϕ-=+⎰。

从而构造逐步迫近函数序列为：000
0000
01()1,2,()(,()),x
n
n x x y x h x x h n x y f x x dx ϕϕϕ-=⎧⎪
-≤≤+=⎨=+⎪⎩
⎰
命 题 2：对所有n ,函数序列()n x ϕ在0000x h x x h -≤≤+上有定义、连续且满足不等式
证：当1n =时，
0100()(,)x
x x y f x y dx ϕ=+⎰。

显然1()x ϕ在0
000x h x x h -≤≤+上有定义、连续且有
0100000()()(,)(,)||x
x
n x
x x y x y f x y dx f x y dx M x x Mh b ϕϕ-=-=
≤≤-≤≤⎰⎰
，即命题2当1n =时成立。

由数学归纳法，设命题2当n k =时成立，则对1n k =+有：
010()(,())x
k k x x y f x x dx ϕϕ+=+⎰
知1()k x ϕ+在0000x h x x h -≤≤+上有定义、连续且有0
1000()(,())||x
k k x x y f x x dx M x x Mh b ϕϕ+-≤≤-≤≤⎰
命题2当1n k =+时也成立。

由数学归纳法原理得命题2对所有n 均成立。

命 题 3：函数序列{}()n x ϕ在0000x h x x h -≤≤+上一致收敛。

证：只须考虑级数[]0100001()()(),
k k k x x x x h x x h ϕϕϕ∞
-=+--≤≤+∑-----（*）
在0000x h x x h -≤≤+上一致收敛。

因其部分和为：[]011
()()()()n
k k n k x x x x ϕϕϕϕ-=+-=∑，因0
1000()()(,())||x
x x x f x x dx M x x ϕϕϕ-≤≤-⎰，
221101000()()||(,())(,())|||()()|||||||2!
x x x
x x x MN
x x f x x f x x dx N x x dx MN x x dx x x ϕϕϕϕϕϕ-≤-≤-≤-=
-⎰⎰⎰ 设对n 成立1
100000()()||,
!
n n n n ML x x x x x h x x h n ϕϕ---≤--≤≤+。

则当0000x h x x h -≤≤+时有
00
111100()()|(,())(,())||()()|||||||!(1)!
n n x x
x n
n n n n n n n x x x MN MN x x f x x f x x dx N x x dx x x dx x x n n ϕϕϕϕϕϕ++---≤-≤-≤-=-+⎰
⎰⎰
即对所有k ，在0000x h x x h -≤≤
+成立 110()()!
k k
k k MN x x h k ϕϕ---≤。

其右端组成正项收敛级数 10
1
!
k
k k h MN
k ∞
-=∑
由魏氏判别法，级数（*）在0000x h x x h -≤≤+上一致收敛。

即{}()n x ϕ在0000x h x x h -≤≤+上一致收敛。

命题3得证。

现设lim ()()n n x x ϕϕ→∞
=
则()x ϕ在0000x h x x h -≤≤+上有定义、连续且0()x y b ϕ-≤
命 题 4： ()x ϕ是积分方程0
0(,)x
x y y f x y dx =+⎰在0000x h x x h -≤≤+上的连续解。

证： 由利普希茨条件 (,())(,())()()n n f x x f x x N x x ϕϕϕϕ-≤-及()n x ϕ在0000x h x x h -≤≤+上一致收敛于()x ϕ，知函数序列{}(,())n f x x ϕ在0000x h x x h -≤≤+上一致收敛于(,())f x x ϕ。

于是00
0101lim ()lim (,())lim (,())x x
n n n x x n n n x y f x x dx y f x x dx ϕϕϕ--→∞→∞
→∞
=+=+⎰⎰即0
0()(,())x
x x y f x x dx ϕϕ=+⎰
()x ϕ是积分方程0
0(,)x
x
y y f x y dx =+⎰在0000x h x x h -≤≤+上的连续解。

命题5：设()x ψ是积分方程0
0(,)x
x y y f x y dx =+⎰在0000x h x x h -≤≤+上的另一连续解。

则
0000()()()x x x h x x h ϕψ=-≤≤+。

证： 现证()x ψ也是序列{}()n x ϕ在0000x h x x h -≤≤+上的一致收敛极限函数。

由00()x y ϕ=，
01()(,())(1)x
n n x x y f x x dx n ϕϕ-=+≥⎰，0
0()(,())x
x x y f x x dx ψψ=+⎰
得：
00()()|(,())|||x x x x f x x dx M x x ϕψψ-≤≤-⎰
，
000
2210000()()|(,())(,())||()()|||||||2!
x
x
x
x x x MN x x N f x x f x x dx N x x dx MN x x dx x x ϕψϕψϕψ-≤-≤-≤-=-⎰⎰⎰。

设1
10()()||!
n n n MN x x x x n ϕψ---≤-，则
01
1100()()|(,())(,())||()()|||||!
(1)!n
n x
x x
n
n n n n x x x MN MN x x f x x f x x dx N x x dx x x dx x x n n ϕψϕψϕψ+---≤-≤-≤
-=-+⎰
⎰⎰。

由数
学归纳法，对所有n ，有 10()()||(1)!
n
n n MN x x x x n ϕψ+-≤
-+。

因此，对所有n ，在0000x h x x h -≤≤
+有10()()(1)!n n n MN x x h n ϕψ+-≤+成立。

但当n →∞时1
00(1)!
n n MN h n +→+。

故{}()n x ϕ在0000x h x x h -≤≤+上的一致收敛于()x ψ。

由极限的唯一性，得
0000()()()x x x h x x h ϕψ=-≤≤+。