5 第5讲 指数与指数函数
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第5讲 指数与指数函数
1．根式 (1)根式的概念
①若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子n
a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． ②a 的n 次方根的表示：
x n
＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *
，n >1时，
x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N *
时.
(2)根式的性质
①(n
a )n ＝a (n ∈N *，且n >1)． ②n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，
－a ，a <0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念
①正分数指数幂：a m n
＝n
a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．
②负分数指数幂：a －m
n ＝1a m n ＝1n a m
(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋
s (a >0，r ，s ∈Q )． ②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )． ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象及性质
函数
y ＝a x (a >0，且a ≠1)
图象
0 a >1 图象特征 在x轴上方，过定点(0，1) 当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升 性 质 定义域R 值域(0，＋∞) 单调性减增 函数值 变化 规律 当x＝0时，y＝1 当x<0时，y>1；当x<0时，0 当x>0时，0 (1) 4 （π－4）4＝π－4.() (2) n a n与( n a)n都等于a(n∈N*)．() (3)(－1) 2 4＝(－1) 1 2＝－1.() (4)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．() (5)若a m>a n，则m>n.() 答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)× (教材习题改编)有下列四个式子： ① 3 （－8）3＝－8；②（－10）2＝－10； ③ 4 （3－π）4＝3－π；④ 2 018 （a－b）2 018＝a－b. 其中正确的个数是() A．1B．2 C．3D．4 解析：选A.①正确，（－10）2＝|－10|＝10，②错误； 4 （3－π）4＝|3－π|＝－(3－π)＝π－3，③错误， 2 018 （a－b）2 018＝|a－b|＝⎩⎪ ⎨ ⎪⎧a－b，当a≥b时 b－a，当a ，故选A. (2018·东北三校联考)函数f(x)＝a x－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是() A．y＝1－x B．y＝|x－2| C．y＝2x－1 D．y＝log2(2x) 解析：选A.由f(x)＝a x－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点(1，1)，又0＝1－1，知(1，1)不在y＝ 1－x 的图象上． 函数f (x )＝1－e x 的值域为________． 解析：由1－e x ≥0，e x ≤1， 故函数f (x )的定义域为{x |x ≤0}． 所以0 (教材习题改编)若指数函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知0 指数幂的化简与求值[学生用书P 23] [典例引领] 化简下列各式： (1)0.027－13－⎝⎛⎭⎫17－2＋⎝⎛⎭⎫2791 2－(2－1)0； (2)⎝⎛⎭⎫56a 1 3b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 2 3b － 3)1 2·ab . 【解】 (1)原式＝⎝⎛⎭⎫271 000－1 3－72 ＋⎝⎛⎭⎫25912－1 ＝103－49＋5 3 －1＝－45. (2)原式＝⎝⎛⎭⎫－52a －16b －3÷(2a 1 3b －32 )·a 12b 1 2 ＝－54a －12b －32·a 12b 1 2 ＝－54b －1＝－54b . [提醒] 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力 求统一． [通关练习] 1．化简4 16x 8y 4(x <0，y <0)得( ) A ．2x 2y B ．2xy C ．4x 2y D ．－2x 2y 解析：选D.因为x <0，y <0，所以4 16x 8y 4＝(16x 8·y 4)1 4＝(16)1 4·(x 8)1 4·(y 4)1 4＝2x 2|y |＝－2x 2y . 2．化简下列各式： (1)(0.027)23 ＋⎝⎛⎭⎫27125－1 3－⎝⎛⎭⎫2790.5； (2)⎝⎛⎭⎫14－1 2·（4ab － 1）3（0.1）－1·（a 3·b － 3）12. 解：(1)原式＝0.32＋⎝⎛⎭ ⎫125271 3－ 259 ＝ 9100＋53－53＝9100 . (2)原式＝2（4ab －1 ） 3 2 10a 3 2 b － 32 ＝16a 32 b － 3 210a 32 b － 32 ＝8 5. 指数函数的图象及应用 [典例引领] (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正 确的是( ) A ．a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．00 D ．0 (2)若方程|3x －1|＝k 有一解，则k 的取值范围为________． 【解析】 (1)由f (x )＝a x － b 的图象可以观察出函数f (x )＝a x － b 在定义域上单调递减，所以0 －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0. (2)函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的