斐波那契数列PPT课件

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进一步修正
构造数列：bn Fn Crn
(r 1 5 ,r2 r 1) 2
可得数列bn仍然满足那个递推公式
因而猜测bn的通项形式：bn

n
Cr
其中，r也满足方程r2 r 1，故r (1 5) / 2
这样，得到Fibonacci数列通项的新猜测：
Fn
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一、实验目的
认识Fibonacci数列， 体验发现其通项公式的过程。
了解matlab软件中， 进行数据显示与数据拟合的方式。
提高对数据进行分析与处理的能力。
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二、问题描述
一般而言，兔子在出生两个月后，就 有繁殖能力，一对兔子每个月能生出 一对小兔子来。如果所有兔都不死， 那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
意大利斐波那契(Fibonacci)，1202年
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三、问题分析
兔子对的数目依次如下： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…… 称为Fibonacci数列。 所求答案：Fibonacci数列的第12项。
递推公式：Fn2 Fn1 Fn
Fibonacci数列的一般规律是什么？
查看代码
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5. 猜测Fibonacci数列的通项公式
猜测，通项公式：Fn Crn
将上式代入递推公式中得： r 2 r 1 0 解得：r1,2 (1 5) / 2
考虑到该数列趋向无穷，故通项公式取为：
Fn C((1 5) / 2)n
然而,上式并不满足： F1 F2 1
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数据点
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拟合曲线
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五、实验过程
1. 观察数据间的大概函数关系 2. 进一步验证上一步得到的结论 3. 获得数据的近似函数关系式 4. 观察拟合数据与原始数据的吻合程度 5. 猜测Fibonacci数列的通项公式 6. 证明Fibonacci数列的通项公式
代码：x1=[1,3,4,5,6,7,8,9,10]; y1=[10,5,4,2,1,1,2,3,4]; plot(x1,y1)
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p=polyfit (x,y,n) ：用n次多项式拟合数据列
返回多项式的系数，次序是由高阶到低阶

Cr n

n
Cr
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由条件F1 F2 1，确定 C 1/ 5，C 1/ 5 这样，得到Fibonacci数列通项：
Fn
1 5

1
2
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n


1
2
5
n


称为比内公式。(Binet，法国，1843年发现)
即：Fn 0.4476 1.6180n 查看代码
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4. 观察拟合数据与原始数据的吻合程度
紅点：(n, Fn ), (n, log(Fn )), n 1,2, , N
蓝线：y 0.4476 1.6180x y 0.7768+0.4799x
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四、背景知识
1、最小二乘和数据拟合
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多项式拟合
当数据点 互异时
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2、画图和多项式拟合命令
plot(x,y,’s’) ：将所给的点列连接成一条折线 x-点列的横坐标，y-点列的竖坐标 s-图形的格式字符串
例:给定数据，x1=[1,3,4,5,6,7,8,9,10]; y1=[10,5,4,2,1,1,2,3,4];描绘其图形
结果： f =10.1219 5.0519 3.3196 2.1224
1.4604 1.3335 1.7417 2.6851 4.1636
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拟合效果展示：
代码: x=[1,3,4,5,6,7,8,9,10]; y=[10,5,4,2,1,1,2,3,4]; p=polyfit (x,y,2); plot(x,y, 'ro',x,polyval (p,x), 'b') legend('数据点','拟合曲线') ;
例:x=[1,3,4,5,6,7,8,9,10];y=[10,5,4,2,1,1,2,3,4]; 拟合：p=polyfit (x,y,2) 结果：0.2676 -3.6053 13.4597 即2次多项式为p1=0.2676x2 -3.6053x+13.4597
数值：f = polyval(p,x)
实验二 斐波那契数列
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斐波那契，意大利数学家列昂纳多·斐波那契 （Leonardo Fibonacci，1170-1240，籍贯大概是 比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。 1202年，他撰写了《珠算原理》（Liber Abacci） 一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理 论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体 聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔 及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯 老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利 亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
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6. 推导Fibonacci数列的通项公式
Fibonacci数列具有如下递推关系
Fn2 Fn1 Fn
这是一个二阶常系数线性齐次差分方程 仿照二阶常系数线性齐次微分方程来求解
观察其中蕴涵的函数关系 查看代码 结论：曲线的形状确实象一条直线
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3. 获得数据的近似函数关系式
Fibonacci数列的数据关系是指数函数， 取对数后是线性函数，即一阶多项式， 用一阶多项式拟合出取对数后的函数关系式
log(Fn ) 0.8039+0.4812n
得到Fibonacci数列通项公式的近似表达式：
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1. 观察数据间的大概函数关系
将以下点列显示在平面坐标系中：
(n, Fn ), n 1,2,, N
观察其中蕴涵的函数关系
查看代码
结论：曲线的形状象指数函数的曲线
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2. 进一步验证上一步得到的结论
再将以下点列显示在平面坐标系中：
(n, log Fn ), n 1,2, , N