5.1.3 一维双原子链解析

第n个初基元胞——
m1 :
0 平衡位置为 xn ,1 na d1
所受力为 Fn,1 f n, 2 f n 1, 2
0 y( xn ,1 , t )
t时刻偏离平衡位置的位移为
m2 :
0 x 平衡位置为 n, 2 na d 2
所受力为 Fn, 2 f n 1,1 f n,1
iqh na 0 yqh ( xn , t ) A e T (t ) , 1、 2 ,
(t )m A T (t )[ ( A A ) ( A A eiqh a )] T 1 1 1 1 2 2 1 2 (t )m A T (t )[ ( A A eiqh a ) ( A A )] T
先求解齐次代数方程组：必有非零解，故系数行列式应为零
( 1 2 m1 2 ) ( 1 2eiqh a )
( 1 2e iqh a ) 0 2 ( 1 2 m2 )
由此可得 和Байду номын сангаас
8m1m2 1 2 (1 cos qh a) 1 1 1 (qh ) ( 1 2 )( )[1 1 ] 2 m1 m2 ( 1 2 ) 2 (m1 m2 ) 2
于是有：
yq h ( x , t ) e
0 n ,
iqh na
y(d , t ) , 1、 2
h
代入晶格振动方程 ，可得
(d1 , t ) 1[ y(d1 , t ) y(d 2 , t )] 2 [ y(d1 , t ) y(d 2 , t )eiq a ] m1 y
( ) A2 , qh
2 1 2 1
2 2 2 2 (qh ) ( 1 2 )(
1 2
8m m (1 cos qh a) 1 1 )[1 1 1 2 1 2 2 ] 2 m1 m2 ( 1 2 ) (m1 m2 )
表明：相应于一维双原子复式晶格中两种不同的原子和原子之间相 互作用的两种不同情况 ，晶体中的原子振动呈现出两种不同的色 散关系。 代入齐次代数方程组， 可得
0 0 f n,1 1[ y( xn , t ) y ( x ,2 n ,1 , t )]
0 n, 2
运用Newton第二定律，可得在相邻作用近似和简谐近似下一
维双原子复式晶格的晶格振动方程
0 0 0 0 0 ( xn m1 y , t ) [ y ( x , t ) y ( x , t )] [ y ( x , t ) y ( x ,1 1 n ,1 n, 2 2 n ,1 n 1, 2 , t )]
pqh e
iqh na
偶数 2 N N qh h , 整数h ，N为 时取符号 〈 奇数 Na 2 2
0 x 若一维双原子复式晶格中第n个初基元胞内平衡位置为 n, ( 1,2)
的原子的振动位移与其它等同原子的振动位移以一个用特定波矢 q h
0 y ( x 标记的确定相位因子相关联，则将其振动位移函数表示成 qh n, , t )
0 0 0 0 0 ( xn m2 y , t ) [ y ( x , t ) y ( x , t )] [ y ( x , t ) y ( x ,2 2 n, 2 n 1,1 1 n, 2 n ,1 , t )]
n 1、 2、 N
一维双原子复式晶格所具有的平移对称性,使得晶体中一个原子 的振动位移与平衡位置相距为na的其它等同原子的振动位移以一系 列特定的用简约波矢来标记的可能相位因子彼此关联 ：
下面，仍以一维为例，来进一步研究最简单的双原子
复式晶格的振动。
1. 运动方程与格波
一维双原子复式晶格： Ｎ个由相距为d、质量分别为ｍ1和ｍ2的两 个原子所组成的基元以a的间距周期性地排列在一条长为L=Na的直
线段上 作为初步研究的起点，采用相邻作用近似和简谐近似，将一维 双原子复式晶格中的原子简化为用原长分别为d和a-d、弹性系数分 别为 1和 2 的两种弹簧把质量分别为 m1和m2 、数目各N个的两 种小球相间地逐个串结成直线段 ，如下图所示
t时刻偏离平衡位置的位移为
0 0 f n, 2 1[ y( xn , t ) y ( x ,1 n , 2 , t )]
0 0 f n1,1 2 [ y( xn , t ) y ( x ,2 n 1,1 , t )]
y( x , t ) 0 0 f n1, 2 2 [ y( xn , t ) y ( x ,1 n 1, 2 , t )]
5.1.3一维双原子链，光学支
实际应用的晶体材料大多是复式晶格，由于原子的多
样性或原子之间相互作用的多样性必然会导致晶体中原子
振动的多样性，因此这种多样性应该会在晶格振动中表现
出来，从而使得复式晶格振动的规律和特征与 Bravais晶
格存在重大差别。所以，有必要进一步研究复式晶格中的
晶格振动，以便揭示出晶格振动的普遍规律和特征。
2 2 2 2 1 1 2 1
可转化为一个二阶常微分方程和一个齐次代数方程组
(t ) 2T (t ) T
( 1 2 m1 2 ) A1 ( 1 2e iqh a ) A2 0 iqh a 2 ( 1 2e ) A1 ( 1 2 m2 ) A2 0
(d 2 , t ) 2 [ y(d 2 , t ) y(d1 , t )eiqh a ] 1[ y(d2 , t ) y(d1 , t )] m2 y
为了解 得 y(d , t )
即 于是得到
可设
y(d , t ) A T (t ) , 1、 2