离散数学习题解答 第十四章习题解答(2)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(S T )1 (16542)1 ((16)(65)(54)(42))1 (24)(45)(56)(61) (24561).
14.18群G, a,b,c是G中的任意元素，证明：
(1)元素ab与ba同阶.
证明：设ab的阶为r, ba的阶为p，
则abr （ba）p e.
r
r 1
i.e. (ab)(ab)(ab) e a(ba)(ba)b e,
H2 {e, a2 , a2 , a4 , a4 ,}, H n {e, an , an , a2n , a2n ,} 显然有无限多个子群.
(2)若所有元素的阶均为有限， G无限，这些元素的个数无限. 记为{a1, a2,, an ,}, 则(a1),(a2 ),, (an ),均为G的子群,且个数无限.
∴p为奇数，即阶为2的元素个数为奇数.
14.20G为群，a,b∈G,已知ab = ba,a的阶为n， b的阶为m，证明：
(1)( n, m ) =1时，ab阶为nm.
证明：设的ab阶为p.
由ab ba, an e,bm e (ab)来自百度文库m anbm e. p | nm.(定理14.12) (ab) p e a p (b p )1;
a(ba)r1ba e a a a(ba)r a,
由消去律，得 (ba)r e.
由定理14.12 ，得p | r.
同理，r | p.
p r. 即ab与ba同阶.
(2)元素 abc,bca与cab同阶.
证明：a,b, c G. bc G. 由(1)得, a(bc)与(bc)a同阶,即abc,bca同阶. 同理b(ca)与(ca)b同阶. abc, bca与cab同阶.
14.28设G=(a),b=ak,|G|=n.讨论当b为G的生 成元时，k具有什么性质？当b为G的一个子 群的生成元时，k又具有什么性质？
(1)当b为G的生成元时，(n, k) 1.
解答 : b为G的生成元,b ak的阶为n.
又(ab) p e,即a pb p e a p e,b p e.
n | p, m | p l | p;
p l,即ab的阶为LCM (n, m).
14.25证明：任意无限群必有无限多的子群.
证明：设群为G;*
(1)若G中有一个元素a的阶为无限， 则令H1 {e, a1, a1, a2 , a2 ,},
14.13已知置换δ =(1 2 … n), S = (1 2 3)(4 5),
T = (1 4)(3 2)(1 6). 求：(1)δ-1
解答： 122334n1,
-1 122334n1 n n 121.
(2)S2·T
解答： S 2 123(45)(123)(45)
(123)(123)(45)(45) (132). S 2 T (132)(14)(32)(16)
补充题：群G是阶为偶数的有限群，则G中 阶为2的元素个数一定是奇数.
证明：对任意一个阶为2的元素a∈G,a·a=e, ∴a-1=a;个数记为p;
而对任意一个阶大于2的元素b∈G,必有 b≠b-1, b-1 ∈G,即(b,b-1)成对出现，这种元素 个数为偶数；个数记为2q;
单位元e的阶为1;
∵G中元素个数为偶数=1+p+2q;
(13)(32)(32)(14)(16) (31)(14)(16) (314)(16) (431)(16) (4316).
(3)(S·T)-1
解答： S T (123)(45)(14)(32)(16) (12)(23)(32)(54)(41)(16) (21)(541)(16) (21)(5416) (21)(1654) (21654).
14.12将下述置换分解为不含公共元的循环 置换，然后再将其分解成对换之乘积。
37 65 214 (2) 7 6 5 4 3 21
解答：原式 （3765412 ） （37）（76）（65）（54）（41）（12）.
(3)
a f
bcd e f aed cb
解答：原式 = (a f b) (c e) = (a f) (f b) (c e).
al H (al )q H ((al )q )1 H ,
at ((al )q )1 ak H t 0,否则矛盾.
x aql (al )q. 由x的任意性,可得H为循环群.
(2)它的任意元的阶可以整除n.
证明：设b=ak∈G.p为b的阶. ∵bn=(ak)n=(an)k=e,∴p|n.(定理14.12)
(3)设d为n的因子，则G必存在唯一一个阶 为d的子群.
证明：1.存在性.
令H (an/d ),显然H是G阶为d的子群.
2.唯一性.
假设S (am )也是G的阶为d子群.则amd e. a的阶为n.n | md (n / d ) | m. 令m (n / d )k, k .
am (an/d )k H.S H. 又 S H d,S H.
a pm (a p )m (b p )m e n | pm; (n, m) 1 n | p. 同理，m | p nm | p p nm.ab阶为nm.
(2)(n,m) ≠1,且(a)∩(b)={e}时,ab阶为n,m之最 小公倍数LCM(n,m).
证明：设d (n, m) 1,l [n, m];n r1d, m r2d, (r1, r2 ) 1,即l r1r2d;设ab的阶为p. (ab)l albl (an )r2 (bm )r1 e p | l. (a) (b) {e} aib j e,除非ai e,b j e;
综上所述，无限群必有无限多的子群.
14.27设G=(a),|G|=n. 证明： (1)它的任意子群是循环群.
证明：1.H={e},显然成立； 2.a∈H,此时H=(a)=G,显然成立;
3.a H. 取H中幂指数为最小正整数的元素al , x H , x G,k , s.t.x ak ,
令k ql t, (0 t l 1),则ak aqlt (al )q at ,
14.18群G, a,b,c是G中的任意元素，证明：
(1)元素ab与ba同阶.
