湖南师范大学高等数学曲率PPT教学课件

速圆周运动,F mv2 .
为O点处轨道的曲率半径.
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d 2 y (b co )d s b d2x a sin d xa 2s3 in
ka2s b i3n/ 1b a2 2c sio 2 2 n s32
ab
.
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(a2si2n b2c o 2 s)32
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k(a2si2n ab2b co 2)s32.
记 h () a 2 s2 in b 2c2 os
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2.11.2曲率及其计算
一、曲率概念
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
2
1 M2 M3
M1
M2
M1 弧段长度相等, 弧段弯曲程度越 大,转角越大
N1
N
2
转角相同,弧段越 短弯曲程度越大
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y
设曲线C是光滑的，
C
M M0 是M 基切 点 . M M 线 s 转 ,角 . 为 M0 S .M )S M .
x x x x
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limMM 1,
y
x0 MM
又 s s(x)为单调增函,数
由 x s2(M M M M )21( y x)2 o
M0
x0
M
M y T x R
x x x x
d s1(d)2 y1y2 dx dx
故ds 1y2d.x或 d s (d)x2(d)y2
称为弧微分公式.
M
yf(x) 上取一固定点
M0(x0,y0)作为计算弧长
的基点, M (x, y)为曲线上
M0
o x0
M y T x R
x x x x
任意一点,有向弧段M⌒0M 的值记为s (简称弧),规定：
(1)曲线的正 x增 向大 与的方;向一致
(2) M⌒M 0 s 当M⌒0M的方向与曲线正向
一致时 ,s取正号 ,相反时 ,s取负号 .
§2.11 曲 率
基本内容
2.11.1弧微分
2.11.2曲率及其计算
2.11.3曲率圆与曲率半径
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基本要求
1. 了解曲率、曲率半径、曲率圆的概念; 2. 会计算曲率和曲率半径.
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2.11.1弧微分
设函数 f(x)在区间 (a,b) y
内具有连续.导在曲数线
称为曲线在点 M处的曲率半径.
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小结: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的
曲率互为倒数, 即k1,k1.
2.曲率圆与曲线在点M处有相同的曲率和公共的 切线;在点M处附近与曲线有相同的凹向. 3.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的 曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大 (曲线越弯曲). 4.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
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显然, ss(x).且为单调增函数 .下面求 ds
设 M (x x ,y y ),
( s)2(M M )2(M M )2(M M )2
x x M M x
y
(M M)2(x)2(y)2
M M (x)2
(M MM M)21( yx)2
M0
o x0
M
M y T x R
解 y2 a x b ,y2a,
k
2a 3.
[1(2axb)2]2
显然,当xb时, k最大. 2a
又(b,b24ac)为抛物线, 的顶点 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率最大.
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例3求椭圆
x ac os,
y bsin
上曲率最大和最小的点(ab).
解 d dyxbacsoins
则 h()的最大值为k的最小值, h()的最小值为k
的最大值. 令 h () ( a 2 b 2 ) s2 i n 0 ,则
1 0 ,2 2 ,3 ,4 3 2 .
直接验证可知,当10,3时, h()取最小值;
22,432时, h()取最大值.即椭圆在点 (a,0)
处曲率最大, 在点(0,b)处曲率最小.
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2.11.3曲率圆与曲率半径
定义 设曲线y f(x)在点 y
M(x, y)处的曲率k为 (k 0). 在点M处的曲线的法, 线上
D 1
k
yf(x)
在凹的一侧取D一, 使点DM
M
1
.以D为圆心 ,
o
为半径
x
k
作圆(如图),称此圆为曲线M 在处点的曲率. 圆
点D称为曲线在点 M处的曲率中心,
M •
s
M•
0
x0
D
R
•M
• s
M
x
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二、曲率的计算公式
设yf(x)二阶可 , t导a n y ,有 arctya , n
d1yy2dx, d s
1y2d.x k
y
3
(1y2)2
.
如果曲线由参数方程 给出:
x(t), y(t),
且二阶可导
ddxy((tt)), d d 2y 2x (t) ( t) 3 ( t)(t) (t).
压力=重力+离心力
y
(单位为米)俯冲飞行, 在原 点O 处速度为v 400米 / 秒,
1 y x2
k
4000
飞行员体重70千克.求俯冲 到原点时,飞行员对座椅的压力.
P
x
0
F
解设飞行员对座椅的压力为Q(kg) ,飞行员的体重
为P,F为飞行员在原点做匀速圆周运动的离心力。
如图,受力分析,则 QPF, 视飞行员在点o作匀
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例4 求曲线ytaxn在点 ,1 处的曲率与曲率
4
半径。
解 yx se2xcx 2,
4
4
y
x
4
2se2xctaxn x 4
4,
k 曲线在点 ,1 处的曲率 及曲率半径 分别为 4
k 4 3 (122)2
4 5, 25
1
k
5 5. 4
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例5 飞机沿抛物线 y x2 4000
o
x
定义 弧M 段 M的平均K 曲 率 . 为
s
曲线C在点M处的曲率 Klim s0 s
在lim d存在的条 ,则K件 d下
s0s ds
ds
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注意 (1) 直线的曲率处处为零 ( 0)
(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数 k 1
R
( sR ),半径越小曲率越大.
y
y
பைடு நூலகம்
(t)(t)(t)(t)
k
3.
[2(t)2(t)2]
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例1计算等边双曲线 xy1在点(1,1)处的曲率.
解 y1,y1,y2
x
x2
x3
yx 1 1 ,yx 12 .
在点(1,1)处的曲率为
K 2 2.
1(1)2
3 2
2
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例2试求抛物线 ya2xb xc上曲率最大的点？