lecture_啤酒杯与易拉罐2015

a=0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
x
1
x =0.35
啤酒杯重心模型一 s(x)=
a = w2/w1
“初等”方法： 不等式(算术平均值 ≥ 几何平均值)
s(x)=
=
=
22
x 由质量比a决定 液面高度为x时啤酒杯重心处于最低位置.
啤酒杯重心模型一 s(x)= 微分法：求解s极值问题 x
数学建模引论
生活中的数学
----啤酒杯与易拉罐
清华大谢学金数星学科学系 Tel: 010-62787812 Email: jxie@ /~jxie
《13日参第考7消版息(科》学20技09术年版1月) 始学放作算仅的能释世的“但.终问言技器仅世通界语数正是.,是术和是界过的言有没学如要门科电计的数法写位必在伽知令学脑算很学则就语要人里,“.道人多原是的因我们言把略代,.头现理用数”为们心学数所劳疼象来数…学有身目家学说”的只解学…不中计处曾算的.
设侧壁侧高壁度和底h, 面底的面厚直度径和d,材h质=2相d 同, w3/w2= d/4h=1/8
b=w3/w1=(1/8)×0.3=0.0375
x=0.3059
小结与评注
对于一个饶有生活情趣的现象建立数学模型： • 对杯子作适当的简化假设. • 用基本物理知识构造优化模型. • 用导数、极限、作图等方法给出求解结果. • 对结果作数学分析并给予实际解释.
0.2
0.15
重心最低位置 由比值 决定 0.1
x
a
0.05 0
a
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
a
空杯质量w2取决于材料 (纸杯、塑料杯、玻璃杯).
设 半升啤酒 w2=150g
w1=500g a=0.3 x=0.3245
一杯啤酒约剩1/3时重心最低，最不容易倾倒！
(r
+
r
1
)b
V 2
=
πr 2 h
+
πh 1
(r
2
+
r2
1
+
rr 1
)
/
3
已知 b, k, k1
固定 V2 , 求r, h, r1, h1满足什么关系使SV2最小.
圆台模型 V 2
=
πr 2 h
+
πh 1
(r
2
+
r2
1
+
rr 1
)
/
3
SV 2
=
2πrhb
+ πr 2kb
+ πr 2k b 11
+
π
(r
0.45
a = w2/w1
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
a
1
x 由质量比a决定 a
液面高度为x时啤酒杯重心处于最低位置.
x x
结果分析 s(x)=
x
0.45 0.4
0.35
0.3
0.25
(a = w2/w1)
啤酒杯重心模型一 s(x)=
啤酒杯重心s(x)只与质量比a有关
图解法？
s
0.5
a = w2/w1
w1 w2
~ ~
啤酒质量 空杯质量
对于每个a, s(x) 有一最小点. 左右 a=0.3: x=0.35 s最小, 即重心最低.
0.45 0.4
0.35 0.3
a=1 a=0.5 a=0.3
0.25
0.2 0
倾倒的啤酒杯
2013年《数学建模引论》期末测试题之一： 当啤酒杯中所装的啤酒高度为多少时，最容易放稳？
如理问何解题？
放在何处？有无外力作用？…… “放稳”是何含义？---- 何时重心最低？
杯子的形状、材质？啤酒类型、密度？
倾倒的啤酒杯
“自然”状态：平不坦平处坦能处放“稳满；杯”更易倾倒 重太心高！ 定性分析——啤酒杯的重心变化有何规律？ 空杯的重心？ 约在杯子中央稍下一点的位置 倒酒过程中? 先降后升，满杯几乎回到空杯重心处
， r=31.43 h=108.34, r1=0, h1=28.10 (mm)
圆台模型 圆台退化为圆锥.
结果分析
2r1 h1
假定圆台侧壁厚度=b, 罐盖厚度k1b =3b.
h
为节省材料需尽量减少罐盖面积. r1=0 2r
改进 罐盖要安装拉环及工艺、美观等因素.
半径r1应有下限（设r1≥ ）20 求解 r=31.62, h=104.52, r1=20, h1=17.29(mm)
−
r
1
)
2
+
h2 1
(r
+
r
1
)b
固定 V2 , 求r, h, r1, h1满足什么关系使SV2最小.