证明：设ab的阶为r, ba的阶为p，
则abr （ba）p e.
r
r 1
i.e. (ab)(ab)(ab) e a(ba)(ba)b e,
H2 {e, a2 , a2 , a4 , a4 ,}, H n {e, an , an , a2n , a2n ,} 显然有无限多个子群.
(2)若所有元素的阶均为有限， G无限，这些元素的个数无限. 记为{a1, a2,, an ,}, 则(a1),(a2 ),, (an ),均为G的子群,且个数无限.
∴p为奇数，即阶为2的元素个数为奇数.
14.20G为群，a,b∈G,已知ab = ba,a的阶为n， b的阶为m，证明：
(1)( n, m ) =1时，ab阶为nm.
证明：设的ab阶为p.
由ab ba, an e,bm e (ab)来自百度文库m anbm e. p | nm.(定理14.12) (ab) p e a p (b p )1;
a(ba)r1ba e a a a(ba)r a,
由消去律，得 (ba)r e.
由定理14.12 ，得p | r.
同理，r | p.
p r. 即ab与ba同阶.
(2)元素 abc,bca与cab同阶.
证明：a,b, c G. bc G. 由(1)得, a(bc)与(bc)a同阶,即abc,bca同阶. 同理b(ca)与(ca)b同阶. abc, bca与cab同阶.
14.28设G=(a),b=ak,|G|=n.讨论当b为G的生 成元时，k具有什么性质？当b为G的一个子 群的生成元时，k又具有什么性质？
(1)当b为G的生成元时，(n, k) 1.
解答 : b为G的生成元,b ak的阶为n.
又(ab) p e,即a pb p e a p e,b p e.
n | p, m | p l | p;
p l,即ab的阶为LCM (n, m).
14.25证明：任意无限群必有无限多的子群.
证明：设群为G;*
(1)若G中有一个元素a的阶为无限， 则令H1 {e, a1, a1, a2 , a2 ,},
14.13已知置换δ =(1 2 … n), S = (1 2 3)(4 5),
T = (1 4)(3 2)(1 6). 求：(1)δ-1
解答： 122334n1,
-1 122334n1 n n 121.
(2)S2·T
解答： S 2 123(45)(123)(45)
(123)(123)(45)(45) (132). S 2 T (132)(14)(32)(16)
补充题：群G是阶为偶数的有限群，则G中 阶为2的元素个数一定是奇数.
证明：对任意一个阶为2的元素a∈G,a·a=e, ∴a-1=a;个数记为p;
而对任意一个阶大于2的元素b∈G,必有 b≠b-1, b-1 ∈G,即(b,b-1)成对出现，这种元素 个数为偶数；个数记为2q;
单位元e的阶为1;
∵G中元素个数为偶数=1+p+2q;
(13)(32)(32)(14)(16) (31)(14)(16) (314)(16) (431)(16) (4316).
(3)(S·T)-1
解答： S T (123)(45)(14)(32)(16) (12)(23)(32)(54)(41)(16) (21)(541)(16) (21)(5416) (21)(1654) (21654).
14.12将下述置换分解为不含公共元的循环 置换，然后再将其分解成对换之乘积。
37 65 214 (2) 7 6 5 4 3 21
解答：原式 （3765412 ） （37）（76）（65）（54）（41）（12）.
(3)
a f
bcd e f aed cb
解答：原式 = (a f b) (c e) = (a f) (f b) (c e).
al H (al )q H ((al )q )1 H ,
at ((al )q )1 ak H t 0,否则矛盾.
x aql (al )q. 由x的任意性,可得H为循环群.
(2)它的任意元的阶可以整除n.
证明：设b=ak∈G.p为b的阶. ∵bn=(ak)n=(an)k=e,∴p|n.(定理14.12)
(3)设d为n的因子，则G必存在唯一一个阶 为d的子群.
证明：1.存在性.
令H (an/d ),显然H是G阶为d的子群.
2.唯一性.
假设S (am )也是G的阶为d子群.则amd e. a的阶为n.n | md (n / d ) | m. 令m (n / d )k, k .
am (an/d )k H.S H. 又 S H d,S H.
a pm (a p )m (b p )m e n | pm; (n, m) 1 n | p. 同理，m | p nm | p p nm.ab阶为nm.
(2)(n,m) ≠1,且(a)∩(b)={e}时,ab阶为n,m之最 小公倍数LCM(n,m).
证明：设d (n, m) 1,l [n, m];n r1d, m r2d, (r1, r2 ) 1,即l r1r2d;设ab的阶为p. (ab)l albl (an )r2 (bm )r1 e p | l. (a) (b) {e} aib j e,除非ai e,b j e;
综上所述，无限群必有无限多的子群.
14.27设G=(a),|G|=n. 证明： (1)它的任意子群是循环群.
证明：1.H={e},显然成立； 2.a∈H,此时H=(a)=G,显然成立;
3.a H. 取H中幂指数为最小正整数的元素al , x H , x G,k , s.t.x ak ,
令k ql t, (0 t l 1),则ak aqlt (al )q at ,