约束极小问题 min
SV 2
(r,
h,
r
1
,
h 1
)
非线性规划 (
)
s.t.
V 2
(r
,
h,
r
1
,
h 1
)
=
V 0
已知 b, k, k1, V0
r
≥
0,
h
≥
0,
r
1
≥
0,
h 1
≥
0
难LI以NG计O算(或解其析他解)软（件精求确数解值）解； 圆台退化为圆锥.
赛题原文
分3什. 设是么易一是拉个它罐的正的圆最中台优心设,下纵计面断？部其面分如结是图果一是所个示否正可,圆上以柱面合体部理. 地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。 你4. 利们用自你己们的对关所于测易量拉的罐易形拉状和罐尺的洞寸的察和最优想设象力计,.做出 5验这. 用篇,写你短一文们篇做)短,阐本文述题(什不及么超以是过前数1学0学0习0建字和模,你实,们践它的数的论学关文建键中模步必的骤须亲及包身难括体点.
小结与评注 啤酒杯重心模型一 啤酒杯重心模型二 啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低. 既在意料之外又在情理之中的结果. 函数s=s(x)的最小点x*是不动点，即x*=s(x*)
(有如趣圆的台现或象球:台只)要, 上啤述酒结杯果是就旋成转立体！
旋转体~侧壁由任意曲线绕中轴线旋转而成.
易拉罐形状和尺寸的最优设计
w2↑ → a ↑ → x ↑ 空杯越重,重心最低时的液面越高.
结果分析
意料之外? 情理之中!
x
(a = w2/w1)
x s(x)
=x
啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.
直观解释 时 向下作用 x=0 s=s2=1/2 x↑→s1=x/2
→s↓
向上作用 时 x=s x↑→s1=x/2
→s↑ x=1 s= 1/2
力矩平衡
(w1x
+
w 2
+
w 3
)
s
=
w xs 11
+
ws 22
+
ws 23
液面 • s2=1/2 x •s(x) • s1=x/2
s1=x/2 s2=1/2 a=w2/w1 b=w3/w1
s3=0
• 0
s
2
b=0时与模型一相同.
啤酒杯重心模型二
a = w2/w1 b = w3/w1
=s(x)
啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低. 与模型一 时 a=0.3 比较 x=0.3245
2
结果分析 啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.
数学分析
与 同号 ds/dx (x-s) . 时 x<s ds/dx <0→s↓
时 x↑ x>s ds/dx >0→s↑
时 x=s ds/dx =0, s达到最小值.
啤酒杯重心模型二 考虑空杯底面质量w3 x
底面厚度<<杯子高度 底面重心 s3=0 1
SV 1
=
2πrhb
+
πr
2
(kb
+
k1b)
V = πr 2h 1
已知 b, k, k1 固定 V1 , 求r, h满足什么关系使SV1最小. 注 若 r, h为罐内半径和高度，侧壁体积的精确表达为
，模型中略去 的二次、三次项 [π(r + b)2 - πr2][h + kb + k1b] ≈ 2πrhb
5
球台模型 顶部小圆台改为球台 2r1
b~侧壁厚度. kb~罐底厚度. k1b~罐盖厚度.
h1
SV3 ~材料体积. V3 ~罐的容积.
h
2r
SV 3
• 厚度测量存在较大误差.
• 实际加工制作存在节省材料之外的其他原因.
圆台模型 顶部小圆台下面与圆柱相接
b ~侧壁厚度. kb ~罐底厚度. k1b ~罐盖厚度.
2r1 h1
h
SV2 ~材料体积. V2 ~罐的容积.
2r
SV 2
=
2πrhb
+
πr 2kb
+
πr 2k b 11
+
π
(r
−
r
1
)2
+
h2 1
算术平均 几何平均 S = 2πrh + 2πr2 S = 2V + 2πr2
≥
r
V = πr 2h h = V /πr 2
V = 2πr2 h =V /πr2 = 2r
r
或：微分法求解 导数应用中的极值问题
r~底面半径； h ~高度； S ~表面积；V ~容积
S = 2πrh + 2πr2
S = 2V + 2πr2 r
V = πr 2h h = V /πr 2
S′
=
− 2V r2
+
4πr
=
0
h = 2r
V / πr 2 = 2r
容器高度与底面直径相等时所耗材料最少. 模型检验：通常易拉罐的高度比底面直径大得多？
赛题原文：全国大学生数学建模竞赛2006年C题 我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例
如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等)的饮料 罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来， 这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然， 对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱 可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿 个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
啤酒重心位置
0
s1=x/2
忽略空杯底面质量w3 空杯重心位置 s2=1/2
建立啤酒杯重心模型一
1
啤酒杯重心模型一 s=s(x) ~ 液面高度x的啤酒杯重心 啤酒质量w1x 空杯质量w2 啤酒重心s1 空杯重心s2 力矩平衡
s1=x/2 s2=1/2 a=w2/w1
x 1
液面 • s2=1/2 x •s(x) • s1=x/2 0
很多微积分教材中：导数应用中的极值问题 度设与计底一面个半容径积之固比定、为有多盖少,的所圆耗柱材形料容最器少, 问？容器高
3
关键假设 正圆柱体(简称圆柱)
侧(且壁厚及度底尺、寸盖很厚小度) 相同
所耗材料用总表面积表示
建模与求解
Sr~~底表面面半积径；；
h V
~~高容度积
什么V固关定系,时求Sr最，小h满足
现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸 的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务：
赛题原文
1. 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫 升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所 需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度、 厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是 你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。 2. 设易拉罐是一个正圆柱体, 什么是它的最优设计？ 其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的 形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
从罐的外部进行测量 5只罐子的平均值
罐高 圆高柱 圆高台 圆直柱径 顶直盖径 罐厚壁 顶厚盖 罐厚底 罐容内积
120.6 110.5 10.1 66.1 60.1 0.103 0.306 0.300 364.8cm3
圆到的台圆10%高柱不高 顶柱差直盖10%径与相圆
罐约为底、罐盖壁的的厚3倍度 优化设计与普通
b<<r, h
b
.
圆柱模型
SV 1
=
[2πrh
+
πr
2 (k
+
k 1
)]b
V = πr 2h 1
算术平均 几何平均： ≥
V1/r = πr2(k + k1)
h
=
(k
+
k 1
)r
或：极值问题微分法求解
h
=
(k
+
k 1
)r
测量数据——底、盖厚度约为罐壁的3倍.
h=6r，圆柱高度为直径的3倍.
与测量数据和日常所见不符.
以发表在《工程数学学报》2006年增刊上学生 优秀论文和评述文章为基本材料, 介绍建模过程.
问题分析
只考虑节省材料 罐底、盖厚度比侧壁大 增加高度、减少底面直径 题目要求测量数据 得到底、盖、侧壁的厚度
正圆柱体利用简单几何知识建模.
圆柱体上面有一个小圆台. 小圆台改为小球台.
4
数据测量 易拉罐各项尺寸(mm)
0
w1 w2 w3
~ ~ ~
啤酒 (满杯) 质量 空杯侧壁质量 空杯底面质量
空杯重心由w2和w3 决定, 与x无关
问题分析与模型假设
x
w1 w2
~~空啤杯酒侧(满壁杯质)量质, 量w3
~空杯底面质量
啤酒杯重心s(x)由啤酒重心和空杯
1
液面 • s2=1/2 x •s(x)
重心合成.
• s1=x/2
液面高度x时啤酒质量w1x,
重心有一个最低点 啤酒杯容易放稳的位置 定量分析——建立数学模型，描述重心变化规律， 找出重心最低点的位置，讨论决定最低点的因素
问题分析与模型假设
最简单的啤酒杯 ~ 高度为1的圆柱体
x 1
假设：啤酒和杯子材料均匀
液沿中面轴高线度建从立x=坐0到标x轴=1x，倒酒时
x 液面
•s(x)
重心位置沿x轴变化，记作s(x)
圆台近似作圆柱处理误差很小. 的极值问题有别.
罐高约为圆柱直径的2倍，与日常所见相符.
圆柱模型 小圆台近似于圆柱，直径相同
所耗材料的体积 = (侧壁、底、盖面积)×相应厚度 r~圆柱半径. h ~圆柱高度. b ~侧壁厚度. kb ~罐底厚度. k1b ~罐盖厚度. SV1 ~材料体积. V1 ~罐的容积